北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教案(教學(xué)設(shè)計(jì))

PAGE北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教案1．1探索勾股定理第1課時(shí)認(rèn)識(shí)勾股定1．探索勾股定理，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力；2．理解并掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯樹，它由若干個(gè)圖形組成，而每個(gè)圖形的基本元素是三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧．你能說說其中的奧秘嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理的初步認(rèn)識(shí)【類型一】直接利用勾股定理求長(zhǎng)度如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng)．解析：先運(yùn)用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AC·BC，求出CD的長(zhǎng)．解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42，∴AC＝4cm.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AC·BC，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(4×3,5)＝eq\f(12,5)(cm)，故CD的長(zhǎng)是eq\f(12,5)cm.方法總結(jié)：由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個(gè)規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用．【類型二】勾股定理與其他幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用如圖，已知AD是△ABC的中線．求證：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．解析：結(jié)論中涉及線段的平方，因此可以考慮作AE⊥BC于點(diǎn)E，在△ABC中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行證明．證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法總結(jié)：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問題時(shí)，通常沿著這個(gè)思路去分析問題．【類型三】分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長(zhǎng)．解析：應(yīng)考慮高AD在△ABC內(nèi)和△ABC外的兩種情形．解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長(zhǎng)為25＋20＋15＝60.當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí)，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長(zhǎng)為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為42或60.方法總結(jié)：題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時(shí)，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．探究點(diǎn)二：利用勾股定理求面積如圖，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中△ABE的面積為________，陰影部分的面積為________．解析：因?yàn)锳E＝BE，所以S△ABE＝eq\f(1,2)AE·BE＝eq\f(1,2)AE2.又因?yàn)锳E2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,4)×32＝eq\f(9,4)；同理可得S△AHC＋S△BCF＝eq\f(1,4)AC2＋eq\f(1,4)BC2.又因?yàn)锳C2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為eq\f(1,4)AB2＋eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,2)AB2＝eq\f(1,2)×32＝eq\f(9,2).故填eq\f(9,4)、eq\f(9,2).方法總結(jié)：求解與直角三角形三邊有關(guān)的圖形面積時(shí)，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關(guān)系．三、板書設(shè)計(jì)勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b，c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的思想方法，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡(jiǎn)單推理的意識(shí)及能力；進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系．在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理在中國(guó)古代的研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國(guó)的悠久文化歷史，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)．第2課時(shí)驗(yàn)證勾股定理PAGE1．利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理；(重點(diǎn))2．掌握勾股定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入(1)如圖，你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？(2)你能由此得到勾股定理嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理的驗(yàn)證作8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，將它們像下圖所示拼成兩個(gè)正方形．證明：a2＋b2＝c2.解析：從整體上看，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a＋b，因此它們的面積相等．我們?cè)儆貌煌姆椒▉肀硎具@兩個(gè)正方形的面積，即可證明勾股定理．證明：由圖易知，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a＋b，∴它們的面積相等．左邊的正方形面積可表示為a2＋b2＋eq\f(1,2)ab×4，右邊的正方形面積可表示為c2＋eq\f(1,2)ab×4.∵a2＋b2＋eq\f(1,2)ab×4＝c2＋eq\f(1,2)ab×4，∴a2＋b2＝c2.方法總結(jié)：根據(jù)拼圖，通過對(duì)拼接圖形的面積的不同表示方法，建立相等關(guān)系，從而驗(yàn)證勾股定理．探究點(diǎn)二：勾股定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用如圖，高速公路的同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.現(xiàn)要在高速公路上A1、B1之間設(shè)一個(gè)出口P，使A，B兩個(gè)村莊到P的距離之和最短，求這個(gè)最短距離和．解析：運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”先確定出P點(diǎn)在A1B1上的位置，再利用勾股定理求出AP＋BP的長(zhǎng)．解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交A1B1于P點(diǎn)，連BP.則AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P點(diǎn)即為到點(diǎn)A，B距離之和最短的點(diǎn)．過點(diǎn)A作AE⊥BB′于點(diǎn)E，則AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，故出口P到A，B兩村莊的最短距離和是10km.方法總結(jié)：解這類題的關(guān)鍵在于運(yùn)用幾何知識(shí)正確找到符合條件的P點(diǎn)的位置，會(huì)構(gòu)造Rt△AB′E.三、板書設(shè)計(jì)勾股定理eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(驗(yàn)證\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(拼圖法,面積法)),簡(jiǎn)單應(yīng)用))通過拼圖驗(yàn)證勾股定理并體會(huì)其中數(shù)形結(jié)合的思想；應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問題，學(xué)會(huì)勾股定理的應(yīng)用并逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．1．1探索勾股定理第1課時(shí)認(rèn)識(shí)勾股定理PAGEPAGE11．探索勾股定理，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力；2．理解并掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯樹，它由若干個(gè)圖形組成，而每個(gè)圖形的基本元素是三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧．你能說說其中的奧秘嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理的初步認(rèn)識(shí)【類型一】直接利用勾股定理求長(zhǎng)度如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng)．解析：先運(yùn)用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AC·BC，求出CD的長(zhǎng)．解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42，∴AC＝4cm.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AC·BC，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(4×3,5)＝eq\f(12,5)(cm)，故CD的長(zhǎng)是eq\f(12,5)cm.方法總結(jié)：由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個(gè)規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用．【類型二】勾股定理與其他幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用如圖，已知AD是△ABC的中線．求證：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．