中考專題方差與頻率分布

教學(xué)內(nèi)容：方差與頻率分布

【重點(diǎn)難點(diǎn)提示】重點(diǎn)：方差的概念及其計(jì)算，頻率分布的概念及其獲得的方法。難點(diǎn)：方差的概念和列頻率分布表。考點(diǎn)：考查的知識(shí)點(diǎn)是方差、標(biāo)準(zhǔn)差及頻數(shù)、頻率的意義及其求法；列頻率分布表，畫頻率分布直方圖，重視考查基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能、基本方法，分值一般在2~7分左右，近年來分值有增多的趨勢(shì)。

【經(jīng)典范例引路】例1（2002黃岡市中考題）某班同學(xué)參加公民道德知識(shí)競(jìng)賽，將競(jìng)賽所得成績(jī)（得分取整數(shù)）進(jìn)行整理后分成五組，并繪制成頻率分布直方圖（如圖），請(qǐng)結(jié)合直方圖提供的信息，解答下列問題：（1）該班共有多少名學(xué)生？（2）~這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)、頻率分別是多少？（3）這次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)？解（1）人數(shù)=6+8+10+18+16+2=60（人）（2）頻數(shù)是18，頻率==（人）（3）平均成績(jī)===71（分）例2在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某班進(jìn)行了小制作評(píng)比，作品上交時(shí)間為5月1日至30日。評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖如右圖，已知從左至右各長方形的高的比是2∶3∶4∶6∶4∶1，第三組的頻數(shù)為12，請(qǐng)解答下列問題：（1）本次活動(dòng)中共有多少件作品參加評(píng)比？（2）哪組上交的作品數(shù)量最多？有多少件？（3）經(jīng)過評(píng)比，第四組和第六組分別有10件和2件作品獲獎(jiǎng)，問這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高？解（1）==，12÷=60（件），答：本次活動(dòng)共60件作品參加評(píng)比；（2）60×=18（件）答：第四組上交作品數(shù)量最多，有18件；（3）第四組獲獎(jiǎng)率為：=，第六組獲獎(jiǎng)率為=答：第六組獲獎(jiǎng)率較高。

【解題技巧點(diǎn)撥】樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)就越大；求樣本方差的方法有兩個(gè)：①設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2…xn的平均數(shù)為，則其方差=[(x1－)2+(x2－)2+…(xn－)2]②S2=[(x12+x22+…+xn2)－n2]

【同步達(dá)綱練習(xí)】一、填空題1.數(shù)據(jù)－3，－2，0，2，3的方差是。2.數(shù)據(jù)2，3，x,5,10的平均數(shù)為4，則標(biāo)準(zhǔn)差為。3.甲、乙兩人比賽飛鏢，兩人所得平均環(huán)數(shù)相同，其中甲所得環(huán)數(shù)最大值與最小值的差為5，乙所得環(huán)數(shù)如下：0，1，5，9，10那么成績(jī)較為穩(wěn)定的是。4.在n個(gè)數(shù)中，如果其中最大的數(shù)與它們的平均數(shù)相等，則這幾個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于。5.已知樣本x1,x2…xn的方差為2，則樣本3x1+2,3x2+2…，3xn+2的方差為。6.在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個(gè)小長方形，已知中間一個(gè)長方形面積等于其他8個(gè)長方形面積的，又已知樣本容量為100，則中間一組的頻數(shù)是。7.已知樣本方差S2=[(x12+x22+…+x202)－80]，則樣本平均數(shù)為。8.為了了解某中學(xué)初三年級(jí)250名學(xué)生開學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取了50名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，求得樣本=，表1是50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布表。分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率~正3a~正一6~正正9~正正正下17~正正b~正5會(huì)計(jì)

501根據(jù)題中給出的條件回答下列問題：（1）在這次抽樣分析的過程中，樣本是；（2）頻率分布表中的數(shù)據(jù)a=,b=;（3）估計(jì)該校初三實(shí)欠升學(xué)考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)榉帧＃?）在這次升學(xué)考試中，該校初三數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趡范圍內(nèi)的人數(shù)約為人。

