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文檔簡介
第六章
樹和二叉樹樹的概念與定義二
叉
樹二叉樹的遍歷與線索化樹和森林哈夫曼樹及其應(yīng)用樹的計數(shù)6.1樹的概念與定義樹的定義:樹(tree)是n(n≥0)個結(jié)點的有限集T,當n=0時,稱為空樹;當n>0時,滿足以下條件:有且僅有一個結(jié)點被稱為樹根(root結(jié)點;當n>1時,除根結(jié)點以外的其余n-1個結(jié)點可以劃分成m(m>0)個互不相交的有限集T1,T2,…,Tm,其中每一個集合本身又是一棵樹,稱為根的子樹(subtree)。圖6.1·結(jié)點(node):表示樹中的元素,包括數(shù)據(jù)項及若干指向其子樹的分支?!そY(jié)點的度(degree):結(jié)點擁有的子樹的數(shù)目。圖6.1中結(jié)點A的度為3?!と~子(leaf):度為0的結(jié)點稱為葉子結(jié)點,也稱為終端結(jié)點。圖6.1中,葉子結(jié)點有:K,L,F(xiàn),G,M,I,J?!し种ЫY(jié)點:度不為0的結(jié)點稱為分支結(jié)點,也稱為非終端結(jié)點。圖6.1中,非終端結(jié)點有:A,B,C,D等?!ず⒆咏Y(jié)點(child):結(jié)點的子樹的根稱為該結(jié)點的孩子結(jié)點。圖6.1中,結(jié)點A的孩子結(jié)點為B,C,D,結(jié)點B的孩子結(jié)點為E,F(xiàn)?!るp親結(jié)點(parents):孩子結(jié)點的上層結(jié)點稱為該結(jié)點的雙親結(jié)點。圖6.1中,結(jié)點I的雙親為D,結(jié)點L的雙親為
E?!ば值芙Y(jié)點(sibling):具有同一雙親結(jié)點的孩子結(jié)點之間互稱為兄弟結(jié)點。圖6.1中,結(jié)點B,C,D互為兄弟,結(jié)點K,L互為兄弟?!涞亩龋簶渲凶畲蟮慕Y(jié)點的度數(shù)即為樹的度。圖6.1中的樹的度為3。·結(jié)點的層次(level):從根結(jié)點算起,根為第一層,它的孩子為第二層……。若某結(jié)點在第l層,則其孩子結(jié)點就在
第l+1層。圖6.1中,結(jié)點A的層次為1,結(jié)點M的層次為4。·樹的高度(depth):樹中結(jié)點的最大層次數(shù)。圖6.1中的樹的高度為4?!ど?forest):m(m≥0)棵互不相交的樹的集合?!び行驑渑c無序樹:樹中結(jié)點的各子樹從左至右是有次序的(不能互換)則稱該樹為有序樹,否則稱該樹為無序樹。6.2
二叉樹二叉樹的定義:二叉樹是由n(n≥0)個結(jié)點的有限集T構(gòu)成,此集合或者為空集,或者由一個根結(jié)點及兩棵互不相交的左右子樹組成,并且左右子樹都是二叉樹。注意:二叉樹的子樹有左右之分,因此二叉樹是一種有序樹。二叉樹的性質(zhì):性質(zhì)1
在二叉樹的第i層上至多有2i-1個結(jié)點(i≥1)。性質(zhì)2
深度為k的二叉樹至多有2k-1個結(jié)點(k>=1)。性質(zhì)3
對任意一棵二叉樹BT,如果其葉子結(jié)點數(shù)為n0,度為2的結(jié)點數(shù)為n2,則n0=n2+1。性質(zhì)4
具有n個結(jié)點的完全二叉樹的深度為【log2n】+1。(符號【x】表示不大于x的最大整數(shù)。)二叉樹的性質(zhì):性質(zhì)5
對于具有n個結(jié)點的完全二叉樹如果對其結(jié)點按層次編號,則對任一結(jié)點
i(1≤i≤n),有:(1)如果i=1,則結(jié)點i是二叉樹的根,無親;如果i>1,則其雙親是【i/2】(2)
如果2i>n,則結(jié)點i無左孩子;如果2in,則其左孩子是2i(3)
如果2i+1>n,則結(jié)點i無右孩子;如果
2i+1≤n,則其右孩子是2i+1滿二叉樹:一棵深度為k且有2k-1個結(jié)點的二叉樹稱為滿二叉樹。完全二叉樹:深度為k,有n個結(jié)點的二叉樹當且僅當其每一個結(jié)點都與深度為k的滿二叉樹中編號從1至n的結(jié)點一一對應(yīng)時,稱為完全二叉樹。12345896710
11
12
13
14
1512345896710
11
121234567123456二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)·
順序存儲結(jié)構(gòu)
:為了能夠反映出結(jié)點之間的邏輯關(guān)系,必須將它“修補”成完全二叉樹,對應(yīng)該完全二叉樹,可以開辟長度為12的數(shù)組,對12個數(shù)據(jù)元素進行存儲,原二叉樹中空缺的結(jié)點在數(shù)組中的相應(yīng)單元必須置空a