解析：結(jié)論中涉及線段的平方，因此可以考慮作AE⊥BC于點(diǎn)E，在△ABC中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行證明．證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法總結(jié)：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問題時(shí)，通常沿著這個(gè)思路去分析問題．【類型三】分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長(zhǎng)．解析：應(yīng)考慮高AD在△ABC內(nèi)和△ABC外的兩種情形．解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長(zhǎng)為25＋20＋15＝60.當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí)，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長(zhǎng)為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為42或60.方法總結(jié)：題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時(shí)，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．探究點(diǎn)二：利用勾股定理求面積如圖，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中△ABE的面積為________，陰影部分的面積為________．解析：因?yàn)锳E＝BE，所以S△ABE＝eq\f(1,2)AE·BE＝eq\f(1,2)AE2.又因?yàn)锳E2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,4)×32＝eq\f(9,4)；同理可得S△AHC＋S△BCF＝eq\f(1,4)AC2＋eq\f(1,4)BC2.又因?yàn)锳C2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為eq\f(1,4)AB2＋eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,2)AB2＝eq\f(1,2)×32＝eq\f(9,2).故填eq\f(9,4)、eq\f(9,2).方法總結(jié)：求解與直角三角形三邊有關(guān)的圖形面積時(shí)，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關(guān)系．三、板書設(shè)計(jì)勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b，c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的思想方法，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡(jiǎn)單推理的意識(shí)及能力；進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系．在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理在中國(guó)古代的研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國(guó)的悠久文化歷史，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)．第2課時(shí)三角形的外角PAGEPAGE21．了解并掌握三角形的外角的定義；(重點(diǎn))2．掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論，利用這兩個(gè)推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入上節(jié)課我們證明三角形內(nèi)角和定理．在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，用到了把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)得到∠ACD，這個(gè)角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來研究它的性質(zhì)．二、合作探究探究點(diǎn)一：三角形內(nèi)角和定理的推論1【類型一】三角形內(nèi)角和定理的推論1如圖，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于()A．110°B．160°C．137°D．115°解析：eq\x(\a\al(∠1＝100°,∠2＝145°))eq\x(\a\al(∠BAC＝80°,∠ABC＝35°))eq\x(\a\al(∠3＝∠BAC＋,∠ABC＝115°))方法總結(jié)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，而不是等于任意兩個(gè)內(nèi)角的和．【類型二】三角形內(nèi)角和定理的推論1的規(guī)律探究如圖，在△ABC中，∠A＝m，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…；∠A2015BC和∠A2015CD的平分線交于點(diǎn)A2016，則∠A2016＝________．解析：因?yàn)锽A1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，所以∠A1BC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠A1CD＝eq\f(1,2)∠ACD，因?yàn)椤螦1CD＝∠A1＋∠A1BC，即eq\f(1,2)∠ACD＝∠A1＋eq\f(1,2)∠ABC，所以∠A1＝eq\f(1,2)(∠ACD－∠ABC)＝eq\f(1,2)∠A，所以∠A1＝eq\f(1,2)m.同理∠A2＝eq\f(1,2)∠A1＝eq\f(1,22)∠A＝eq\f(m,22).依此類推，∠A2016＝eq\f(1,22016)∠A＝eq\f(m,22016)，故填eq\f(m),\s\do5(22016)).方法總結(jié)：解題用到三角形的內(nèi)角和定理及推論．從圖形中找規(guī)律，首先要得到前幾項(xiàng)，然后比較它們之間的關(guān)系，歸納猜想得出一般結(jié)論．探究點(diǎn)二：三角形內(nèi)角和定理的推論2如圖，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，求證：∠BPC＞∠A.解析：由題意無法直接得出∠BPC＞∠A，延長(zhǎng)BP交AC于D，就能得到∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A.即可得證．證明：延長(zhǎng)BP交AC于D，∵∠BPC是△ABC的外角(外角定義)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角)．同理可證：∠PDC＞∠A，∴∠BPC＞∠A.方法總結(jié)：利用推論2證明角的大小時(shí)，兩個(gè)角應(yīng)是同一個(gè)三角形的內(nèi)角和外角．若不是，就需借助中間量轉(zhuǎn)化求證．三、板書設(shè)計(jì)eq\a\vs4\al(三角形的外角)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的,角，叫做三角形的外角,推論1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩,個(gè)內(nèi)角的和,推論2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不,相鄰的內(nèi)角))利用已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)來推導(dǎo)出新的定理以及運(yùn)用新的定理解決相關(guān)問題，進(jìn)一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力，特別是培養(yǎng)有條理的想象和探索能力，從而做到強(qiáng)化基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．7．5三角形內(nèi)角和定理第1課時(shí)三角形內(nèi)角和定理1．理解并掌握三角形內(nèi)角和定理及其證明過程；(重點(diǎn))2．能利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入星期天，小明和幾位同學(xué)一起做作業(yè)時(shí)，其中一位同學(xué)不小心把三角板的兩個(gè)角給壓斷了．小明將兩個(gè)角和剩余的一個(gè)角放在一起，發(fā)現(xiàn)這三個(gè)角之和是一個(gè)平角．我們知道一個(gè)平角是180°，即這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180°，那其他的三角形也是這樣嗎？如何證明呢？下面讓我們一起進(jìn)入本節(jié)的學(xué)習(xí)，一起探究如何證明三角形的內(nèi)角和等于180°.二、合作探究探究點(diǎn)一：三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，如果∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,2)∠C，求∠A、∠B、∠C分別等于多少度？解析：這是一道利用三角形內(nèi)角和求各角度的計(jì)算題，由已知得∠B＝∠C＝2∠A.因此可以先求∠A，再求∠B、∠C.解：∵∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,2)∠C(已知)，∴∠B＝∠C＝2∠A(等式的性質(zhì))．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代換)．∴∠A＝36°，∠B＝72°，∠C＝72°.方法總結(jié)：求三角形內(nèi)角度數(shù)時(shí)，要充分利用各角之間的關(guān)系，用其中一個(gè)角表示另外兩個(gè)角，再借助三角形的內(nèi)角和定理構(gòu)建方程．探究點(diǎn)二：三角形內(nèi)角和定理的證明已知：如圖，在△ABC中．求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.解析：要證明三角形的內(nèi)角和是180°，需要從涉及180°角的知識(shí)去考慮，涉及180°角的知識(shí)有：①平角；②鄰補(bǔ)角；③兩直線平行下的同旁內(nèi)角．可從這三個(gè)方面分別考慮，添加輔助線．證明：證法1：(如圖①)過點(diǎn)A作PQ∥BC，則∠1＝∠B，∠2＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定義)，∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代換)．證法2：(如圖②)過點(diǎn)C作CE∥AB，則∠1＝∠A(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠B＋∠BCE＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，∴∠B＋∠BCA＋∠1＝180°(等量代換)，∴∠B＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代換)．證法3：(如圖③)過BC邊上的一點(diǎn)P作QP∥AC，RP∥AB，交AB于Q，交AC于R，則∠1＝∠B，∠2＝∠C(兩直線平行，同位角相等)．∠A＝∠BQP＝∠QPR(兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定義)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代換)．