專題4.15 一次函數(shù)的應(yīng)用（知識講解）-2022-2023學年八年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項講練（北師大版）

專題4.15一次函數(shù)的應(yīng)用（知識講解）【學習目標】1.能從實際問題的圖象中獲取所需信息；2.能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題并準確的列出一次函數(shù)的解析式；3.能利用一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)解決簡單的實際問題；4.提高解決實際問題的能力．認識數(shù)學在現(xiàn)實生活中的意義，發(fā)展運用數(shù)學知識解決實際問題的能力．【要點梳理】要點一、數(shù)學建模的一般思路數(shù)學建模的關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實際情景通過數(shù)學轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù)模型.要點二、正確認識實際問題的應(yīng)用在實際生活問題中，如何應(yīng)用函數(shù)知識解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.特別說明：要注意結(jié)合實際，確定自變量的取值范圍，這是應(yīng)用中的難點，也是中考的熱門考點.要點三、選擇最簡方案問題分析問題的實際背景中包含的變量及對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學模型在分析解決實際問題中的重要作用.【典型例題】類型一、分配方案問題1．某生態(tài)體驗園推出了甲、乙兩種消費卡，設(shè)入園次數(shù)為x時所需費用為y元，選擇這兩種卡消費時，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，解答下列問題（1）分別求出選擇這兩種卡消費時，y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）請根據(jù)入園次數(shù)確定選擇哪種卡消費比較合算．【答案】（1），

（2）見分析【分析】（1）運用待定系數(shù)法，即可求出y與x之間的函數(shù)表達式；（2）解方程或不等式即可解決問題，分三種情形回答即可．解：（1）設(shè)，根據(jù)題意得，解得，∴；設(shè)，根據(jù)題意得：，解得，∴；（2）①，即，解得，當入園次數(shù)小于10次時，選擇甲消費卡比較合算；②，即，解得，當入園次數(shù)等于10次時，選擇兩種消費卡費用一樣；③，即，解得，當入園次數(shù)大于10次時，選擇乙消費卡比較合算．【點撥】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、學會利用方程組求兩個函數(shù)圖象的解得坐標，正確由圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．舉一反三：【變式1】已知A、B兩地的路程為240千米，某經(jīng)銷商每天都要用汽車或火車將x噸保鮮品一次性由A地運往B地，受各種因素限制，下一周只能采用汽車和火車中的一種進行運輸，且須提前預(yù)訂.．現(xiàn)在有貨運收費項目及收費標準表，行駛路程S（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)圖象（如圖①），上周貨運量折線統(tǒng)計圖（如圖②）等信息如下：貨運收費項目及收費標準表運輸工具運輸費單價：元/（噸?千米）冷藏費單價：元/（噸?時）固定費用：元/次汽車25200火車1.652280（1）汽車的速度為__________千米/時，火車的速度為_________千米/時；（2）設(shè)每天用汽車和火車運輸?shù)目傎M用分別為y汽（元）和y火（元），分別求y汽、y火與x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）及x為何值時y汽＞y火；（總費用=運輸費＋冷藏費＋固定費用）（3）請你從平均數(shù)、折線圖走勢兩個角度分析，建議該經(jīng)銷商應(yīng)提前下周預(yù)定哪種運輸工具，才能使每天的運輸總費用較??？【答案】（1）60，100.（2）..>20.（3）建議預(yù)定火車費用較省.【分析】（1）根據(jù)點的坐標為：（2，120），（2，200），直接得出兩車的速度即可；（2）根據(jù)圖表得出貨運收費項目及收費標準表、行駛路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)圖象，得出關(guān)系式即可；（3）根據(jù)平均數(shù)的求法以及折線圖走勢兩個角度分析得出運輸總費用較省方案．解：（1）根據(jù)圖表上點的坐標為：（2，120），（2，200），∴汽車的速度為60千米/時，火車的速度為100千米/時．故答案為60千米/時，100千米/時；（2）依據(jù)題意得出：y汽=240×2x+×5x+200，=500x+200；y火=240×1.6x+×5x+2280，=396x+2280．