第07講 二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題專題探究(原卷版)

第7講二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題專題探究考點一“兩定一動”型等腰三角形存在性問題【知識點睛】如圖，已知定點A、O，在x軸上找點P，使△OAP為等腰三角形則P1、P2、P3、P4即為符合題意的點P解決策略：（有時也可用兩點間距離公式求值）即：①當OA=OP時，以O(shè)點為圓心，OA長為半徑畫圓，與目標直線x軸的交點即為所求點②當OA=AP時，以A點為圓心，OA長為半徑畫圓，與目標直線x軸的交點即為所求點③當AP=OP時，線段OA的中垂線與目標直線x軸的交點即為所求點【類題訓(xùn)練】1．在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣bx+c（b＞0，b、c為常數(shù)）的頂點為A，與y軸交于點B，點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C．若△ABC是等腰直角三角形，則BC的長為．4．如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2．?（1）求此拋物線的解析式；（2）若點B是x軸上的一點，且△OAB為等腰三角形，請直接寫出B點坐標．5．如圖，拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C，點D在拋物線上．?（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BC，若點D為直線BC上方拋物線上的點，過點D作DP∥x軸交BC于點P，作DQ∥y軸交BC于點Q，若△DPQ的面積為2，求D點坐標；（3）如圖2，點M為拋物線的頂點，當x＞﹣2時，在拋物線上是否存在點D使△AMD是等腰三角形？若能，請直接寫出點D的坐標；若不能，請說明理由．6．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A和點C（1，0），交y軸于點B（0，3）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為P，對稱軸與x軸交于點Q，求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）；（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．考點二“一定兩動”型等腰三角形存在性問題【知識點睛】如圖，P、Q分別為AB、CB上一動點，當△BPQ是等腰三角形時，有以下幾種情況：①BP=BQ②BQ=PQ③BP=PQ解決策略：即BQ=PQ可轉(zhuǎn)化為:;BP=PQ可轉(zhuǎn)化為:☆特別地：當題目給出的數(shù)據(jù)還好時，也可選擇用代數(shù)法來分類討論等腰三角形步驟如下：①根據(jù)點的坐標，表示出三邊的平方②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得到兩兩相等的的三個方程③分別解出這三個方程，再依據(jù)結(jié)果判斷是否存在【類題訓(xùn)練】2．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，則∠ACB＝°；M是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上一點，作MQ∥y軸交BC于Q，若△NQM是以NQ為腰的等腰三角形，則線段NC的長為．3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是拋物線的頂點，請畫出四邊形ABDC，并求出四邊形ABDC的面積；（3）點E是拋物線上一動點，設(shè)點E的橫坐標為t（1＜t＜4），點F為拋物線對稱軸l上一點．若△BEF是等腰直角三角形，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標，并寫出其中一種情況的計算過程．7．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，3），與y軸交于點C，經(jīng)過點C的直線與拋物線交于另一點E（6，m），點M為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求直線CE的解析式；（2）如圖2，點P為直線CE上方拋物線上一動點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，求點P的坐標以及△PCE面積的最大值．（3）如圖3，將點D右移一個單位到點N，連接AN，將（1）中拋物線沿射線NA平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點N，y′的頂點為點G，在新拋物線y′的對稱軸上是否存在點H，使得△MGH是等腰三角形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線x2+bx+c與直線AB交于點A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，將該拋物線先向左平移4個單位，再向上移3個單位