方法總結(jié)：三角形內(nèi)角和定理的證明方法很多，但指導(dǎo)思想都是通過添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)，把三角形三個(gè)內(nèi)角集中起來．探究點(diǎn)三：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用如圖，已知五邊形ABCDE.你知道五邊形的內(nèi)角和等于多少度嗎？你能運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理證明嗎？解析：我們可以通過先添加輔助線將五邊形分割成幾個(gè)三角形，再利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行證明．解：五邊形的內(nèi)角和等于540°.證明如下：如圖，連接AC，AD.由三角形內(nèi)角和定理可知∠1＋∠2＋∠B＝180°，∠3＋∠4＋∠5＝180°，∠6＋∠7＋∠E＝180°，∴∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠E＝540°.又∵∠1＋∠5＋∠7＝∠BAE，∠2＋∠3＝∠BCD，∠4＋∠6＝∠CDE，∴∠BAE＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°.∴五邊形的內(nèi)角和等于540°.方法總結(jié)：求多邊形的內(nèi)角和時(shí)，通常利用一個(gè)頂角與其他頂角的連線將其分割成幾個(gè)三角形，轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決．三、板書設(shè)計(jì)三角形內(nèi),角和定理)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定理：三角形的內(nèi)角和等于180°,定理的證明：作平行線，將三個(gè)內(nèi),角拼成一個(gè)平角,定理的應(yīng)用))通過自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生形成一定的邏輯思維能力和推理能力；用多種方法證明三角形內(nèi)角和定理，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力；對(duì)比過去撕紙等探索過程，體會(huì)幾何證明的嚴(yán)密性和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．專業(yè)學(xué)習(xí)資料平臺(tái)網(wǎng)資源PAGEPAGE1網(wǎng)資源7．4平行線的性質(zhì)PAGEPAGE21．理解并掌握平行線的性質(zhì)公理和定理；(重點(diǎn))2．能熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理證明．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入一條公路兩次拐彎后和原來的方向相同，第一次拐的角度∠B是130°，第二次拐的角度∠C是多少度？二、合作探究探究點(diǎn)一：平行線的性質(zhì)定理1如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB、AC上的點(diǎn)，DE∥AC且DF∥AB.求證：∠BED＝∠CFD.解析：由DE∥AC可知∠BED＝∠A，由DF∥AB可知∠CFD＝∠A，從而可得∠BED＝∠CFD.證明：∵DE∥AC(已知)，∴∠BED＝∠A(兩直線平行，同位角相等)．∵DF∥AB(已知)，∴∠CFD＝∠A(兩直線平行，同位角相等)．∴∠BED＝∠CFD(等量代換)．方法總結(jié)：在已知兩直線平行的前提下，若要求證的兩角不是平行線被第三條直線所截得的角，就要借助一個(gè)中間量，將兩者聯(lián)系起來．探究點(diǎn)二：平行線的性質(zhì)定理2如圖，已知∠B＝∠C，AE∥BC，說明AE平分∠CAD.解析：要說明AE平分∠CAD，即∠DAE＝∠CAE.由于AE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)定理1和性質(zhì)定理2可知∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C.由∠B＝∠C即可得證．解：∵AE∥BC(已知)，∴∠DAE＝∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠EAC＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠EAC(等量代換)，∴AE平分∠CAD.方法總結(jié)：?jiǎn)为?dú)考平行線某一性質(zhì)的題很少，通常都是平行線的性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用．探究點(diǎn)三：平行線的性質(zhì)定理3如圖，已知DA⊥AB，CB⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，試說明DE⊥CE.解析：要證DE⊥CE，即∠DEC＝90°.需證∠1＋∠2＝90°.由DE、CE分別平分∠ADC、∠BCD，則需證∠ADC＋∠BCD＝180°，從而需證AD∥BC.解：∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥BC(垂直于同一直線的兩直線平行)，∴∠ADC＋∠BCD＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ADC，∠2＝eq\f(1,2)∠BCD.∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)×180°＝90°，∴∠DEC＝90°，即DE⊥CE.方法總結(jié)：平行線與角的大小關(guān)系、直線的位置關(guān)系是緊密聯(lián)系在一起的．由兩直線平行的位置關(guān)系得到兩個(gè)相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，從而得到相應(yīng)角的度數(shù)．探究點(diǎn)四：平行于同一條直線的兩直線平行如圖所示，AB∥CD.求證：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.解析：證明本題的關(guān)鍵是如何使平行線與要證的角發(fā)生聯(lián)系，顯然需作出輔助線，溝通已知和結(jié)論．已知AB∥CD，但沒有一條直線既與AB相交，又與CD相交，所以需要作輔助線構(gòu)造同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，但是又要保證原有條件和結(jié)論的完整性，所以需要過點(diǎn)E作AB的平行線．證明：如圖所示，過點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠B＋∠BEF＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．又∵AB∥CD(已知)，∴EF∥CD(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，∴∠FED＋∠D＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．∴∠B＋∠BEF＋∠FED＋∠D＝180°＋180°(等式的性質(zhì))，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.方法總結(jié)：過一點(diǎn)作一條直線或線段的平行線是我們常作的輔助線．三、板書設(shè)計(jì)平行線的性質(zhì)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(兩直線平行，同位角相等,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ),平行于同一條直線的兩直線平行))從簡(jiǎn)單的幾何證明(平行線的判定與性質(zhì))入手，逐步形成一個(gè)更為清晰的證明思路，進(jìn)一步理解和總結(jié)證明的步驟、格式、方法．了解兩定理在條件和結(jié)構(gòu)上的區(qū)別，體會(huì)正逆的思維過程.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力．7．3平行線的判定1．了解并掌握平行線的判定公理和定理；(重點(diǎn))2．了解證明的一般步驟．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入我們知道，光線從空氣中進(jìn)入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，光線從水中進(jìn)入空氣中，同樣也會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象．如圖為光線從空氣中進(jìn)入水中，再?gòu)乃羞M(jìn)入空氣中的示意圖．由于折射率相同，因此有∠1＝∠4，∠2＝∠3，那么你能說明光線c與d平行嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：平行線的判定【類型一】平行線的判定公理如圖，直線l1、l2、l3、l4兩兩相交，且∠1＝∠2＝∠3.求證：l1∥l2，l3∥l4.解析：∠1和∠2是直線l1、l2被直線l3所截得的同位角，∠2和∠3是直線l3、l4被直線l2所截得的同位角，所以由∠1＝∠2可以判定l1∥l2，由∠2＝∠3可以判定l3∥l4.證明：∵∠1＝∠2(已知)，∴l(xiāng)1∥l2(同位角相等，兩直線平行)．∵∠2＝∠3(已知)，∴l(xiāng)3∥l4(同位角相等，兩直線平行)．方法總結(jié)：利用平行線的判定公理進(jìn)行推理證明的關(guān)鍵是分清同位角是哪兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的．【類型二】平行線的判定定理1如圖，已知AB，CD與直線EF分別相交于點(diǎn)B，C，且∠ABE＝∠DCF.求證：AB∥CD.解析：由等角的補(bǔ)角相等可知∠ABC＝∠BCD.再由平行線的判定定理1即可得到結(jié)論．證明：因?yàn)椤螦BC＋∠ABE＝∠DCB＋∠DCF＝180°(鄰補(bǔ)角的定義)，∠ABE＝∠DCF(已知)，所以∠ABC＝∠DCB(等角的補(bǔ)角相等)，所以AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．方法總結(jié)：要證明兩條直線平行，主要是指出圖形中兩條直線被第三條直線所截的角，觀察是否有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)或由角的數(shù)量關(guān)系推得同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【類型三】平行線的判定定理2如圖，直線AE，CD相交于點(diǎn)O，如果∠A＝110°，∠1＝70°，就可以說明AB∥CD，這是為什么？解析：由題意可知∠1＝∠AOD＝70°，又因?yàn)椤螦＝110°，所以∠A＋∠AOD＝180°，故AB∥CD.解：因?yàn)椤?＝∠AOD(對(duì)頂角相等)，∠1＝70°，所以∠AOD＝70°.又因?yàn)椤螦＝110°，所以∠A＋∠AOD＝180°(等式的性質(zhì))，所以AB∥CD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．方法總結(jié)：(1)本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，平行線的判定是由角之間的數(shù)量關(guān)系到“形”的判定．要判定兩直線平行，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，若同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行．