若y汽＞y火，得出500x+200＞396x+2280．∴x＞20；（3）上周貨運量=（17+20+19+22+22+23+24）÷7=21＞20，從平均數(shù)分析，建議預(yù)定火車費用較?。畯恼劬€圖走勢分析，上周貨運量周四（含周四）后大于20且呈上升趨勢，建議預(yù)訂火車費用較省【點撥】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及折線圖走勢，根據(jù)數(shù)形結(jié)合解決實際問題是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】陜西省某游樂園推出了兩種收費方式．方式一：顧客先購買月卡，每張月卡120元，僅限兩名家長和一名兒童當月使用，憑卡游玩，不限游玩次數(shù)，每人每次只需付5元．方式二：顧客不購買月卡，每次游玩，每個成年人付費20元，每個兒童付費15元．設(shè)一名顧客帶著他的妻子和6歲孩子，在一個月內(nèi)來此游樂園的次數(shù)為x次，設(shè)選擇方式一的總費用為（元），選擇方式二的總費用為（元）．(1)請分別寫出，與x之間的函數(shù)表達式．(2)該顧客一個月內(nèi)在此游樂園游玩的次數(shù)x在什么范圍時，選擇方式一比方式二省錢．【答案】(1)．；(2)【分析】（1）根據(jù)題意分別列出函數(shù)式即可；（2）利用（1）的結(jié)果，結(jié)合選擇方式一比方式二省錢，列出不等式并求解，則可解決問題．解：(1)由題意得：，；(2)∵，∴解得．答：當x>3時，選擇方式一比方式二省錢．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用及方案選擇問題，正確理解題意列出函數(shù)式是解題的關(guān)鍵．類型二、最大利潤問題2．我市某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、B兩種戶型的住房共80套，A種戶型每套成本和售價分別為90萬元和102萬元，B種戶型每套成本和售價分別為60萬元和70萬元，設(shè)計劃建A戶型x套，所建戶型全部售出后獲得的總利潤為W萬元．(1)求W與x之間的函數(shù)解析式；(2)該公司所建房資金不少于5700萬元，且所籌資金全部用于建房，若A戶型不超過32套，則該公司有哪幾種建房方案？(3)在（2）的前提下，根據(jù)國家房地產(chǎn)政策，公司計劃每套A戶型住房的售價降低a萬元（0＜a≤3），B戶型住房的售價不變，且預(yù)計所建的兩種住房全部售出，求該公司獲得最大利潤的方案．【答案】(1)W＝2x+800(2)該公司有3種建房方案：①建A種戶型30套，B種戶型50套；②建A種戶型31套，B種戶型49套；三建A種戶型32套，B種戶型48套(3)當0＜a≤2時，按（2）中第三種方案；當a＝2時，按（2）中三種方案均可；當2＜a≤3時，按（2）中第一種方案【分析】（1）根據(jù)A種戶型x套，則B種戶型（80﹣x）套，根據(jù)一套的利潤×總的套數(shù)＝總利潤，列出一次函數(shù)可得出答案；（2）根據(jù)該公司所建房資金不少于5700萬元且A戶型不超過32套，得出該公司建房方案；（3）在（2）的前提下，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．解：（1）∵A、B兩種戶型的住房共80套，A戶型x套，則B戶型有（80﹣x）套，根據(jù)題意得，W＝（102﹣90）x+（70﹣60）（80﹣x）＝12x+10（80﹣x）＝2x+800，∴W與x之間的函數(shù)解析式為W＝2x+800；（2）由題意得：90x+60（80﹣x）≥5700，解得：x≥30，∵x≤32，∴30≤x≤32（x為正整數(shù)），∴x取30，31，32，∴該公司有3種建房方案：第一種：建A種戶型30套，B種戶型50套；第二種：建A種戶型31套，B種戶型49套；第三種：建A種戶型32套，B種戶型48套；（3）由題意得：W＝（12﹣a）x+10（80﹣x）＝（2﹣a）x+800，當0＜a≤2時，W隨x的增大而增大，∴x＝32時，W最大，此時按（2）中第三種方案；當a＝2時，W＝800，此時按（2）中三種方案均可；當2＜a≤3時，W隨x的增大而減小，∴當x＝30時，W最大，此時按（2）中第一種方案．【點撥】此題考查了一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，找出它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出不等式或一次函數(shù)，掌握函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】某超市經(jīng)銷某品牌的兩種包裝的產(chǎn)品，進價與售價如表：類別價格禮盒裝獨享裝進價（元袋）a售價（元袋）7810已知購進50袋禮盒裝的總價與購進300袋獨享裝的總價相同：(1)求禮盒裝和獨享裝每袋的進價．(2)若超市用4000元購進了兩種包裝的該產(chǎn)品，其中禮盒裝的數(shù)量不超過獨享裝的4倍，在兩種包裝的產(chǎn)品全部售完的情況下，求總利潤的最大值．