2015年考研數(shù)學(xué)線代知識(shí)模塊六

#/12線代預(yù)測(cè)知識(shí)模塊六：線性方程組的求解考點(diǎn)1:齊次線性方程組解的情況的判定%+2%+%=0TOC\o"1-5"\h\z1 2 3%+a%+2%—0【參考題目1】已知齊次線性方程組11 / 3 有非零解，則a= a%+4%+3%—01 232%+(a+2)%—5%—011 2 3【題目出處】線性代數(shù)單元測(cè)試題a，b卷【答案】2【詳解】對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，有(123)(123)1a20a—21A=a43.005—a2、乙a+2—5,100—8,可見R(A)<30a=2.TOC\o"1-5"\h\z入%+%+入2%—0,

1 2 3【參考題目2】齊次線性方程組<%+入%+%—0,的系數(shù)矩陣記為A.若存在三階矩陣1 2 3%+%+入%—0

12 3B豐0使得AB=0,則U()(A(A)九——2且IBI=0(B)九二—2且IBIw0(C(C)九二1且IBI=0(D)九二1且IBIw0【題目出處】數(shù)三1998年真題【答案】(C)【詳解】方法Bw0,AB=0，即齊次線性方程組A%=0有非零解入1九2一又A=1入1w0，故丫(A)>1,故方程組A%=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)11人n—(A)=3—r(A)<2，因此方程組A%=0最多有兩個(gè)線性無關(guān)的解.則有，r(B)<2<3，從而有IBI=0.又方程組A%=0有非零解，由齊次線性方程組有非零解的充要條件，知IAI=0.入1入201-九即|A|=1入1(a)0九-111人1 101-九九(b)(-1)3+11-九九一101一九=(1—九)2=0其中，(a)變換：將3行乘以(-1)加到2行，再將3行乘以(—九)力口至U1行;(b):按1列展開.得九二1.應(yīng)選(C)方法將九二—2代入A,有-21-2 11 -2計(jì)算其行列式-21 4|4|：1-211 1 -2行的 倍分別加到 行03 0-331 -2，一一一03按1行展開(-1)”23 :9豐01-2由線性方程組有非零解解的充要條件知，方程組Ax:0只有零解，這與題設(shè)有B豐0,使4B:0,矛盾.因此可排除(A)、(B).又AB=0,A豐0,必有|B|=0(若|B|中0,可推得A:0，矛盾)故，排除(D)而選(C).考點(diǎn)2：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解【參考題目3】設(shè)a,a,a,a是4維非零列向量組,A=(a,a,a,a),A*是A的伴隨矩

1 2 3 4 1 2 3 4陣,已知方程組AX:0的基礎(chǔ)解系為k(1,0,2,0》，則方程組A*X=0的基礎(chǔ)解系為B.a+a,a+a,3a1 2 2 3 3a,a,a

234D.a+a,a+a,a+a,a+a1 2 2 3 3 4 4 1【題目出處】線性代數(shù)單元測(cè)試題a,b卷【答案】C.【詳解】由AX:0的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量知A:0且r(A)=3,所以(*)=1,A*X=0的基礎(chǔ)解系應(yīng)含三個(gè)解向量,故排除D.又由題設(shè)有(a,a,a,a)(1,0,2,0>:0,即a+2a=0,亦即a,a線性相關(guān)，所以1 2 3 4 1 3 1 3排除A,B.【參考題目4】設(shè)齊次線性方程組ax+bx+bx++bx-0,1 2 3 nbx+ax+bx++bx-0,1 2 3?…nbx+bx+bx++ax-0,???1 2?? 3 ???n*??其中a豐0,b豐0,n>2,試討論a,b為何值時(shí)；方程組僅有零解、有無窮多組解？在有無窮多組解時(shí)，求出全部解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解.【題目出處】數(shù)三2002年真題【詳解】方法1：對(duì)系數(shù)矩陣記為A作初等行變換(abb b) (a b b b)2行-1行bab b3行t行b-aa-b 0 0A-n行一1行bba blb-a0a-b 0????????????????? ? ? ? ?? ? ? ? ???????、bbb a) Ib-a 0 0 a-b,當(dāng)a-b（豐0）時(shí)，廠（A）=1,越-0的同解方程組為x—0,x—1,...,x—0，2 3 n基礎(chǔ)解系中含有n-1x—0,x—1,...,x—0，2 3 n為自由未知量，分別取%-1,x3-0,…,0，x-0,x=0,…，x=1得方程組n-1個(gè)線性無關(guān)的解23 n^=[-1,1,0, ,0卜工-[-1,0,1,。， ,01工-[-1,0, ,0,1卜，1 2 n-1即其基礎(chǔ)解系,方程且AX-0的全部.解為X三烙+k2i.一+勺￡1，其中k(i-1,2,n是任意常數(shù).i「a b b b、「a b b b、2行a-b(abb3行/(-Z?-110110b-aa-b0 0:n行a-bAlb-a0a-b 0--101????? ? ? ?? ? ? ?7 c C 1(b-a 0 0 a-b)???(-100當(dāng)a于b時(shí)，則b、001，11行一2行乂b

