組合邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)-邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

16.2邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

6.2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單，則實(shí)現(xiàn)它所需要的邏輯元件就越少，邏輯電路的可靠性和穩(wěn)定性也就越高，成本也越低。邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的方法邏輯代數(shù)運(yùn)算法化簡(jiǎn)卡諾圖化簡(jiǎn)2

代數(shù)運(yùn)算法化簡(jiǎn)并項(xiàng)法吸收律配項(xiàng)法加項(xiàng)法（1）并項(xiàng)法

規(guī)則：利用，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)或兩個(gè)變量，例如3

（2）吸收律應(yīng)用A+AB=A，消去多余的因子，例如:（3）配項(xiàng)法應(yīng)用

，將

與乘積項(xiàng)相乘，展開(kāi)化簡(jiǎn)，例如4

（4）加項(xiàng)法應(yīng)用

，在邏輯式中添加相同的項(xiàng)，然后合并化簡(jiǎn)，例如【例5.3】應(yīng)用邏輯代數(shù)運(yùn)算法化簡(jiǎn)邏輯式。1.4邏輯函數(shù)的圖形法化簡(jiǎn)（1）最小項(xiàng)

如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱(chēng)為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱(chēng)為最小項(xiàng)。

3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：①最小項(xiàng)的定義

2.

最小項(xiàng)的基本性質(zhì)

(1)

對(duì)任意一最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為

1，

而其余各種變量取值均使其值為

0。三變量最小項(xiàng)表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC(2)

不同的最小項(xiàng)，使其值為

1的那組變量取值也不同。(3)

對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為

0。(4)

對(duì)于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)的和為

1。（2）邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與--或式

如果一個(gè)與或邏輯表達(dá)式中的每一個(gè)與項(xiàng)都是最小項(xiàng)，則該邏輯表達(dá)式稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)與--或式，也稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式。任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和的表達(dá)式。對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來(lái)配項(xiàng)展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。m1＝ABCm5＝ABCm4＝ABCm2＝ABC（3）卡諾圖1.卡諾圖的構(gòu)成

將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。

2.卡諾圖的特點(diǎn)

卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱(chēng)為邏輯相鄰項(xiàng)）。每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的3.最小項(xiàng)的卡諾圖表示每個(gè)2變量的最小項(xiàng)有兩個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰每個(gè)3變量的最小項(xiàng)有3個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰（4）邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示

（1）根據(jù)邏輯式中的變量數(shù)，畫(huà)出變量的卡諾圖；（2）在卡諾圖上有最小項(xiàng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0或不填。m1m3m4m6m7m11m14m151.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的步驟：每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。變換為與或表達(dá)式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示

說(shuō)明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)Ｙ，則對(duì)Ｙ中所包含的各個(gè)最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。3.卡諾圖的性質(zhì)（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。去異存同（2）任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。BＤＢＤＢＤ（3）任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。ＤＢ4.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法和步驟：A、畫(huà)出邏輯函數(shù)的卡諾圖；

B、合并卡諾圖中的相鄰最小項(xiàng)（即將卡諾圖中相鄰的1方格花在一個(gè)圈中）；C、將合并化簡(jiǎn)后的各與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，便求得邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與--或式。邏輯表達(dá)式或真值表卡諾圖11化簡(jiǎn)示例合并最小項(xiàng)①圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為個(gè)。②同一個(gè)方格可同時(shí)畫(huà)在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)１的方格。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項(xiàng)2233將代表每個(gè)圈的乘積項(xiàng)相加兩點(diǎn)說(shuō)明

①在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡(jiǎn)的，要經(jīng)過(guò)比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡(jiǎn)ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡(jiǎn)1.5具有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)約束項(xiàng)：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱(chēng)為也叫做約束項(xiàng)。1.邏輯函數(shù)中的無(wú)關(guān)項(xiàng)例如：判斷一位十進(jìn)制數(shù)是否為偶數(shù)。不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)

說(shuō)明×111100111×111010110×110100101×110010100×101100011×10101001001001000011100010000YABCDYABCD

輸入變量A，B，C，D取值為0000～1001時(shí)，邏輯函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時(shí)為1，奇數(shù)時(shí)為0。

A，B，C，D取值為1010～1111的情況不會(huì)出現(xiàn)或不允許出現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)屬于隨意項(xiàng)。用符號(hào)“φ”、“×”或“d”表示。

隨意項(xiàng)之和構(gòu)成的邏輯表達(dá)式叫做隨意條件或約束條件，用一個(gè)值恒為0的條件等式表示。含有隨意條件的邏輯函數(shù)可以表示成如下形式：2.利用約束項(xiàng)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，充分利用無(wú)關(guān)項(xiàng)可以得到更加簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式，因而其相應(yīng)的邏輯電路也更簡(jiǎn)單。在化簡(jiǎn)過(guò)程中，無(wú)關(guān)項(xiàng)的取值可視具體情況取0或取1。具體地講，如