蘇教版數(shù)學必修二講義第1章章末復習課Word版含答案

空間中的平行關系【例1】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1求證：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.思路探究：(1)取B1D1的中點O，證明四邊形BEGO是平行四邊形．(2)證B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.[證明](1)取B1D1的中點O，連結(jié)GO，OB，易證OGeq\f(1,2)B1C1，BEeq\f(1,2)B1C1，∴OGBE，四邊形BEGO為平行四邊形，∴OB∥GE.∵OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD，∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連結(jié)HB，D1F易證HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF.∵HD1平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.1．判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，aα?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aβ，a∥α?a∥β)．2．證明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定義；(2)利用面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．1．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上的點，P為平面ABC外一點．設Q為PA的中點，G為△AOC的重心．求證：QG∥平面PBC.[證明]如圖，連接OG并延長，交AC于點M，連接QM，QO，OM.由G為△AOC的重心，得M為AC的中點．由Q為PA的中點，得QM∥PC.又O為AB的中點，所以OM∥BC.因為QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.又QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.空間中的垂直關系【例2】如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.思路探究：取EC中點F，CA中點N，連結(jié)DF，MN，BN.(1)證△DFE≌△ABD，(2)證BN⊥平面ECA，(3)證DM⊥平面ECA.[證明](1)如圖所示，取EC的中點F，連結(jié)DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.(2)取CA的中點N，連結(jié)MN，BN，則MNeq\f(1,2)EC，∴MN∥BD，即N點在平面BDM內(nèi)．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD內(nèi)，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.空間垂直關系的判定方法(1)判定線線垂直的方法①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)；②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，bα，則a⊥b)．(2)判定線面垂直的方法①線面垂直的定義(一般不易驗證任意性)；②線面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n＝A?a⊥α)；③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)；④面面垂直的性質(zhì)定理(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l?a⊥α)；⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計算其為90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)．2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M為PC的中點．(1)求證：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD.[證明](1)如圖，連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OM.因為底面ABCD是平行四邊形，所以點O為AC的中點．又M為PC的中點，所以OM∥PA.因為OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因為PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD.因為AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因為BD平面PBD，所以AD⊥BD.因為PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PD⊥BD.又因為BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD⊥平面PAD.空間幾何體的體積及表面積【例3】如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．(1)證明MN∥平面PAB；(2)求四面體N-BCM的體積．思路探究：(1)利用線面平行的判定定理進行證明，即通過線線平行證明線面平行；(2)先求出點N到平面BCM的距離及△BCM的面積，然后代入錐體的體積公式求解．[解](1)證明：由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TNAM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為eq\f(1,2)PA.如圖，取BC的中點E，連接AE.由AB＝AC＝3得，AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距離為eq\r(5)，故S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面體N-BCM的體積VN-BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5),3).幾何體的表面積及體積的計算是現(xiàn)實生活中經(jīng)常能夠遇到的問題，在計算中應注意各數(shù)量之間的關系及各元素之間的位置關系，特別是特殊的柱、錐、臺體，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的應用，注意分割與組合的合理應用；關注展開與折疊問題．3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側(cè)面積．[解](1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，因為AP∩PD＝P，AP平面PAD，PD平面PAD，從而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如圖，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.設AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由題設得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.從而結(jié)合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).平面圖形的翻折問題【例4】如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D是AP的中點，E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點，將△PCD沿CD折起得到四棱錐P-ABCD.(1)G為線段BC上任一點，求證：平面EFG⊥平面PAD；(2)當G為BC的中點時，求證：AP∥平面EFG.思路探究：(1)轉(zhuǎn)化為證EF⊥平面PAD；(2)轉(zhuǎn)化為證平面PAB∥平面EFG.[證明](1)在直角梯形ABCP中，∵BC∥AP，BC＝eq\f(1,2)AP，D為AP的中點．∴BCAD，又AB⊥AP，AB＝BC，∴四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱錐P-ABCD中，∵E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD平面PAD，AD平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)法一：∵G，F(xiàn)分別為BC和PC的中點，∴GF∥BP.∵GF平面PAB，BP平面PAB，∴GF∥平面PAB.由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB.∵EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF平面EFG，GF平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二：取AD中點H(略)，連結(jié)GH，HE.由(1)知四邊形ABCD為平行四邊形．又G，H分別為BC，AD的中點，∴GH∥CD.由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四點E，F(xiàn)，G，H共面．∵E，H分別為PD，AD的中點，∴EH∥PA.∵PA平面EFGH，EH平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.空間幾何中的翻折問題是幾何證明，求值問題中的重點和難點，在高考中經(jīng)?？疾椋?1)解決與翻折有關的問題的關鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同一側(cè)的線段的長度是不變量，而位置關系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．(2)在解決問題時，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形．4．如圖(1)所示，在直角梯形ABEF中(圖中數(shù)字表示線段的長度)，將直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，連結(jié)部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖(2)所示．(1)(2)(1)求證：BE∥平面ADF；(2)求三棱錐F-BCE的體積．[解](1)證明：法一：取DF的中點G，連結(jié)AG，EG，∵CE＝eq\f(1,2)DF，∴EGCD.又∵ABCD，∴EGAB，∴四邊形ABEG為平行四邊形，∴BE∥AG.∵BE平面ADF，AG平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二：由圖(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關系不變．∵BC平面ADF，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)法一：∵VF-BCE＝VB-CEF，由圖(1)可知BC⊥CD.∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由圖(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝eq\f(1,2)CE×DC＝eq\f(1,2)，∴VF-BCE＝VB-CEF＝eq\f(1,3)×BC×S△CEF＝eq\f(1,6).法二：由圖(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，點F到平面BCE的距離等于點D到平面BCE的距離為1，由圖(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝eq\f(1,2)BC×CE＝eq\f(1,2)，∴VF-BCE＝eq\f(1,3)×CD×S△BCE＝eq\f(1,6).法三：過E