【答案】(1)禮盒裝和獨享裝每袋的進價分別為48元，8元(2)總利潤的最大值為2440元【分析】（1）利用“購進50袋禮盒裝的總價與購進300袋獨享裝的總價相同”作為等量關(guān)系列方程；（2）列出函數(shù)解析式并求出自變量取值范圍，利用函數(shù)增減性確定結(jié)果．(1)解：依題意，得解得，∴答：禮盒裝和獨享裝每袋的進價分別為48元，8元．(2)設(shè)購進禮盒裝x袋，則購進獨享裝，即袋．依題意，得解得，．設(shè)總利潤為w元，則∵∴w隨x的增大而增大．∵∴當時，總利潤w取到最大值，最大值為元．答：總利潤的最大值為2440元．【點撥】本題考查利用一次函數(shù)解決利潤最大問題，解決問題的關(guān)鍵是列出函數(shù)解析式，確定自變量取值范圍，關(guān)鍵一次函數(shù)的增減性確定最值．【變式2】某電子超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的耳機，進貨時發(fā)現(xiàn)，甲品牌耳機進貨價每副30元，且甲品牌耳機每副的進貨價比乙品牌耳機每副的進貨價高6元．銷售時，甲品牌耳機的售價為每副36元，乙品牌耳機的售價為每副28元．若超市需要購進甲、乙兩種品牌的耳機共120副，且購進兩種耳機的總成本不超過3120元，超市應(yīng)購進甲、乙兩種品牌耳機各多少副，才能在兩種品牌的耳機完全售出后所獲利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】超市應(yīng)購進甲、乙兩種品牌耳機各40副，80副，才能在兩種品牌的耳機完全售出后所獲利潤最大，最大利潤是560元【分析】設(shè)購進甲品牌耳機x副，則購買乙品牌耳機副，利潤為W，根據(jù)利潤=（售價-進價）乘以數(shù)量，列出W關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．解：設(shè)購進甲品牌耳機x副，則購買乙品牌耳機副，利潤為W，由題意得，∵總成本不超過3120元，∴，∴，∴，∵2＞0，∴W隨x增大而增大，∴當x=40時，W最大，最大為560，答：超市應(yīng)購進甲、乙兩種品牌耳機各40副，80副，才能在兩種品牌的耳機完全售出后所獲利潤最大，最大利潤是560元．【點撥】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．類型三、行程問題3.快車和慢車分別從A市和B市兩地同時出發(fā)，勻速行駛，先相向而行，慢車到達A市后停止行駛，快車到達B市后，立即按原路原速度返回A市（調(diào)頭時間忽略不計）結(jié)果與慢車同時到達A市．快、慢兩車距B市的路程y1、y2（單位：km）與出發(fā)時間x（單位h）之間的函數(shù)圖象如圖所示．A市和B市之間的路程是km；求a的值．并解釋圖中點M的橫坐標、縱坐標的實際意義；快車與慢車迎面相遇以后，再經(jīng)過多長時間兩車相距90km？【答案】(1)360(2)a＝120，點M的橫坐標、縱坐標的實際意義是兩車出發(fā)2小時時，在距B市120km處相遇．(3)快車與慢車迎面相遇以后，再經(jīng)過0.5h或2.5h兩車相距90km．【分析】（1）由函數(shù)圖象的數(shù)據(jù)意義直接可以得出A、B兩地之間的距離；（2）根據(jù)題意得快車速度是慢車速度的2倍，觀察圖象知2小時快車與慢車迎面相遇，列出方程可求得答案；（3）利用待定系數(shù)法分別求出AB、BC、OC的解析式，根據(jù)題意列出方程求解即可．（1）解：由函數(shù)圖象可知：A市和B市之間的路程是360km，故答案為：360；（2）解：∵快車與慢車同時出發(fā)，又同時到達A市，∴在整個行進過程中，在相同的時間內(nèi)，快車走了兩個A市與B市的距離，而慢車只走了一個A市與B市的距離，∴快車的速度是慢車速度的兩倍，設(shè)慢車速度為xkm/h，則快車速度為2xkm/h．根據(jù)題意，得

2(x＋2x)＝360，解得x＝60．2×60＝120，∴a＝120．∴點M的橫坐標、縱坐標的實際意義是兩車出發(fā)2小時時，在距B市120km處相遇．（3）解：由（2）得快車速度為120km/h，到B市后又回到A市的時間為（h）．慢車速度為60km/h，到達A市的時間為360÷60＝6（h）．如圖：當0≤x≤3時，設(shè)AB的解析式為：由圖象得：，；，；代入得：解得：∴AB的解析式為：y＝－120x＋360(0x≤3)．當3＜x≤6時，設(shè)BC的解析式為：由圖象得：，；，；代入得：解得：∴函數(shù)的解析式為：．設(shè)OC的解析式為：由圖象得：，；代入得：，解得：，∴OC的解析式為：．當0≤x≤3時，根據(jù)題意，得，即，解得，，當3＜x≤6時，根據(jù)題意，得，即，解得，．∴快車與慢車迎面相遇以后，再經(jīng)過0.5h或2.5h兩車相距90km．【點撥】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，一次函數(shù)與一元一次方程的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式1】小明和小軍在一條直道上由西向東勻速行走，小明以每分鐘60米的速度從A地出發(fā)，小軍同時以每分鐘v米的速度從A地東邊80米的B地出發(fā)，小明和小軍離A地的距離y（米）與行走時間x（分鐘）的關(guān)系如圖．