1行—3行乂》1行一n行乂b

f故當(dāng)a豐b且aW—(n—1)b時(shí)，|A|=a+?(n—1)bW0，故當(dāng)a豐b且aW—(n—1)b時(shí)，當(dāng)a=—(n—1)b時(shí)，r(A)=n—1,AX=0的同解方程組是x+x—0,1 2x+x—0,1 3x+x—0,1n基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)(未知數(shù)的個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)線性無關(guān)的解向量,取\為自由未知量，取x=1，得方程組1個(gè)非零解5二11,1,,1卜，即其基礎(chǔ)解系，故方程組的全部解為X二依，其中％是任意常數(shù).方法2方法2：方程組的系數(shù)行列式a+(n—1)bbbba+(n—1)babba+(n—1)bbab??■???■*a+(n—1)b*b?b????a把第2…，〃列加到第1列1Al二提取第1列的公因子團(tuán)+(n1Al二提取第1列的公因子團(tuán)+(n—1)b]1bbb1abb???1bab????*?*?*?*???1bba第n行-第1行1bb???b0a-b0000a-b0■???????***???????000a-b=[a+(n—1)b](a—b)n—1第2行-第1行第3行-第1行[a+(n-1)b](1)當(dāng)aWb且aW—(n—1)b時(shí)，|A|W0，r(A)—n方程組只有零解.（2）當(dāng)a=b（2）當(dāng)a=b（豐0）時(shí)，由a=aaa a第2行-第1行aaa annn naaa a第3行-第1行000 0??????000 0aaa a???????:????????????????第甯亍-第1行???????aaa a000 0方程組的同解方程組為1111000 —-01???x—0000a????????■■?????_0000???x+x十+x=0第1行n1 2x—0,x—1,...,x—0，x—0,x—1,...,x—0，23 n為自由未知量，分別取色二1，2二0，…,Xn=0，x―0,x—0,…，x—1得方程組n-1個(gè)線性無關(guān)的解23 n,0,1k1=[-1,1,0, ,0＞工=[-1,0,1,0, ,01 工 —[-1,0,,0,1k1 2 n-1即其基礎(chǔ)解系，方?程組AX=0的全部解為X—妁+好之+…+Hn-1,其中k(i=1,2,n是任意常數(shù).i(3)當(dāng)a=-(n-1)b(b豐0)時(shí)，((1-n)b

bbb(1-n)b

bbb(1-n)b1,2,...,n行分別x1-b2行-1行3行-1行-n0-n甯亍-1行-n)1-n1111-10???010-1???0??*???*?***???*100-12,...,幾行分別x1n(000??*1-1010-1******???<100把第2,...,M亍都依次加到第行廠Q）-n-1，其同解方程組是-X-0,