(2)若題中的結(jié)論能用同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)中的一個(gè)方法說明兩直線平行時(shí)，一般都要通過結(jié)合對(duì)頂角、互補(bǔ)角等知識(shí)來說明．探究點(diǎn)二：平行線的判定公理、定理的綜合應(yīng)用如圖，已知DE，BF分別平分∠ADC和∠ABC，∠1＝∠2，∠ADC＝∠ABC，因此可推出圖中哪些線段平行？為什么？解析：結(jié)合圖形以及已知條件，能證明DE∥BF，DF∥BE和AD∥BC.解：DE∥BF，DF∥BE，AD∥BC.理由如下：(1)DE∥BF.∵∠1＝∠2(已知)，∴DE∥BF(同位角相等，兩直線平行)．(2)DF∥BE.∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC(已知)，∴∠3＝eq\f(1,2)∠ADC，∠2＝eq\f(1,2)∠ABC(角平分線定義)．∵∠ADC＝∠ABC(已知)，∴∠2＝∠3(等量代換)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1＝∠3(等量代換)，∴DF∥BE(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．(3)AD∥BC.由(2)知∠3＝∠1，又∵DE平分∠ADC(已知)，∴∠ADE＝∠3(角平分線定義)，∠ADE＝∠1(等量代換)．∴∠A＝180°－∠ADE－∠1＝180°－2∠ADE＝180°－∠ADC＝180°－∠ABC(三角形內(nèi)角和為180°及等量代換)，即∠A＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．方法總結(jié)：解此類題應(yīng)首先結(jié)合圖形猜測(cè)結(jié)論，然后證明．證明兩條直線平行，一般先找它們的截線，再求同位角相等(或內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ))來說明兩直線平行．若沒有公共截線，則需作出兩直線的截線輔助證明．三、板書設(shè)計(jì)平行線,的判定)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(判定公理：同位角相等，兩直線平行,判定定理\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行))))本節(jié)課通過經(jīng)歷探索平行線的判定方法的過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式．PAGEPAGE2第2課時(shí)定理與證明1．了解公理、定理與證明的概念并了解本套教材所采用的公理；(重點(diǎn))2．體會(huì)命題證明的必要性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．一、情境導(dǎo)入體驗(yàn)證明的步驟：對(duì)于命題“如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直”是否正確？轉(zhuǎn)化為如圖所示的圖形，已知條件為AB∥CD，AB⊥EF，請(qǐng)問CD與EF垂直嗎？為什么？二、合作探究探究點(diǎn)一：公理與定理下列平行線的判定方法中是公理的是()A．平行于同一條直線的兩條直線平行B．同位角相等，兩直線平行C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線解析：A是由公理推出的定理；C是由B推出的平行線的判定定理；D是平行線的定義，只有B是由畫圖實(shí)踐得來的，符合公理的定義，故選B.方法總結(jié)：公理是不需要推理判斷的公認(rèn)的真命題；定理是需要用推理的方法來判斷其正確的命題．探究點(diǎn)二：證明【類型一】直接證明非文字題如圖所示，在直線AC上取一點(diǎn)O，作射線OB，OE和OF分別平分∠AOB和∠BOC.求證：OE⊥OF.解析：要證明某個(gè)結(jié)論，可從條件入手分析，也可以從結(jié)論逆推進(jìn)行分析．要證OE⊥OF，只需證∠EOF＝90°，而∠EOF＝∠EOB＋∠BOF，因此只需證∠EOB＋∠BOF＝90°.由OE、OF平分∠AOB和∠BOC可得∠EOB＋∠BOF＝eq\f(1,2)(∠AOB＋∠BOC)＝90°，所以得證OE⊥OF.證明：∵OE和OF分別平分∠AOB和∠BOC，∴∠EOB＝eq\f(1,2)∠AOB，∠BOF＝eq\f(1,2)∠BOC.又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，∴∠EOB＋∠BOF＝eq\f(1,2)(∠AOB＋∠BOC)＝eq\f(1,2)×180°＝90°，即∠EOF＝90°，∴OE⊥OF.方法總結(jié)：從結(jié)論逆推進(jìn)行分析得出條件，反過來的過程就是證明結(jié)論的過程．【類型二】直接證明文字題求證：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．解析：分析這個(gè)命題的條件和結(jié)論，根據(jù)已知條件和結(jié)論畫出圖形，寫出已知、求證，并寫出證明過程．已知：如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°.求證：∠A與∠B互余．證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形內(nèi)角和等于180°)，又∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°.∴∠A與∠B互余．方法總結(jié)：解此類題首先根據(jù)題意將文字語言變成符號(hào)語言，畫出圖形，最后再經(jīng)過分析論證，并寫出證明的過程．三、板書設(shè)計(jì)命題eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(分類\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(公理：公認(rèn)的真命題,定理：經(jīng)過證明的真命題)),證明：推理的過程))經(jīng)歷實(shí)際情境，初步體會(huì)公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理，讓學(xué)生對(duì)真假命題有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步了解定理、公理的概念．培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力．專業(yè)學(xué)習(xí)資料平臺(tái)網(wǎng)資源PAGEPAGE3網(wǎng)資源7．2定義與命題第1課時(shí)定義與命題PAGE1．理解定義、命題的概念，能區(qū)分命題的條件和結(jié)論，并把命題寫成“如果……那么……”的形式；(重點(diǎn))2．了解真命題和假命題的概念，能判斷一個(gè)命題的真假性，并會(huì)對(duì)假命題舉反例．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入神舟十號(hào)是中國(guó)神舟號(hào)系列飛船之一，主要由推進(jìn)艙(服務(wù)艙)、返回艙、軌道艙組成．神舟十號(hào)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心“921工位”，于2013年6月11日17時(shí)38分02.666秒發(fā)射，由長(zhǎng)征二號(hào)F改進(jìn)型運(yùn)載火箭(遙十)“神箭”成功發(fā)射．在軌飛行十五天左右，加上發(fā)射與返回，其中停留天宮一號(hào)十二天，共搭載三位航天員——聶海勝、張曉光、王亞平.6月13日與天宮一號(hào)進(jìn)行對(duì)接.6月26日回歸地球．要讀懂這段報(bào)導(dǎo)，你認(rèn)為要知道哪些名稱和術(shù)語的含義？二、合作探究探究點(diǎn)一：定義下列語句屬于定義的是()A．明天是晴天B．長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角C．等角的補(bǔ)角相等D．平行四邊形是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形解析：作出正確選擇的關(guān)鍵是理解定義的含義．A是對(duì)天氣的預(yù)測(cè)，B是描述長(zhǎng)方形的性質(zhì)，C是描述補(bǔ)角的性質(zhì)．只有D符合定義的概念．故選D.方法總結(jié)：定義指的是對(duì)術(shù)語和名稱的含義的描述，是對(duì)一個(gè)事物區(qū)分于其他事物的本質(zhì)特征的描述，而不是對(duì)其性質(zhì)的判斷．探究點(diǎn)二：命題【類型一】命題的概念下列各語句中，哪些是命題，哪些不是命題？(1)相等的角都是直角．(2)空氣是無色無味的．(3)同旁內(nèi)角相等嗎？(4)兩條直線被第三條直線所截．(5)畫線段AB＝5cm.(6)對(duì)頂角不相等．解析：(1)(2)(6)是命題，因?yàn)樗鼈冎赋隽耸鞘裁椿虿皇鞘裁矗?3)是疑問句，(4)描述的是一個(gè)狀態(tài)，(5)敘述的是一個(gè)過程，因此(3)(4)(5)都不是命題，因?yàn)樗鼈兌疾缓信袛嗟囊馑迹猓?1)(2)(6)是命題，(3)(4)(5)不是命題．方法總結(jié)：認(rèn)為“錯(cuò)誤的命題不是命題”是錯(cuò)誤的，實(shí)際上錯(cuò)誤的命題也是命題，如本題中的(6)題．【類型二】命題的結(jié)構(gòu)把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式．(1)對(duì)頂角相等；(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行；(3)同角或等角的余角相等．解析：設(shè)法把命題的題設(shè)和結(jié)論部分省略的文字找出來，要從文字的內(nèi)在順序、內(nèi)在意義進(jìn)行全面考慮，分清命題的題設(shè)部分和結(jié)論部分；再將它寫成“如果……那么……”的形式．解：(1)如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等．(2)如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行．(3)如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角或兩個(gè)相等的角的余角，那么這兩個(gè)角相等．方法總結(jié)：(1)命題改寫的原則：不改變命題的原意；為了改寫后的語句通暢且保持原意，應(yīng)適當(dāng)?shù)卦黾踊騽h減詞語或調(diào)換詞序；(2)命題改寫的方法：先搞清命題的題設(shè)(已知事項(xiàng))部分和結(jié)論部分；再將其改寫為“如果……那么……”的形式：“如果”后面跟的是已知事項(xiàng)，“那么”后面跟的是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)(即結(jié)論)．【類型三】真命題、假命題、反例判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題請(qǐng)舉一個(gè)反例加以說明．(1)兩個(gè)角的和是180°，則這兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角；(2)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；(3)如果x>y，那么x2>y2.解析：(1)互補(bǔ)的兩個(gè)角的和為180°，但是互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角；(2)一組對(duì)邊平行，但這組對(duì)邊不相等，即使另一組對(duì)邊相等，也不一定是平行四邊形；(3)若|x|<|y|，則x2<y2.解：(1)假命題．例如：兩條直線平行，同旁內(nèi)角的和為180°，但它們不是鄰補(bǔ)角．(2)假命題．例如：等腰梯形中，兩底互相平行，兩腰相等，但它不是平行四邊形．(3)假命題．例如：x＝2，y＝－3，x>y，但x2<y2.