b
c
d
e
φ
φ
φ
φ
f
g二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)·
鏈式存儲結(jié)構(gòu)
:表示二叉樹的鏈表中的結(jié)點應(yīng)該包含3個域:數(shù)據(jù)域和指向左、右子樹的指針域,二叉樹的這種存儲結(jié)構(gòu)被稱為二叉鏈表。Lchild
data
rchild在n個結(jié)點的二叉鏈表中,有n+1個空指針域6.3
二叉樹的遍歷與線索化二叉樹的遍歷:是按某條搜索路徑訪問樹中的每一個結(jié)點,使得每一個結(jié)點均被訪問一次,而且僅被訪問一次。先根遍歷二叉樹(1)訪問根結(jié)點;(2)先根遍歷左子樹;(3)先根遍歷右子樹。中根遍歷二叉樹·(1)中根遍歷左子樹;·(2)訪問根結(jié)點;·(3)中根遍歷右子樹。后根遍歷二叉樹·(1)后根遍歷左子樹;·(2)后根遍歷右子樹;·(3)訪問根結(jié)點。先根遍歷:
-+a*b–cd/ef中根遍歷:
a+b*c–d–e/f后根遍歷:
abcd-*+ef/-typedef
struct
Node{datatype
data;struct
Node
*Lchild;struct
Node
*Rchild;}
BTnode,*Btree;·先根遍歷算法void
preorder(Btree
root){if(root!=NULL){Visit(root->data);preorder(root->Lchild);preorder(root->Rchild);}}·中根遍歷算法void InOrder(Btree
root){if(root!=NULL){InOrder(root->Lchild);Visit(root->data);InOrder(root->Rchild);}}·后根遍歷算法void PostOrder(Btree
root){if(root!=NULL){PostOrder(root->Lchild);PostOrder(root->Rchild);Visit(root
->data);}}線索二叉樹:利用二插鏈表剩余的n+1個空指針域來存放遍歷過程中結(jié)點的前驅(qū)和后繼的指針,這種附加的指針稱為“線索”,加上了線索的二叉鏈表稱為線索鏈表,相應(yīng)的二叉樹稱為線索二叉樹。為了區(qū)分結(jié)點的指針域是指向其孩子的指針,還是指向其前驅(qū)或后繼的線索,可在二叉鏈表的結(jié)點中,再增設(shè)2個標志域。Lchild
Ltag
Data
Rtag
RchildLchild域指示結(jié)點的左孩子Ltag=Lchild域指示結(jié)點的遍歷前驅(qū)Rchild域指示結(jié)點的右孩子Rtag=Rchild域指示結(jié)點的遍歷后繼中序線索二叉樹·
基于遍歷的應(yīng)用與線索二叉樹的應(yīng)用二叉樹的遍歷是對二叉樹進行各種運算的一個重要基礎(chǔ),對訪問(程序中的visit函數(shù))結(jié)點可理解為各種對二叉樹中結(jié)點進行操作。因此,只要將二叉樹三種遍歷算法中的visit函數(shù)具體化,就產(chǎn)生了基于二叉樹的不同應(yīng)用?!?/p>
輸出二叉樹中的結(jié)點Void
paintnode
(Btree
root){if
(root!=NULL){printf
(root
->data);paintnode
(root
->Lchild);paintnode
(root
->Rchild);}}·
輸出二叉樹中的葉子結(jié)點Void
paintleaf
(Btree
root){if
(root!=NULL){if
(root
->Lchild==NULL
&&
root
->Rchild==NULL)printf
(root
->data);paintleaf
(root
->Lchild);paintleaf
(root
->Rchild);}}·
統(tǒng)計葉子結(jié)點數(shù)目Void
leafcount(Btree
root){if(root!=NULL){leafcount(root->Lchild);leafcount(root->Rchild);if
(root
->Lchild==NULL
&&
root
->Rchild==NULL)count++;}}提示:count為全局變量,在主函數(shù)中定義?!?/p>
建立二叉樹圖中二叉樹的先根遍歷序列為:
ABDGCEHF,而考慮空子樹后的先根遍歷序列應(yīng)為:ABD.G.CE.HF,其中“.”代表空子樹。如果已知二叉樹的考慮了空子樹后的遍歷序列,那么建立這棵二叉樹的算法如下(假定datatype類型為char)Void
CreateBtree(Btree
*bt){char
ch;ch=getchar();if(ch==".")*bt=NULL;else{*bt=(Btree)malloc(sizeof(BTnode));(*bt)->data=ch;CreateBiTree(&((*bt)->Lchild));CreateBiTree(&((*bt)->Rchild));}}·
求二叉樹的高度采用遞歸的方法定義二叉樹的高度:若二叉樹為空,則高度為0;若二叉樹非空,其高度應(yīng)為其左右子樹高度的最大值加1。int
TreeDepth(Btree
bt){int
hl,hr,max;if(bt!=NULL){hl=TreeDepth(bt->Lchild);hr=TreeDepth(bt->Rchild);max=(hl,hr);return(max+1);}else
return(0);}·
在中根遍歷的線索樹中查找前驅(qū)結(jié)點對于二叉樹中任意結(jié)點p,要找其前驅(qū)結(jié)點,當p->Ltag=1時,p->Lchild即為p的前驅(qū)結(jié)點;當p->Ltag=0時,說明
p有左子樹,此時p的中根遍歷下的前驅(qū)結(jié)點即為其左子右鏈下的最后一個結(jié)點。Void
Previous(ThreadTnode
*
p,
ThreadTnode
*pre){
ThreadTnode
*q;if(p->Ltag==1)
pre=
p->Lchild;else{for(q=
p->Lchild;q->Rtag==0;q=q->Rchild);pre=q;}}·
在中根遍歷的線索樹中查找后繼結(jié)點二叉樹中任意結(jié)點p,若要找其后繼結(jié)點,當p->Rtag=1時,p->Rchild即為p的后繼結(jié)點;當p->Rtag=0時,說明
p有右子樹,此時p的中根遍歷下的后繼結(jié)點即為其右子左鏈下的最后一個結(jié)點。Void
Succedent(ThreadTnode
*p,
ThreadTnode
*succ){
ThreadTnode
*q;if
(p->Rtag==1)succ=
p->
RChild;else{for(q=
p->RChild;
q->Ltag==0
;q=q->LChild
);succ=q;}}6.4
樹和森林·樹的存儲結(jié)構(gòu)雙親(鏈表)表示法用一組連續(xù)的存儲空間(數(shù)組)來存儲樹中的結(jié)點,每個組元素中不但包含結(jié)點本身的信息,還保存該結(jié)點雙親結(jié)點在數(shù)組中的下標號。數(shù)組中每個結(jié)點含兩個域:數(shù)據(jù)域:存放結(jié)點本身信息雙親域:指示本結(jié)點的雙親結(jié)點在數(shù)組中位置在雙親表示法下,樹的數(shù)據(jù)類型定義如下:
#define
Maxsize
50typedef
struct
Node{DataType
data;int
parent;}Tnode;Tnode
Ptree[Maxsize];abcdefhgidataparent0a-11b12c13d24e25f36g57h58i5如何找孩子結(jié)點·孩子鏈表表示法把每個結(jié)點的孩子結(jié)點排列起來,構(gòu)成一個單鏈表,該鏈表就是本結(jié)點的孩子鏈表。具有n個結(jié)點的樹就形成了個孩子鏈表·孩子結(jié)點·#define
Maxsize
50typedef
struct
ChildNode{int
Child;struct
ChildNode
*
next;}ChildNode;·表頭結(jié)點typedef
struct{DataType
data;ChildNode
*
ChildHead
;}DataNode;·孩子鏈表·DataNode
Ctree[Maxsize];·
孩子兄弟鏈表表示法又稱為二叉鏈表表示法,即以二叉鏈表作為樹的存儲結(jié)構(gòu)。鏈表中每個結(jié)點設(shè)有兩個鏈域,與二叉樹的二叉鏈表表示法所不同是,這兩個鏈域分別指向該結(jié)點的第一個孩子結(jié)點和下一個兄弟(右兄弟)。dataNextsiblingFirstChildtypedef
struct
CSNode{DataType
data;Struct
CSNode
*FirstChild,
*Nextsibling;}