(1)求小軍離A地的距離y（米）與行走時間x（分鐘）的函數(shù)表達式．(2)當小明到達離A地720米的C地時，小軍離C地還有多少米？【答案】(1)y=40x+80(2)160米【分析】（1）設(shè)y=kx+b．根據(jù)小明的速度和關(guān)系圖確定直線y=kx+b的圖象經(jīng)過點（4，240），根據(jù)小軍的出發(fā)地點確定直線y=kx+b的圖象經(jīng)過點（0，80），再應(yīng)用待定系數(shù)法求解即可．（2）根據(jù)小明離C地的距離求出小明行走的時間，進而求出小軍行走的時間，再根據(jù)（1）中函數(shù)表達式求出此時小軍離A地的距離，進而求出小軍離C地的距離．（1）解：設(shè)y=kx+b．∵小明的速度是每分鐘60米，∴當小明的行走時間為4分鐘時，小明離A地的距離是60×4=240米．∴當小軍的行走時間為4分鐘時，小軍離A地的距離是240米．∴直線y=kx+b的圖象經(jīng)過點（4，240）．∵小軍從A地東邊的80米的B地出發(fā)，∴直線y=kx+b的圖象經(jīng)過點（0，80）．把（0，80）和（4，240）代入y=kx+b得解得∴小軍離A地的距離y（米）與行走時間x（分鐘）的函數(shù)表達式是y=40x+80．（2）解：∵小明以每分鐘60米的速度從A地出發(fā)，∴小明到達離A地720米的C地所用時間為720÷60=12分鐘．∴小明行走12分鐘時，小軍離A地的距離是40×12+80=560米．∴小軍離C地的距離是米．∴當小明到達離A地720米的C地時，小軍離C地還有160米．【點撥】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意并從圖象中獲取信息是解題關(guān)鍵．【變式2】歲暮天寒后，萬物復(fù)蘇，周末，甲、乙兩人相約沿同一路線從學校去凈月公園踏青，甲、乙分別以不同的速度勻速行駛，乙比甲早出發(fā)3分鐘，乙行駛23分鐘后，甲以原速的繼續(xù)行駛．在此過程中，甲、乙兩人相距的路程（米與乙行駛的時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)乙的速度為米分，學校與凈月公園的距離為米．(2)求段的函數(shù)解析式并寫出自變量的取值范圍．(3)直接寫出乙比甲晚幾分鐘到達凈月公園？【答案】(1)300，24600(2)(3)乙比甲晚10分鐘到達凈月公園【分析】（1）根據(jù)乙3分鐘行900米可得乙的速度，根據(jù)甲乙23分鐘時相距1900米可得甲的速度，根據(jù)甲到凈月公園用72分鐘，可得學校與凈月公園的距離；（2）利用待定系數(shù)法可得的解析式；（3）根據(jù)總路程和乙的速度可得乙到達凈月公園所需的時間，再和甲的時間比較即可．（1）解：由題意乙的速度為（米分），設(shè)甲的速度為米分，由題意得，解得，23分鐘后甲的速度為（米分），學校與凈月公園的距離為（米．故答案為：300，24600；（2）設(shè)段的函數(shù)解析式為，把和代入可得，，解得，，，段的函數(shù)解析式為；（3）乙到凈月公園所用的時間為（分鐘），（分鐘），答：乙比甲晚10分鐘到達凈月公園【點撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．類型四、幾何問題4．隨著國民經(jīng)濟的飛速發(fā)展，中國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足一次函數(shù)的關(guān)系，實驗發(fā)現(xiàn)：該果蔬在6℃的保鮮時間為224小時，在24℃的保鮮時間為8小時．(1)求保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該果蔬所需的物流時間為3天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過多少℃？【答案】(1)y＝﹣12x＋296(2)℃【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx＋b（k≠0），然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）令y＝24×3解得x的值即可．（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx＋b（k≠0），依題意得，當x＝6時，y＝224，當x＝24時，y＝8，代入得，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣12x＋296；（2）解：依題意得：﹣12x＋296＝24×3，解得：x＝18．∴物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過℃．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握待定系數(shù)法．舉一反三：【變式1】某果園蘋果的售價為5元/斤，如果一次性購買10斤以上，該果園出臺優(yōu)惠促銷，即超過10斤部分的蘋果按原售價打8折．(1)設(shè)小華購買蘋果x斤，付款金額為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若小華想購買130元的蘋果送給朋友