方法總結(jié)：識(shí)別命題真假的關(guān)鍵是在條件成立的前提下，看結(jié)論是否正確，可以舉“特例”驗(yàn)證，特例成立還不能證明其為真命題，要由特殊形式轉(zhuǎn)化為一般形式，再用推理的方法證明結(jié)論正確；若特例不成立，則原命題一定是假命題．三、板書設(shè)計(jì)定義與命題eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定義,命題\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(概念：判斷一個(gè)事件的句子,結(jié)構(gòu)：如果……那么……,分類：真命題、假命題))))通過對(duì)學(xué)生的啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)讓學(xué)生對(duì)定義、命題等概念有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)和了解，用比較數(shù)學(xué)化的觀點(diǎn)來審視生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的語句特征，充分展示學(xué)生的語言表達(dá)能力，力圖通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)來體現(xiàn)學(xué)生的主體地位．7．1為什么要證明PAGE1．了解推理的意義，知道要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，必須進(jìn)行推理；(重點(diǎn))2．會(huì)用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉出反例、推理等方法簡(jiǎn)單地驗(yàn)證一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入人的視覺有時(shí)候受到周圍環(huán)境和自身經(jīng)驗(yàn)的影響，會(huì)引導(dǎo)我們做出錯(cuò)誤的判斷．只有通過科學(xué)的方法推理論證，做出的判斷才是正確的．如圖，圖中的四邊形是正方形還是梯形？你能肯定嗎？怎樣來驗(yàn)證你的結(jié)論呢？快來學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)吧！二、合作探究探究點(diǎn)一：數(shù)學(xué)的結(jié)論必須經(jīng)過嚴(yán)格的論證當(dāng)n＝1，2，3，4，5時(shí)，代數(shù)式n2－3n＋7的值是質(zhì)數(shù)嗎？你能肯定：對(duì)于所有的自然數(shù)，式子n2－3n＋7的值都是質(zhì)數(shù)嗎？解析：把1，2，3，4，5等自然數(shù)代入n2－3n＋7中進(jìn)行驗(yàn)證．解：當(dāng)n＝1，2，3，4，5時(shí)，n2－3n＋7的值分別是5，5，7，11，17，全是質(zhì)數(shù)．而當(dāng)n＝6時(shí)，n2－3n＋7＝62－18＋7＝25＝52.所以對(duì)于所有自然數(shù)，式子n2－3n＋7的值不都是質(zhì)數(shù)．方法總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察是不夠的，必須給出嚴(yán)格的證明或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證．探究點(diǎn)二：檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法【類型一】實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證先觀察再驗(yàn)證．(1)圖①中實(shí)線是直的還是彎曲的？(2)圖②中兩條線段a與b哪一條更長(zhǎng)？(3)圖③中的直線AB與直線CD平行嗎？解析：①②用直尺量；③用三角板平推．解：觀察可能得出的結(jié)論是：(1)實(shí)線是彎曲的；(2)a更長(zhǎng)一些；(3)AB與DC不平行．而我們用科學(xué)的方法驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)：(1)實(shí)線是直的；(2)a與b一樣長(zhǎng)；(3)AB平行于CD.方法總結(jié)：有時(shí)視覺受周圍環(huán)境的影響，往往誤導(dǎo)我們，讓我們得出錯(cuò)誤的結(jié)論，所以僅靠經(jīng)驗(yàn)、觀察是不夠的，只有通過科學(xué)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行嚴(yán)格的推理，才能得出最準(zhǔn)確的結(jié)論．【類型二】舉出反例當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，代數(shù)式(n2－5n＋5)2的值都等于1嗎？解析：對(duì)于代數(shù)式(n2－5n＋5)2，n的取值為正整數(shù)，要判斷(n2－5n＋5)2的值是否為1，可以先取值分別求出代數(shù)式的值．解：當(dāng)n＝1時(shí)，(n2－5n＋5)2＝12＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；當(dāng)n＝3時(shí)，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；當(dāng)n＝4時(shí)，(n2－5n＋5)2＝12＝1；當(dāng)n＝5時(shí)，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.所以當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，(n2－5n＋5)2不一定等于1.方法總結(jié)：驗(yàn)證特例是判斷一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的最好方法．【類型三】推理證明如圖，從點(diǎn)O出發(fā)作出四條射線OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度數(shù)；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度數(shù)；(3)由(1)、(2)你發(fā)現(xiàn)了什么？(4)你能肯定上述的發(fā)現(xiàn)嗎？解析：圖中∠AOB、∠COD均與∠BOC互余，根據(jù)角的和、差關(guān)系，可求得∠AOB與∠COD的度數(shù)．通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)∠AOB＝∠COD，于是可以歸納∠AOB＝∠COD.解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.(3)由(1)、(2)可發(fā)現(xiàn)：∠AOB＝∠COD.(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.方法總結(jié)：檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論具體經(jīng)歷的過程是：觀察、度量、實(shí)驗(yàn)→猜想歸納→結(jié)論→推理→正確結(jié)論．三、板書設(shè)計(jì)為什么,要證明)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(推理的意義：數(shù)學(xué)結(jié)論必須經(jīng)過嚴(yán)格的論證,檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,舉出反例,推理證明))))經(jīng)歷觀察、驗(yàn)證、歸納等過程，使學(xué)生對(duì)由這些方法得到的結(jié)論產(chǎn)生懷疑，以此激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而認(rèn)識(shí)證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，了解檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉出反例、推理論證等．6．4數(shù)據(jù)的離散程度PAGE1．了解極差的意義，掌握極差的計(jì)算方法；2．理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差．(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入從圖中我們可以算出甲、乙兩人射中的環(huán)數(shù)都是70環(huán)，但教練還是選擇乙運(yùn)動(dòng)員參賽．問題1：從數(shù)學(xué)角度，你知道為什么教練員選乙運(yùn)動(dòng)員參賽嗎？問題2：你在現(xiàn)實(shí)生活中遇到過類似情況嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：極差歡歡寫了一組數(shù)據(jù)：9.5，9，8.5，8，7.5，這組數(shù)據(jù)的極差是()A．0.5B．8.5C．2.5D．2解析：這組數(shù)據(jù)的最大值是9.5，最小值是7.5，因此這組數(shù)據(jù)的極差是：9.5－7.5＝2.故選D.方法總結(jié)：要計(jì)算一組數(shù)據(jù)的極差，找出最大值與最小值是關(guān)鍵．探究點(diǎn)二：方差、標(biāo)準(zhǔn)差【類型一】方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算求數(shù)據(jù)7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和標(biāo)準(zhǔn)差．解析：一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算有兩個(gè)常用的簡(jiǎn)化公式：(1)s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－nx2]；(2)s2＝eq\f(1,n)[(x1′2＋x2′2＋…＋xn′2)－nx′2]，其中x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，…，xn′＝xn－a，a是接近原數(shù)據(jù)平均數(shù)的一個(gè)常數(shù)，x′是x1′，x2′，…，xn′的平均數(shù)．解：方法一：因?yàn)閤＝eq\f(1,10)(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2]＝1.2.所以標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\f(\r(30),5).方法二：同方法一，所以s2＝eq\f(1,10)[(72＋62＋82＋82＋52＋92＋72＋72＋62＋72)－10×72]＝1.2，標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\f(\r(30),5).方法三：將各數(shù)據(jù)減7，得新數(shù)據(jù)：0，－1，1，1，－2，2，0，0，－1，0.而x′＝0，所以s2＝eq\f(1,10)[02＋(－1)2＋12＋12＋(－2)2＋22＋02＋02＋(－1)2＋02－10×02]＝1.2.所以標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\f(\r(30),5).方法總結(jié)：計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：先計(jì)算該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(或需加減的數(shù)值)，然后按方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)的計(jì)算公式計(jì)算．