專題21.10 一元二次方程章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（人教版）（原卷版）

專題21.10一元二次方程章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求值】 1【題型2利用一元二次方程的解法解特殊方程】 1【題型3利用一元二次方程求最值】 2【題型4利用一元二次方程的根求取值范圍】 3【題型5一元二次方程中的新定義問題】 3【題型6一元二次方程中的規(guī)律探究】 4【題型7一元二次方程在幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題】 6【題型8一元二次方程與幾何圖形的綜合問題】 7【題型1利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求值】【例1】（2023春·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個(gè)根，則α2+2024α+2β2+2024β+2的值為（

）A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023【變式1-1】（2023春·四川南充·九年級(jí)四川省營(yíng)山中學(xué)校?？计谥校┮阎猘，b是方程x2-x-1=0的兩根，則代數(shù)式2aA．19 B．20 C．14 D．15【變式1-2】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a是方程x2-2021x+1=0的一個(gè)根，則a【變式1-3】（2023春·四川自貢·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則n3A．1 B．-1 C．2 D．-2【題型2利用一元二次方程的解法解特殊方程】【例2】（2023春·上海青浦·九年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋?1)x+2-(2)2xx(3)2【變式2-1】（2023春·上海·九年級(jí)期中）解方程：mx2【變式2-2】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：解方程：x3解：方程左邊分解因式，得x(x+1)(x-1)=0，解得x1=0，x2問題解決：（1）解方程：4x（2）解方程：(x（3）方程(2x2-x+1)【變式2-3】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)景德鎮(zhèn)一中?？计谀┙夥匠蹋?1)x4(2)|x-1|+|x-2|+|2x-3|=4；(3)x2【題型3利用一元二次方程求最值】【例3】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)景德鎮(zhèn)一中校考期末）設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+【變式3-1】（2023春·四川瀘州·九年級(jí)?？计谀┮阎獙?shí)數(shù)x，y滿足x2+3x+y-3=0，則x+y的最大值為【變式3-2】（2023·浙江金華·九年級(jí)期中）當(dāng)a=，b=時(shí)，多項(xiàng)式a2-2ab+2b【變式3-3】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料：麗麗這學(xué)期學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱的知識(shí)，知道了像角、等腰三角形、正方形、圓等圖形都是軸對(duì)稱圖形.類比這一特性，麗麗發(fā)現(xiàn)像m+n，mnp，m2+n2等代數(shù)式，如果任意交換兩個(gè)字母的位置，式子的值都不變她還發(fā)現(xiàn)像m2+n2，(m-1)(n-1)等神奇對(duì)稱式都可以用mn,m+n表示.例如：m2+請(qǐng)根據(jù)以上材料解決下列問題：（1）代數(shù)式①1mn，②m2-n2，③nm，④xy+（2）已知(x-m)(x-n)=x2①q=__________（用含m，n的代數(shù)式表示）；②若p=3，??q=-2，則神奇對(duì)稱式③若p2-q=0【題型4利用一元二次方程的根求取值范圍】【例4】（2023春·四川眉山·九年級(jí)校考期中）關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是（）A．﹣27＜a＜25 B．a(chǎn)＞25 C．a(chǎn)＜﹣27 D．﹣2【變式4-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期中）已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且m2+mn+n2＝3，則q的取值范圍是．【變式4-2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)景德鎮(zhèn)一中?？计谀╆P(guān)于x的方程(1-m2)x2-2mx-1=0的所有根都是比【變式4-3】（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)山東省煙臺(tái)第十中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于x的方程(m2-5m+6)x2【題型5一元二次方程中的新定義問題】【例5】（2023春·四川資陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，則稱這個(gè)方程為請(qǐng)閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程x2+9x+14=0是否為“限根方程(2)若關(guān)于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程(3)若關(guān)于x的一元二次方程x2+1-mx-m=0是“限根方程【變式5-1】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┒x：如果關(guān)于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與a2x2+b2x+c2=0（a2(1)直接寫出方程x2-4x+3=0的“對(duì)稱方程(2)若關(guān)于x的方程3x2+m-1x-n=0與-3x2-x=-1互為“對(duì)稱方程【變式5-2】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種新運(yùn)算“a*b”：當(dāng)a≥b時(shí)，a*b=a+3b；當(dāng)a<b時(shí)，a*b=a-3b．例如：3*-4（1）填空：(-4)*3=_；若x*(x+6)=-8，則x=_；（2）已知3x-7*3-2x>-6（3）小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論x取何值，計(jì)算x2【變式5-3】（2023春·江蘇·九年級(jí)期中）定義：我們把關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0與cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）稱為一對(duì)“友好方程”．如2x（1）寫出一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程（2）已知一元二次方程x2+3x-10=0的兩根為x1=2，x2=-5，它的“友好方程”的兩根x3=12、x4=________．