*CSTree;對應(yīng)結(jié)論:樹的孩子兄弟鏈表表示法與對應(yīng)二叉樹的二插鏈表表示法相同。因此,上圖中的樹與二叉樹之間存在相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系。BEFGDA
AC
D
B
CH
I
E
F
GHIABCDEFGHIABCDEABCDEFGHIF
G
H
I樹轉(zhuǎn)換成的二叉樹其右子樹一定為空·樹轉(zhuǎn)換為二叉樹加線:在樹中所有相鄰的兄弟之間加一連線;抹線:對樹中每個結(jié)點,除了其左孩子外抹去該結(jié)點與其孩子之間的連線。整理:以樹的根結(jié)點為軸心,將整樹順時針轉(zhuǎn)45°?!ど洲D(zhuǎn)換成二叉樹·將各棵樹分別轉(zhuǎn)換成二叉樹將每棵樹的根結(jié)點用線相連以第一棵樹根結(jié)點為二叉樹的根,再以根結(jié)點為軸心,順時針旋轉(zhuǎn),構(gòu)成二叉樹型結(jié)構(gòu)ABCDFE
GHIJBCDEFA
GHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJ·二叉樹轉(zhuǎn)換成樹·加線:若p結(jié)點是雙親結(jié)點的左孩子,則將p的右孩子,右孩子的右孩子,……沿分支找到的所有右孩子,都與p的雙親用線連起來·抹線:抹掉原二叉樹中雙親與右孩子之間的連線·調(diào)整:將結(jié)點按層次排列,形成樹結(jié)構(gòu)EGHIA
ACDB
BC
EF
D
FGHIEGHIA
ACDB
BC
EF
D
FGHIABCDEFGHI·二叉樹轉(zhuǎn)換成森林·
抹線:將二叉樹中根結(jié)點與其右孩子連線,及沿右分支·搜索到的所有右孩子間連線全部抹掉,使之變成孤立的二樹·還原:將孤立的二叉樹還原成樹ABCDEFGHIJABCDEFGHIJBCDEFA
GHIJABCDEFGHIJ·樹和森林的遍歷樹的遍歷先根遍歷若樹非空,則遍歷方法為:a.訪問根結(jié)點。b.從左到右,依次先根遍歷根結(jié)點的每一棵子樹。后根遍歷若樹非空,則遍歷方法為:a.從左到右,依次后根遍歷根結(jié)點的每一棵子樹。b.訪問根結(jié)點。按層次遍歷若樹非空,則遍歷方法為:先訪問第一層上的結(jié)點,然后依次遍歷第二層,……第n層的結(jié)點。ABCDEFGHIJ
K
L
MNO先根遍歷:A
B
E
F
I
G
C
D
H
J
K
L
N
O
M后根遍歷:E
IF
G
B
C
JK
N
O
L
M
H
D
A層次遍歷:A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O·森林的遍歷·先根遍歷·若森林非空,則遍歷方法為:a.訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點。b.先根遍歷第一棵樹的根結(jié)點的子樹森林。c.先根遍歷除去第一棵樹之后剩余的樹構(gòu)成的森林?!ぶ懈闅v若森林非空,則遍歷方法為:·a.中根遍歷森林中第一棵樹的根結(jié)點的子樹森林。·b.訪問第一棵樹的根結(jié)點。c.中根遍歷除去第一棵樹之后剩余的樹構(gòu)成的森林?!ず蟾闅v·若森林非空,則遍歷方法為:a.后根遍歷森林中第一棵樹的根結(jié)點的子樹森林。b.后根遍歷除去第一棵樹之后剩余的樹構(gòu)成的森林。c.訪問第一棵樹的根結(jié)點。先根遍歷:ABCDEFGHIJ中根遍歷:BCDAFEHJIG后根遍歷:DCBFJIHGEA6.5
哈夫曼樹及其應(yīng)用與哈夫曼樹相關(guān)的基本概念路徑和路徑長度路徑:從一個結(jié)點到另一個結(jié)點之間的分支序列。路徑長度:是指從一個結(jié)點到另一個結(jié)點所經(jīng)過的分支數(shù)目。結(jié)點的權(quán)和帶權(quán)路徑長度結(jié)點的權(quán):在實際的應(yīng)用中,人們常常給樹的每個結(jié)點賦予一個具有某種實際意義的數(shù)值,我們稱該數(shù)值為這個結(jié)點的權(quán)。結(jié)點的帶權(quán)路徑長度:從樹根到某一結(jié)點的路徑長度與該結(jié)點的權(quán)的乘積,叫做該結(jié)點的帶權(quán)路徑長度。樹的帶權(quán)路徑長度樹的帶權(quán)路徑長度是指樹中所有葉子結(jié)點的帶權(quán)路徑長之和?!涞膸?quán)路徑長度樹的帶權(quán)路徑長度是指樹中所有葉子結(jié)點的帶權(quán)路徑長度之和?!す蚵鼧涔蚵鼧洌菏怯蒼個帶權(quán)葉子結(jié)點構(gòu)成的所有二叉樹中帶權(quán)路徑長度WPL最小的二叉樹。哈夫曼樹又叫最佳判定樹。例:有4個結(jié)點,權(quán)值分別為7,5,2,4,構(gòu)造有4個葉子結(jié)點的二叉樹ab