【類型二】方差和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用在一次女子排球比賽中，甲、乙兩隊(duì)參賽選手的年齡(單位：歲)如下：甲隊(duì)：26，25，28，28，24，28，26，28，27，29；乙隊(duì)：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26.(1)兩隊(duì)參賽選手的平均年齡分別是多少？(2)利用標(biāo)準(zhǔn)差比較說明兩隊(duì)參賽選手年齡波動(dòng)的情況．解析：先求出兩隊(duì)參賽選手年齡的平均值，再由標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出s甲與s乙，最后比較大小并作出判斷．解：(1)x甲＝eq\f(1,10)×(26＋25＋28＋28＋24＋28＋26＋28＋27＋29)＝26.9(歲)，x乙＝eq\f(1,10)×(28＋27＋25＋28＋27＋26＋28＋27＋27＋26)＝26.9(歲)．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(26－26.9)2＋(25－26.9)2＋…＋(29－26.9)2]＝2.29，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(28－26.9)2＋(27－26.9)2＋…＋(26－26.9)2]＝0.89.所以s甲＝eq\r(2.29)≈1.51，s乙＝eq\r(0.89)≈0.94，因?yàn)閟甲>s乙，所以甲隊(duì)參賽選手年齡波動(dòng)比乙隊(duì)大．方法總結(jié)：求標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，應(yīng)先求出方差，然后取其算術(shù)平方根．標(biāo)準(zhǔn)差越大(小)其數(shù)據(jù)波動(dòng)越大(小)．【類型三】統(tǒng)計(jì)量的綜合應(yīng)用甲、乙兩支籃球隊(duì)在集訓(xùn)期內(nèi)進(jìn)行了五場(chǎng)比賽，將比賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，繪制成圖(a)、(b)所示的統(tǒng)計(jì)圖．(1)在圖(b)中畫出折線表示乙隊(duì)在集訓(xùn)期內(nèi)這五場(chǎng)比賽成績(jī)的變化情況．(2)已知甲隊(duì)五場(chǎng)比賽成績(jī)的平均分x甲＝90分，請(qǐng)你計(jì)算乙隊(duì)五場(chǎng)比賽成績(jī)的平均分x乙．(3)就這五場(chǎng)比賽，分別計(jì)算兩隊(duì)成績(jī)的方差．(4)如果從甲、乙兩隊(duì)中選派一支球隊(duì)參加籃球錦標(biāo)賽，你認(rèn)為選派哪支球隊(duì)參賽更能取得好成績(jī)？解析：第(4)題可根據(jù)第(1)(2)(3)題的結(jié)果，從平均分、折線的走勢(shì)、獲勝場(chǎng)數(shù)和方差四個(gè)方面分別進(jìn)行簡(jiǎn)要分析．解：(1)如圖所示．(2)x乙＝eq\f(1,5)(110＋90＋83＋87＋80)＝90(分)．(3)甲隊(duì)成績(jī)的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(80－90)2＋(86－90)2＋(95－90)2＋(91－90)2＋(98－90)2]＝41.2；乙隊(duì)成績(jī)的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(110－90)2＋(90－90)2＋(83－90)2＋(87－90)2＋(80－90)2]＝111.6.(4)從平均分看，兩隊(duì)的平均分相同，實(shí)力大體相當(dāng)；從折線的走勢(shì)看，甲隊(duì)比賽成績(jī)呈上升趨勢(shì)，而乙隊(duì)比賽成績(jī)呈下降趨勢(shì)；從獲勝場(chǎng)數(shù)看，甲隊(duì)勝三場(chǎng)，乙隊(duì)勝兩場(chǎng)，甲隊(duì)成績(jī)較好；從方差看，甲隊(duì)比賽成績(jī)比乙隊(duì)比賽成績(jī)波動(dòng)小，甲隊(duì)成績(jī)較穩(wěn)定．綜上所述，選派甲隊(duì)參賽更能取得好成績(jī)．方法總結(jié)：本題是反映數(shù)據(jù)集中程度與離散程度的綜合題．從圖形中得到兩隊(duì)的成績(jī)，然后從平均數(shù)、方差的角度來考慮，在平均數(shù)相同的情況下，方差越小的越穩(wěn)定．三、板書設(shè)計(jì)eq\a\vs4\al(數(shù)據(jù)的離散程度)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(極差：一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差,方差：各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù),s2＝\f(1,n)[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2],標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根,公式：s＝\r(s2)))經(jīng)歷表示數(shù)據(jù)離散程度的幾個(gè)量的探索過程，通過實(shí)例體會(huì)用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)；通過解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系．6．3從統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)1．能從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息，并求出相關(guān)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(重點(diǎn))2．理解并分析平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)所體現(xiàn)的集中趨勢(shì)．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入某次射擊比賽，甲隊(duì)員的成績(jī)?nèi)缦拢?1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，確定10次射擊成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)，說說你的做法，并與同伴交流．(2)先估計(jì)這10次射擊成績(jī)的平均數(shù)，再具體算一算，看看你的估計(jì)水平如何．二、合作探究探究點(diǎn)一：從折線統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)廣州市努力改善空氣質(zhì)量，近年空氣質(zhì)量明顯好轉(zhuǎn)，根據(jù)廣州市環(huán)境保護(hù)局公布的2006～2010年這五年各年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，繪制成折線圖如圖所示．根據(jù)圖中信息回答：(1)這五年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的中位數(shù)是________；(2)這五年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)與它前一年相比較，增加最多的是________年(填寫年份)；(3)求這五年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)．解析：(1)由圖知，把這五年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)按照從小到大的順序排列為：333，334，345，347，357，所以中位數(shù)是345；(2)2007年與2006年相比，333－334＝－1，2008年與2007年相比，345－333＝12，2009年與2008年相比，347－345＝2，2010年與2009年相比，357－347＝10，所以增加最多的是2008年；(3)根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式x＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)求解．解：(1)345天(2)2008(3)這五年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)＝eq\f(334＋333＋345＋347＋357,5)＝eq\f(1716,5)＝343.2(天)．方法總結(jié)：正確分析折線統(tǒng)計(jì)圖并掌握中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．探究點(diǎn)二：從條形統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)商場(chǎng)對(duì)每個(gè)營(yíng)業(yè)員當(dāng)月某種商品銷售件數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：解答下列問題：(1)設(shè)營(yíng)業(yè)員的月銷售件數(shù)為x(單位：件)，商場(chǎng)規(guī)定當(dāng)x<15時(shí)為不稱職；當(dāng)15≤x<20時(shí)為基本稱職；當(dāng)20≤x<25時(shí)為稱職；當(dāng)x≥25時(shí)為優(yōu)秀．試求出優(yōu)秀營(yíng)業(yè)員人數(shù)所占的百分比；(2)根據(jù)(1)中規(guī)定，計(jì)算所有優(yōu)秀和稱職的營(yíng)業(yè)員的月銷售件數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)；(3)為了調(diào)動(dòng)營(yíng)業(yè)員的工作積極性，商場(chǎng)決定制定月銷售件數(shù)獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)，凡達(dá)到或超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的營(yíng)業(yè)員將受到獎(jiǎng)勵(lì)．如果要使得所有優(yōu)秀和稱職的營(yíng)業(yè)員中至少有一半能獲獎(jiǎng)，你認(rèn)為這個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)定為多少件合適？并簡(jiǎn)述其理由．解析：(1)由條形統(tǒng)計(jì)圖知商場(chǎng)營(yíng)業(yè)員總數(shù)為1×6＋2×3＋3×3＋4＋5＝30(人)，其中優(yōu)秀的人數(shù)為2＋1＝3(人)；(2)當(dāng)x≥20時(shí)，出現(xiàn)次數(shù)最多的銷售件數(shù)即為眾數(shù)．將符合題意的銷售件數(shù)按大小順序排列后，排在中間位置的數(shù)即為中位數(shù)；(3)根據(jù)中位數(shù)的意義定標(biāo)準(zhǔn)．解：(1)優(yōu)秀營(yíng)業(yè)員人數(shù)所占的百分比為3÷(1×6＋2×3＋3×3＋4＋5)×100%＝10%.(2)當(dāng)x≥20時(shí)，銷售20件商品的有5人，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為20件．將符合題意的銷售件數(shù)按由小到大的順序排列后為：20，20，20，20，20，21，21，21，21，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，26.排在中間位置的是22，所以中位數(shù)是22件．(3)獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為22件．