二、選擇題9.下面4種說法①通常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)②如果樣本方差越大，可以估計(jì)總體的波動(dòng)就越大，③一般情況下，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布；④樣本容量越大，對(duì)總體的估計(jì)越精確，其中正確的有（）句 10.下列說法中正確的是（），4，3，5，5，2這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3B.為了解參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽了100名運(yùn)動(dòng)員的年齡，在這里100名運(yùn)動(dòng)員是抽取的一個(gè)樣本C.如果數(shù)據(jù)x1,x2…xn的平均數(shù)是,那（x1－）+（x2－）+…（xn－）=0D.一組表據(jù)的方差是S2，將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差是3S211.要了解全市初三學(xué)生身高在某一范圍內(nèi)的學(xué)生所占比的大小，需要知道（）A.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.頻率分布12.在某次體育活動(dòng)中，統(tǒng)計(jì)甲、乙兩班學(xué)生每分鐘跳繩的成績(jī)（單位：次）如下表：班級(jí)參加人數(shù)平均次數(shù)中位數(shù)方差甲班55135149190乙班55135151110（1）甲班學(xué)生的平均成績(jī)高于乙班學(xué)生的平均成績(jī)；（2）甲班學(xué)生的成績(jī)波動(dòng)比乙班學(xué)生的成績(jī)波動(dòng)大；（3）甲班學(xué)生成績(jī)的人數(shù)不會(huì)多于乙班學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)（跳繩次數(shù)≥150次為優(yōu)秀），則正確的命題有（）個(gè) 13.為了考察某種大麥穗長的分布情況，在一塊試驗(yàn)地里抽取了100個(gè)穗，量得它們的長度（單位：厘米之后），將所得數(shù)據(jù)以厘米為組距，分成如下12個(gè)組：~,~,~,…,~,~，通過分析計(jì)算，最后畫出的頻率分布直方圖如圖，由圖可知（）A.長度在厘米~厘米范圍內(nèi)的麥穗所占的比最大B.長度在厘米~厘米范圍內(nèi)的麥穗所占的比大于25%C.長度在厘米~厘米范圍內(nèi)的麥穗所占的比最大D.長度在厘米~厘米范圍內(nèi)的麥穗比長度在厘米~厘米范圍內(nèi)麥穗少14.在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的()A.頻數(shù) B.頻率 C.組數(shù) D.組距

三、解答題15.樣本4，2，x,1的方差S2=，求x.

16.甲乙二人參加體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖所示。（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)。

17.為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)同年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行跳繩測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖如下，已知圖中從左到右前三個(gè)小組的頻率分別是,,，第一小組的頻數(shù)是5。（1）求第四小組的頻率；（2）問參加這次測(cè)試的學(xué)生數(shù)是多少？（3）問在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在四個(gè)小組的哪個(gè)小組內(nèi)，并說明理由。

18.對(duì)某班學(xué)生一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)如圖所示（分?jǐn)?shù)取整數(shù)，請(qǐng)觀察圖形并回答：（1）該班有多少名學(xué)生？（2）~這一組的頻數(shù)，頻率分別是多少？（3）估算該班這次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)。

【創(chuàng)新思維訓(xùn)練】19.為了解某地初中三年級(jí)男生的身高情況，從其中的一個(gè)學(xué)校選取容量為60的樣本（60名男生的身高），分組情況如下：分組~~~~頻數(shù)62127m頻率

a（1）求出表中a、m的值；（2）畫出頻率分布直方圖。

20.某地區(qū)有初三男生175人，為了了解這一地區(qū)初三男學(xué)生的身高情況，從中隨機(jī)抽取50名，取得他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)后，下面是數(shù)據(jù)整理與計(jì)算的一部分。

數(shù)據(jù)整理與計(jì)算樣本=164(cm)頻率分布表分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率~

1~

2~

4~

15

16~

5~

~

3合計(jì)

50

（1）在這個(gè)問題中總體和樣本各指什么？（2）填寫頻率分布表中未完成的部分；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)整理與計(jì)算回答下列問題：①該校初中三年級(jí)男學(xué)生身高在~的范圍內(nèi)的人數(shù)約為多少？占多大比例？②估計(jì)該校初中三年級(jí)男學(xué)生的平均身高。

參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】1.2.3.甲8.(1)50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（2）a=b=10(3)(4)85=316.(1)x甲=13（分）x乙=13分S甲2=4S乙2=（2）甲的成績(jī)進(jìn)步快，乙的成績(jī)較穩(wěn)定17.解（1）因?yàn)楦餍〗M的頻率之和等于1，所以第四小組的頻率為1－（++）=;(2)因?yàn)榈谝恍〗M的頻率為頻數(shù)為5，所以參加這次測(cè)試的學(xué)生數(shù)為=50（人）（3）這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第三小組內(nèi)。18.（1）50名（2）12，(3)80分19.解（1）第一小組的頻率==，第二小組的