根據(jù)以上結(jié)論，猜想ax2+bx+c=0的兩根（3）已知關(guān)于x的方程2021x2+bx-c=0的兩根是x1=-1，x2=【題型6一元二次方程中的規(guī)律探究】【例6】（2023春·江蘇·九年級(jí)期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“（1）請(qǐng)根據(jù)上述結(jié)論解決問題：方程①2x2-3x+1=0；方程②x2-2x-8=0；方程（2）一般規(guī)律探究：我們知道，若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則有x1+x2=-ba，x1（3）若(x-1)(mx-n)=0是倍根方程，求2nm【變式6-1】（2023春·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)洛陽(yáng)市東升第三中學(xué)?？计谥校┤绫恚悍匠?、方程2、方程3、…是按一定規(guī)律排列的一列方程．序號(hào)方程方程的解1x2+x﹣2﹣＝0x1＝﹣2x2＝12x2+2x﹣8﹣＝0x1＝﹣4x2＝23x2+3x﹣18＝0x1＝x2＝…………（1）解方程3，并將它的解填在表中的空白處；（2）請(qǐng)寫出這列方程中第10個(gè)方程，并用求根公式求其解．（3）根據(jù)表中的規(guī)律寫出第n個(gè)方程和這個(gè)方程的解．【變式6-2】（2023春·江西撫州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，中間用相同的白色正方形瓷磚，四周用相同的黑色長(zhǎng)方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察圖形并解答下列問題：(1)問：依據(jù)規(guī)律在第n個(gè)圖中，黑色瓷磚多少塊，白色瓷磚有多少塊；(2)問：依據(jù)規(guī)律在第8個(gè)圖中，黑色瓷磚多少塊，白色瓷磚有多少塊；(3)某新學(xué)校教室要裝修，每間教室面積為68m2，準(zhǔn)備定制邊長(zhǎng)為0.5米的正方形白色瓷磚和長(zhǎng)為0.5米、寬為0.25米的長(zhǎng)方形黑色瓷磚來(lái)鋪地面．按照此圖案方式進(jìn)行裝修，瓷磚無(wú)須切割，恰好完成鋪設(shè)．已知白色瓷磚每塊20元，黑色瓷磚每塊10元，請(qǐng)問每間教室瓷磚共需要多少元？【變式6-3】（2023春·貴州遵義·九年級(jí)赤水市第一中學(xué)?？计谀胺謮K計(jì)數(shù)法”：對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法．例如：圖1有6個(gè)點(diǎn)，圖2有12個(gè)點(diǎn)，圖3有18個(gè)點(diǎn)，……，按此規(guī)律，求圖10、圖n有多少個(gè)點(diǎn)？我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同（如圖），這樣圖1中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×1=6個(gè)；圖2中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×2=12個(gè)：圖3中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×3=18個(gè)；所以容易求出圖10、圖n中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是、．請(qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”，先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊（畫在答題卡上），再完成以下問題：（1）第5個(gè)點(diǎn)陣中有個(gè)圓圈；第n個(gè)點(diǎn)陣中有個(gè)圓圈．（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271嗎？如果會(huì)，請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣．【題型7一元二次方程在幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例7】（2023春·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q(1)求DQ、PC的代數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；(3)當(dāng)0<t<10．5時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的【變式7-1】（2023春·浙江·九年級(jí)期中）如圖，在?ABCD中，AD=82，E，F(xiàn)分別為CD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，DE=BF，分別以AE，CF為對(duì)稱軸翻折△ADE，△BCF，點(diǎn)D，B的對(duì)稱點(diǎn)分別為G，H．若E，G，H，F(xiàn)恰好在同一直線上，∠GAF=45°，且GH=11，則AB的長(zhǎng)是．【變式7-2】（2023春·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小華同學(xué)學(xué)習(xí)了課本1.4節(jié)“問題6”后，在已知條件不變的情況下，又對(duì)該例題進(jìn)行了拓展探究，請(qǐng)你和他一起解決以下幾個(gè)問題：

問題6如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以(1)幾秒鐘后點(diǎn)P、Q的距離為42(2)幾秒鐘后∠DQP為直角？請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)BP=BQ時(shí)，Rt△PBQ內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，連接PM、QM、BM．若∠BQM=∠MBP，線段PM的最小值為【變式7-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC上有兩動(dòng)點(diǎn)E和F，連接BE和BF，若AE=CF，AC-AB=9，AC-BC=2，則BE+BF的最小值是．

【題型8一元二次方程與幾何圖形的綜合問題】【例8】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC，交邊AD，AB于點(diǎn)F，H，連接CF，CH．（1）求證：CF＝CH；（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)△AFH與△CDF的面積相等時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【變式8-1】（2023春·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）歐幾里得的《原本》記載，形如x2+bx=a2的方程的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b2A．AC的長(zhǎng) B．AD的長(zhǎng) C．BC的長(zhǎng) D．BD的長(zhǎng)【變式8-2】（2023春·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形AB