中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，它處于這組數(shù)據(jù)的中間位置，因此大于或等于中位數(shù)的數(shù)據(jù)至少有一半．所以獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為22件．方法總結(jié)：要抓住條形統(tǒng)計(jì)圖的特征，結(jié)合中位數(shù)、眾數(shù)從圖中獲取信息，從而解題．探究點(diǎn)三：從扇形統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)某商場(chǎng)對(duì)今年端午節(jié)這天銷售的A，B，C三種品牌的粽子情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖①和圖②所示的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)哪一種品牌粽子的銷售量最大？(2)補(bǔ)全圖①中的條形統(tǒng)計(jì)圖．(3)寫出A品牌粽子在圖②中所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)．(4)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)信息，明年端午節(jié)期間該商場(chǎng)對(duì)A，B，C三種品牌的粽子如何進(jìn)貨？請(qǐng)你提一條合理的建議．解析：(1)由扇形統(tǒng)計(jì)圖可以看出C品牌粽子的銷售量占三種品牌粽子總銷售量的50%，故C品牌粽子的銷售量最大；(2)由圖①和圖②可以看出A品牌粽子銷售量＋B品牌粽子銷售量＝C品牌粽子銷售量，故B品牌粽子銷售量為1200－400＝800(個(gè))，由此可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)由C品牌粽子銷售的個(gè)數(shù)及所占的百分比可求出三種品牌粽子銷售的總個(gè)數(shù)，再由A品牌粽子的銷售個(gè)數(shù)求百分比及所對(duì)應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角的度數(shù)；(4)可根據(jù)各品牌粽子所占銷售量的比例決定進(jìn)貨量等．解：(1)C品牌粽子的銷售量最大．(2)如圖③.(3)粽子銷售總個(gè)數(shù)為1200÷50%＝2400(個(gè))．A品牌粽子所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為eq\f(400,2400)×360°＝60°.(4)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)信息，明年端午節(jié)期間該商場(chǎng)對(duì)A，B，C三種品牌的粽子可按1∶2∶3的比例進(jìn)貨．(答案不唯一，合理即可)方法總結(jié)：要抓住條形圖的特征和扇形圖中的百分比來分析數(shù)據(jù)，特別要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．題目中的部分信息隱含于統(tǒng)計(jì)圖中，解題時(shí)需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從兩種統(tǒng)計(jì)圖中獲取正確的信息，從而達(dá)到解題的目的．三、板書設(shè)計(jì)從統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(折線統(tǒng)計(jì)圖,條形統(tǒng)計(jì)圖,扇形統(tǒng)計(jì)圖))初步經(jīng)歷數(shù)據(jù)的獲取，并求出或估計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的過程，發(fā)展學(xué)生初步的統(tǒng)計(jì)意識(shí)和數(shù)據(jù)處理能力．通過探索活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；通過相互間合作交流，讓所有學(xué)生都有所獲，共同發(fā)展．專業(yè)學(xué)習(xí)資料平臺(tái)網(wǎng)資源PAGEPAGE1網(wǎng)資源6．2中位數(shù)與眾數(shù)PAGE1．掌握中位數(shù)、眾數(shù)的意義；(重點(diǎn))2．能結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者的差別，對(duì)數(shù)據(jù)作出初步判斷．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入小明和小亮是同桌，同時(shí)也是學(xué)習(xí)上的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，進(jìn)入初中以來的5次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢盒∶鳎?8、68、88、92、94小亮：72、85、87、93、93小明和小亮都認(rèn)為自己的成績(jī)比對(duì)方好，如果你是小明或者小亮，你能說出自己成績(jī)好的理由嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：中位數(shù)和眾數(shù)【類型一】中位數(shù)和眾數(shù)的概念某中學(xué)書法興趣小組12名成員的年齡情況如下：年齡(歲)1213141516人數(shù)(人)14322則這個(gè)小組成員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．15，16B．13，14C．13，15D．14，14解析：∵12歲有1人，13歲有4人，14歲有3人，15歲有2人，16歲有2人，∴出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是13，∴隊(duì)員年齡的眾數(shù)為13歲；∵一共有12名隊(duì)員，∴其中位數(shù)應(yīng)是第6和第7名同學(xué)的年齡的平均數(shù)，∴中位數(shù)為(14＋14)÷2＝14，故選B.方法總結(jié)：本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的概念，在確定中位數(shù)的時(shí)候應(yīng)該先排序，確定眾數(shù)的時(shí)候一定要仔細(xì)觀察．【類型二】中位數(shù)或眾數(shù)與平均數(shù)的綜合一組數(shù)據(jù)1，2，4，5，8，x的眾數(shù)與平均數(shù)相等，那么x的值是________．解析：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)只可能為1、2、4、5、8中的數(shù)，∴當(dāng)眾數(shù)為1時(shí)，平均數(shù)＝(1＋2＋4＋5＋8＋1)÷6＝3.5≠1；當(dāng)眾數(shù)為2時(shí)，平均數(shù)＝(1＋2＋4＋5＋8＋2)÷6＝3eq\f(2,3)≠2；當(dāng)眾數(shù)為4時(shí)，平均數(shù)＝(1＋2＋4＋5＋8＋4)÷6＝4；當(dāng)眾數(shù)為5時(shí)，平均數(shù)＝(1＋2＋4＋5＋8＋5)÷6＝4eq\f(1,6)≠5；當(dāng)眾數(shù)為8時(shí)，平均數(shù)＝(1＋2＋4＋5＋8＋8)÷6＝4eq\f(2,3)≠8.故x的值為4.故填4.方法總結(jié)：本題考查了眾數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．探究點(diǎn)二：選擇合適的數(shù)據(jù)代表某公司員工的月工資情況統(tǒng)計(jì)如下表：?jiǎn)T工人數(shù)2482084月工資(元)50004000200015001000700(1)分別計(jì)算該公司員工工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；(2)你認(rèn)為用(1)中計(jì)算出的哪個(gè)數(shù)據(jù)來代表該公司員工的月工資水平更為適合？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．解析：本題用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算平均數(shù)，統(tǒng)計(jì)表中統(tǒng)計(jì)了46名員工的工資數(shù)據(jù)，中位數(shù)是第23、24個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)是1500元；對(duì)于第(2)問的答案不唯一，只要言之有理即可．解：(1)x＝(5000×2＋4000×4＋2000×8＋1500×20＋1000×8＋700×4)÷(2＋4＋8＋20＋8＋4)＝1800(元)．中位數(shù)為1500元，眾數(shù)為1500元．(2)極端值5000元、4000元對(duì)數(shù)據(jù)的平均水平影響較大，因此選擇中位數(shù)代表該公司員工的月工資水平更合適．方法總結(jié)：深刻理解平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的概念與區(qū)別，根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的數(shù)據(jù)代表．三、板書設(shè)計(jì)中位數(shù),和眾數(shù))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(中位數(shù)：描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),眾數(shù)：描述一組數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率,選擇合適的數(shù)據(jù)代表：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)))通過解決實(shí)際問題，區(qū)分刻畫“平均水平”的三個(gè)數(shù)據(jù)代表，讓學(xué)生獲得一定的評(píng)判能力，進(jìn)一步提升其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．將知識(shí)的學(xué)習(xí)放在解決問題的情境中，通過數(shù)據(jù)分析與處理，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生求真的科學(xué)態(tài)度．6．1平均數(shù)PAGE1．掌握算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的概念，會(huì)求一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)；(重點(diǎn))2．會(huì)用算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)解決實(shí)際生活中的問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入某校有24人參加“希望杯”數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組，分成三組進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，在一次“希望杯”比賽前進(jìn)行了摸底考試，成績(jī)?nèi)缦拢杭祝?0、79、81、82、90、85、94、98乙：90、83、78、84、82、96、97、80丙：93、82、97、80、88、83、85、83怎樣比較這次考試三個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績(jī)呢？你有金點(diǎn)子嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：算術(shù)平均數(shù)某班10名學(xué)生為支援“希望工程”，將平時(shí)積攢下來的零花錢捐獻(xiàn)給貧困地區(qū)的失學(xué)兒童，每人捐款金額如下(單位：元)：10，12，13，21，40，16，17，18，19，20.