cd7
5
2
4WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36dcb2a745WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46abc
d752
4WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35·構(gòu)造Huffman樹的方法——Huffman算法·
構(gòu)造Huffman樹步驟根據(jù)給定的n個權(quán)值{w1,w2,……wn},構(gòu)造n棵只有根結(jié)點的二叉樹,令起權(quán)值為wj在森林中選取兩棵根結(jié)點權(quán)值最小的樹作左右子樹,構(gòu)造一棵新的二叉樹,置新二叉樹根結(jié)點權(quán)值為其左右子樹根結(jié)點權(quán)值之和在森林中刪除這兩棵樹,同時將新得到的二叉樹加入森林中重復上述兩步,直到只含一棵樹為止,這棵樹即哈夫曼樹例7
5
2
4a
b
c
d7a5b2
4c
d67a5b2
4c
d6117a5b2
4c
d61118例w={5,29,7,8,14,23,3,11}5
2929
733
118157
829
145
378142381423115231181181929
14
23
157
8115
3829
23
1914157
85
32929147
829115
381915
234211819234214157
829
2958115
381923422914157
829585
3100·
哈夫曼樹的應(yīng)用·
最佳判定樹·
學生成績的分布呈正態(tài)分布即:中等成績的學生較多,而較好或較差學生均比較少。設(shè)其分布規(guī)律如下表:等級不及格及格中等良好優(yōu)秀分數(shù)段0~5960~6970~7980~8990~100比例5%15%40%30%10%(a)(b)若采用圖(a)來進行判斷,則80%以上的數(shù)據(jù)要進行三次或三次以上的比較才能得到結(jié)果。而如果我們以各分數(shù)段人數(shù)的占總?cè)藬?shù)的比例5、15、40、30、10為權(quán)值構(gòu)造哈夫曼樹,可得到(b)所示的判定樹來進行判斷可以使大部分數(shù)據(jù)經(jīng)過較少次數(shù)的比較得到結(jié)果?!?/p>
哈夫曼編碼哈夫曼樹還被廣泛的應(yīng)用在編碼技術(shù)中。利用哈夫曼樹,我們可以得到平均長度最短的編碼。設(shè)有一臺模型機,共有7種不同的指令,其使用頻率如下:為了充分地利用編碼信息和減少程序的總位數(shù),我們考慮采用變長編碼。如果對每一條指令指定一條編碼,使得這些編碼互不相同且最短。若要設(shè)計變長的編碼,這種編碼必須滿足這樣一個條件:任意一個編碼不能成為其它任意編碼的前綴。我們把滿足這個條件的編碼叫做前綴編碼。利用哈夫曼算法,可以設(shè)計出最優(yōu)的前綴編碼。以每條指令的使用頻率為權(quán)值構(gòu)造哈夫曼樹,構(gòu)造結(jié)果如圖所示:·哈夫曼編碼算法的實現(xiàn)數(shù)據(jù)類型的定義如下:typedef
struct
Node{int
weight
;int
parent,
LChild,RChild
;}
HTNode,
*
HTree;typedef
char
*
*HuffmanCode
;創(chuàng)建哈夫曼樹并求哈夫曼編碼的算法如下:viod
CreatHTree(HTree
*ht
,
HuffmanCode
*hc,int
*
w,int
n){/*w存放n個權(quán)值,構(gòu)造哈夫曼樹ht,并求出哈夫曼編碼hc
*/int
start;m=2*n-1;*ht=(HTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));for(i=1;i<=n;i++)(*ht)[i]
={
w[i],0,0,0};for(i=n+1;i<=m;i++)(*
ht)[i]={0,0,0,0};/*初始化*/for(i=n+1;i<=m;i++){select(ht,i-1,&s1,&s2);/*在(*ht)[1]~(*ht)[i-1]的范圍內(nèi)選擇兩個parent為0且weight最小的結(jié)點,其序號分別賦值給s1、s2返回,select函數(shù)要求在上機調(diào)試使補充定義*/(*ht)[s1].parent=i;(*ht)[s2].parent=i;
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