2X-X=0,

1n基礎(chǔ)解系中含有1基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)（未知數(shù)的個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩）線性無關(guān)的解向量,取”為自由未知即其基礎(chǔ)解系，故方程組的全部解為量，取％=1，得方程組1個(gè)非零解匕=h,i,,1t,即其基礎(chǔ)解系，故方程組的全部解為X=k己，其中k是任意常數(shù).考點(diǎn)3：非齊次線性方程組的解和導(dǎo)出組解之間的關(guān)系TOC\o"1-5"\h\z【參考題目51A是mxn的矩陣，n,H,,H是AX-0的基礎(chǔ)解系，a是AX-b的一1 2s個(gè)解.1)證明a,a+n,a+n,,a+“無關(guān);2)證明AX-b的任何一個(gè)解都可以由a,a+n,a+n,,a+n線性表示.12 s【題目出處】李永樂沖刺班講義 …【證明】(1)設(shè)存在常數(shù)k,k,k,,k使得0 1 2ska+k(a+n)+k(a+n)+???+k(a+n)-00 1 12 2 s s整理得到(k+k+k++k)a?+kn+kn++kn-0①0 1 2 s 11 22 ss兩邊同時(shí)乘以矩陣a,利用An-0,Aa-b得到?(k+k+k++k)b-0因?yàn)橄蛄縤 0 1 2 sb豐0所以k+k+k++k=0② …012 s

將其代入①得到k丑+k丑++kn=0TOC\o"1-5"\h\z11 22 ss因?yàn)閚,n,,n是ax=o的基礎(chǔ)解系，所以線性無關(guān)，即k=o,k=o,,k=o1 2s 1 2 s代入②得到k=0所以a,a+n,a+n,,a+n無關(guān). …0 1 2 s2）設(shè)P是AX=b的一個(gè)解，則P-a是么*=0的解，則P-a可以由AX=0的基礎(chǔ)解系n,n,,n來線性表示，即P-a=in+1n++1n1 2s 11 22 ssp=a+1n+1n++1n …11 22 ss=l(a+n)+1(a+n，)++1(a+n)+「1-(l+1++1)]a1 1 2 2 s $L1 2 s」ax=b的線性無關(guān)的解的個(gè)數(shù)是s+1，由1）知a,a+n,a+n,,a+n線性無關(guān)，12所以結(jié)論得證.【參考題目6】設(shè)《（2—【參考題目6】設(shè)《（2—九）x+2x-2x=11232x+（5-九）x-4x=2 ，問九取何值時(shí)，此方程組無解，有唯3X二一九一13-2x—4x+（5一九）12一解或有無窮多解？【題目出處】鉆石卡小班授課講義【詳解】|A|二2【詳解】|A|二2-九2-225-九-4-2-45-九二-（九-1）2（九一10）（1）當(dāng)入。1且入。10時(shí)，R（A）=R（A）=3=n，有唯一解.（2）當(dāng)九二1時(shí)12-212-224-412-2-200R（A）=R（A戶1<3有無窮多解.可求得特解r0=（100）.基礎(chǔ)解系為n1=（-21。,）十二基礎(chǔ)解系為n1=（-21。,）十二（201)通解a=r+kn+kn0 11 22(3)當(dāng)X=10時(shí)—A=—82-22-5-412—111210這里R(A)=2 R(A)=3R(A)wR。A故無解.考點(diǎn)5：非齊次線性方程組的通解【參考題目7】設(shè)a=(1,2,0)t,a=(1,a+2,-3a)t,a=(-1,-b—2,a+2b)t,12 3B=(1,3,—3)T，試討論當(dāng)a,b為何值時(shí)，(I)B不能由a1,a2,a3線性表示；(II)B可由a,a,a唯一地線性表示，并求出表示式；(III)B可由a,a,a線性表示，但表示式不唯123 123一,并求出表示式.【題目出處】數(shù)三2004年真題【詳解】設(shè)有數(shù)k,k,k，使得123(*)ka+ka+ka=B11 22 33(*)記A二(a1,a2,a3).對(duì)矩陣(AB)施以初等行變換，有1 1 —1 1111 —1 12a+2—b—2 3」T0a—b10—3aa+2b—3」00a—b0(A,B)=(I)當(dāng)a=0時(shí)，有一11—1 1(A,B)T00—b1000—1可知r(A)豐r(A,B).故方程組(*)無解，B不能由a,a,a線性表示.123(II)當(dāng)a豐0(II)當(dāng)a豐0,且a豐b時(shí)，有一11(A,B)T0a00—1—b

a—b11 11-1a10」0r(A)=r(A,B)=3,方程組(*)有唯一解：11k=1—,k=,k=0.1 a2a3此時(shí)B可由a1,a2,a3唯一地線性表示，其表示式為11B=(1——)a+—a.a1a2(I)當(dāng)a=b豐0時(shí)，對(duì)矩陣(A,B)施以初等行變換，有