那么這10名同學(xué)平均捐款多少元？解析：利用算術(shù)平均數(shù)公式x＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)計(jì)算即可．解：x＝eq\f(1,10)×(10＋12＋13＋21＋40＋16＋17＋18＋19＋20)＝18.6(元)．答：這10名同學(xué)平均捐款18.6元．方法總結(jié)：利用公式求算術(shù)平均數(shù)時(shí)，要數(shù)清數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，求數(shù)據(jù)總和時(shí)不要漏加數(shù)據(jù)．探究點(diǎn)二：加權(quán)平均數(shù)【類型一】加權(quán)平均數(shù)的求法某學(xué)校在開展“節(jié)約每一滴水”的活動(dòng)中，從八年級(jí)的200名同學(xué)中任選10名同學(xué)匯報(bào)了各自家庭一個(gè)月的節(jié)水情況，將有關(guān)數(shù)據(jù)整理如下表：節(jié)水量(單位：噸)0.511.52人數(shù)(人)2341這10名同學(xué)家庭一個(gè)月平均節(jié)約用水量是()A．0.9噸B．10噸C．1.2噸D．1.8噸解析：利用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算．平均節(jié)約用水量為(0.5×2＋1×3＋1.5×4＋2×1)÷10＝1.2(噸)，故選C.方法總結(jié)：在計(jì)算加權(quán)平均數(shù)時(shí)，一定要弄清，各數(shù)據(jù)的權(quán)．算術(shù)平均數(shù)實(shí)質(zhì)上是各項(xiàng)權(quán)相等的加權(quán)平均數(shù)．【類型二】已知平均數(shù)求其中的未知數(shù)某班進(jìn)行個(gè)人投籃比賽，受污損的下表記錄了在規(guī)定時(shí)間內(nèi)投進(jìn)n個(gè)球的人數(shù)分布情況：進(jìn)球數(shù)n012345投進(jìn)n球的人1272同時(shí)，已知進(jìn)球3個(gè)或3個(gè)以上的人平均每人投進(jìn)3.5個(gè)球；進(jìn)球4個(gè)或4個(gè)以下的人平均每人投進(jìn)2.5個(gè)球．問投進(jìn)了3個(gè)球和4個(gè)球的各有多少人？解析：本題是要求兩個(gè)未知數(shù)，即3和4的權(quán)．所以應(yīng)把平均數(shù)與方程組綜合起來，利用平均數(shù)的定義來列方程，組成方程組求解．解：設(shè)投進(jìn)3個(gè)球的有x人，投進(jìn)4個(gè)球的有y人，由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＋5×2＝3.5×（x＋y＋2），,0×1＋1×2＋2×7＋3x＋4y＝2.5×（1＋2＋7＋x＋y）.))整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝6，,x＋3y＝18.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝3.))答：投進(jìn)3個(gè)球的有9人，投進(jìn)4個(gè)球的有3人．方法總結(jié)：利用平均數(shù)的公式解題時(shí)，要弄清數(shù)據(jù)及相應(yīng)的權(quán)，避免出錯(cuò)．三、板書設(shè)計(jì)平均數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(算術(shù)平均數(shù)：x＝\f(1,n)（x1＋x2＋…＋xn）,加權(quán)平均數(shù)：x＝\f(（x1f1＋x2f2＋…＋xnfn）,f1＋f2＋…fn)))通過探索算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力；通過有關(guān)平均數(shù)問題的解決，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．通過解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和增加學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．*5.8三元一次方程組PAGEPAGE1網(wǎng)資源1．理解三元一次方程(組)的概念；2．能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組．一、情境導(dǎo)入《九章算術(shù)》分為9章，并因此而得名．其中第8章為“方程”，里面有這樣一道題目(用現(xiàn)代漢語表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．問上、中、下三種稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究點(diǎn)一：三元一次方程組的概念下列方程組中，是三元一次方程組的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y＝1，,y＋z＝0，,xz＝2))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1＝1，,\f(1,y)＋z＝2，,\f(1,z)＋x＝6))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋d＝1，,a－c＝2，,b－d＝3))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝18，,n＋t＝12，,t＋m＝0))解析：A選項(xiàng)中，方程x2－y＝1與xz＝2中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為2，不符合三元一次方程組的定義，故A選項(xiàng)不是；B選項(xiàng)中eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)不是整式，故B選項(xiàng)不是；C選項(xiàng)中方程組含有四個(gè)未知數(shù)，故C選項(xiàng)不是；D選項(xiàng)符合三元一次方程組的定義，故答案為D.方法總結(jié)：滿足三元一次方程組的條件：(1)方程組中一共含有三個(gè)未知數(shù)；(2)每個(gè)方程中含未知數(shù)的次數(shù)都是1；(3)方程組中共有三個(gè)整式方程．探究點(diǎn)二：三元一次方程組的解法解下列三元一次方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝y(tǒng)＋x，①,2x－3y＋2z＝5，②,x＋2y＋z＝13；③))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋z＝11，①,x＋y＋z＝0，②,3x－y－z＝－2.③))解析：(1)觀察各個(gè)方程的特點(diǎn)，可以考慮用代入法求解，將①分別代入②和③中，消去z可得到關(guān)于x、y的二元一次方程組；(2)觀察各個(gè)方程的特點(diǎn)，可以考慮用加減法求解，用①減去②可消去z，用①加上③也可消去z，進(jìn)而得到關(guān)于x、y的二元一次方程組．解：(1)將①代入②、③，消去x，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y＝5，,2x＋3y＝13.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，,z＝5.))(2)①－②，得x＋2y＝11.④①＋③，得5x＋2y＝9.⑤④與⑤組成方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝11，,5x＋2y＝9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(23,4).))把x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(23,4)代入②，得z＝－eq\f(21,4).所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(23,4)，,z＝－\f(21,4).))方法總結(jié)：解三元一次方程組的難點(diǎn)在于根據(jù)方程組中方程的系數(shù)特點(diǎn)選擇較簡(jiǎn)便的方法．(1)一般地，若某一方程的系數(shù)比較簡(jiǎn)單，可選用代入法；(2)若方程組三個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成倍數(shù)時(shí)，可選用加減消元法，但要注意必須消去同一個(gè)未知數(shù)，否則所得的兩個(gè)新方程雖然都含兩個(gè)未知數(shù)，但由它們組成的方程組仍含三個(gè)未知數(shù)，并未達(dá)到消元的目的．探究點(diǎn)三：三元一次方程組的應(yīng)用某汽車在相距70km的甲、乙兩地往返行駛，因途中有一坡度均勻的小山．該汽車從甲地到乙地需要2.5h，而從乙地到甲地需要2.3h.假設(shè)汽車在平路、上坡路、下坡路的時(shí)速分別是30km、20km、40km，則從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路的長(zhǎng)度各是多少？解析：題中有三個(gè)等量關(guān)系：①上坡路長(zhǎng)度＋平路長(zhǎng)度＋下坡路長(zhǎng)度＝70km；②從甲地到乙地過程中，上坡時(shí)間＋平路時(shí)間＋下坡時(shí)間＝2.5h；③從乙地到甲地的過程中，上坡時(shí)間＋平路時(shí)間＋下坡時(shí)間＝2.3h.解：設(shè)從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路的長(zhǎng)度分別是xkm，ykm和zkm.由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝70，,\f(x,20)＋\f(y,30)＋\f(z,40)＝2.5，,\f(z,20)＋\f(y,30)＋\f(x,40)＝2.3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝54，,z＝4.))答：從甲地到乙地的過程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km.方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵是理解汽車在往返行駛的過程中，如果從甲地到乙地是上坡路段，那么從乙地到甲地時(shí)就變成了下坡路段．三、板書設(shè)計(jì)三元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三元一次方程組的概念,三元一次方程組的解法,三元一次方程組的應(yīng)用))通過對(duì)二元一次方程組的類比學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受把新知轉(zhuǎn)化為已知、把不會(huì)的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的問題、把難度大的問題轉(zhuǎn)化為難度較小的問題這一化歸思想，感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的密切聯(lián)系；增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，初步培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的良好思維習(xí)慣．5．7用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式專業(yè)學(xué)習(xí)資料平臺(tái)網(wǎng)資源PAGEPAGE3網(wǎng)資源1．