1T010」00r(A)=r(A,B)=2,方程組(*)有無窮多解， 其全部解為TOC\o"1-5"\h\z,-1,1 ,k=1-,k=+c,k=c,其中c為任意常數(shù).1a2a3B可由a,a,a線性表示，但表示式不唯一，其表示式為1 2 3B=(1-—)a+(―+c)a+caa1a2 3x+ax+a2x=a3112 13 1x+ax+a2x=a3【參考題目8】設(shè)方程組〈1 2223 2x+ax+a2x=a31 3233 3x+ax+a2x=a3V1 4243 4(1)證明：若a豐a豐a豐a時(shí)，此方程組無解；12 3 4⑵設(shè)Va3=k，a2=a4=-k20),且已知01，R是該方程組的兩個(gè)解,其中，P=(-1,1,1),P=(11-1)試求此方程組的通解.12【題目出處】鉆石卡小班授課講義【詳解】(1)?.[A]=口(a-a)中0.??R(A)=41<i<j<4j1而R(A)<3中R(A),故無解.(2(2)當(dāng)a=a=k,

13a2=a4=-kk=0時(shí)得等價(jià)方程組x+kx+k2x=k31 2 3x-kx+k2x=-k312 3■:k豐0，,R(A)=R(A)=2<3其基礎(chǔ)解系只含一個(gè)線性無關(guān)的向量，而n=P-P=(-202)*0是AX=0的解，故可作為基礎(chǔ)解系，從而方程組的通解為12a=0+如或a=p+如12考點(diǎn)6：兩線性方程組公共解、同解【參考題目9】設(shè)有兩個(gè)4元齊次線性方程組

(I)%(I)%+%=01 2%一％=02 4(II)%一%+%=01 2 3%一%+%=0234（1）求線性方程（I）的基礎(chǔ)解系；（2）試問方程組（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解;若沒有，則說明理由.【題目出處】鉆石卡小班授課講義【詳解】 （1）（I）的基礎(chǔ)解系為勺=(0,0,1,0%，&2=(-1,1,0,1%關(guān)于共公解有下列方法：方法一把（I）（II）聯(lián)立起來直接求解，令001-001-1-1-1-2由n-R（A）=4-3=1，基礎(chǔ)解系為（-1,1,2,1%，從而（I），（II）的全部公共解為k（-1,1,2,1%，（k為任意實(shí)數(shù)）方法二通過（I）與（II）各自的通解，尋找公共解.可求得（II）的基礎(chǔ)解系為n1=6,1,1,0%，n2=（-1,-1,0,1%則k自+k自，ln+ln分別為（I），（II）的通解.TOC\o"1-5"\h\z11 22 11 22令其相等，即有k（0,0,1,0%+k（-1,1,0,1）t=L（0,1,1,0%+L（-1,-1,0,1%

12 12由此得（-k,k,k,k}=（-L,L-L,L,L}

2 2 1 2 2 1 2 1 2比較得k=L=2k=2L

11 2 2故公共解為2k（0,0,1,0）t+k（-1,1,0,1）t=k（-1,1,2,1）t22 2方法三把（I）的通解代入^。中，在為其解時(shí)尋求k，k應(yīng)滿足的關(guān)系式而求出12公共解.由于k&+k&=（-k,k,k,k）t，要是（II）的解，應(yīng)滿足（II）的方程，故11 22 2 2 1 2〔一k—k+k=0< 2 2 1k—k+k=0212解出k=2k，從而可求出公共解為kQ1,1,2,1%12 2【參考題目10】設(shè)A是m義n實(shí)矩陣，At是A的轉(zhuǎn)置矩陣，證明方程組(I)：加=0和(II):AtAx=0是同解方程組.所謂方程組同解即(I)的解全是(II)的解，(II)的解也全是⑴的解.【題目出處】鉆石卡小班授課講義【詳解】如果a是⑴的解，那么Aa=0，而ATAa=At0=0，可見a是(II)的解.TOC\o