四年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題11：組合圖形的計(jì)數(shù)

十一、組合圖形的計(jì)數(shù)〔A〕年級(jí)______班_____姓名_____得分_____一、填空題:1.右圖一共有()個(gè)長(zhǎng)方形?2.右圖一共有()個(gè)長(zhǎng)方形?3.右圖一共有()個(gè)長(zhǎng)方形？4.右圖一共有()個(gè)正方形？5.右圖一共有()個(gè)長(zhǎng)方形？(7)((7)(6)6.右圖一共有()個(gè)平行四邊形?7.右圖一共有()個(gè)梯形？8.右圖一共有()個(gè)正方形？9.右圖一共有()個(gè)正方形?10.右圖一共有()個(gè)正方形?二、解答題:11.下列圖共有幾個(gè)正方形?12.下列圖共有幾個(gè)正方形?13.在一個(gè)圖案中有100個(gè)矩形、100個(gè)菱形和40個(gè)正方形,這個(gè)圖案中至少有多少個(gè)平行四邊形?14.三個(gè)同樣的正方形框架,擺放在適當(dāng)?shù)奈恢?最多可以數(shù)出多少個(gè)正方形來(lái)?十一、組合圖形的計(jì)數(shù)〔B〕年級(jí)______班_____姓名_____得分_____一、填空題:1.右圖有()個(gè)長(zhǎng)方形.2.右圖共有()個(gè)長(zhǎng)方形.3.下列圖共有()個(gè)長(zhǎng)方形.4.圖中一共有多少個(gè)長(zhǎng)方形?(含正方形).5.數(shù)一數(shù)圖中三角形的個(gè)數(shù).6.下列圖共有()個(gè)三角形.7.下列圖一共有()個(gè)三角形.8.圖中,,邊被分成四等分,邊上的高,那么圖中所有三角形面積的和為多少?(以為邊的三角形不計(jì)算在內(nèi).9.下列圖共有()個(gè)平行四邊形.10.右圖一共有()個(gè)梯形.二、解答題:1.數(shù)一數(shù),右圖中有多少個(gè)正方形?2.如右圖,數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)三角形?3.下列圖共有幾個(gè)長(zhǎng)方形?4.下列圖共有多少個(gè)長(zhǎng)方形?———————————————答案——————————————————————一、填空題:1.一共有321個(gè).解:①上橫大長(zhǎng)方形內(nèi)有長(zhǎng)方形:(8+7+6+5+4+3+2+1)(1+2)=108(個(gè));②下橫大長(zhǎng)方形內(nèi)有長(zhǎng)方形:(762)(322)=63(個(gè));③豎大長(zhǎng)方形內(nèi)有長(zhǎng)方形:(542)(762)=210(個(gè));④中間重復(fù)的長(zhǎng)方形共有:(542)(322)2=60(個(gè)).⑤圖中共有長(zhǎng)方形:108+63+210-60=321(個(gè)).2.一共有64個(gè).3.一共有107個(gè).解:(1+2+3+4)(1+2+3)=60(個(gè));(1+2+3)(1+2+3)=36(個(gè));1+2=3(個(gè));(1+2)4+2=14(個(gè));圖中共有長(zhǎng)方形:60+36-3+14=107(個(gè)).4.一共有18個(gè).解:分三類(lèi)計(jì)算,邊長(zhǎng)是1的正方形有2+4=13(個(gè)),邊長(zhǎng)為2的正方形有4(個(gè)),邊長(zhǎng)為3的正方形有1個(gè).因此,圖中共有正方形13+4+1=18(個(gè)).5.一共有79個(gè).解:在大長(zhǎng)方形中共有長(zhǎng)方形:(3+2+1)(3+2+1)=36(個(gè)).在小長(zhǎng)方形中共有長(zhǎng)方形:(3+2+1)(3+2+1)=36(個(gè)).在兩個(gè)長(zhǎng)方形中增加的長(zhǎng)方形有:8(個(gè)).在大長(zhǎng)方形和小長(zhǎng)方形中重復(fù)計(jì)算了的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為1個(gè).所以,這個(gè)圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)為:36+36+8-1=79(個(gè)).6.右圖一共有(150)個(gè)平行四邊形.(542)(652)=150(個(gè)).點(diǎn)金術(shù):與算平行四邊形的方法一樣.7.一共有(90)個(gè).(652)(432)=90(個(gè)).8.一共有(55)個(gè).解:分類(lèi)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得邊長(zhǎng)為1的正方形有55=25(個(gè));邊長(zhǎng)為2的正方形有44=16(個(gè));邊長(zhǎng)為3的正方形有33=9(個(gè));邊長(zhǎng)為4的正方形有22=4(個(gè));邊長(zhǎng)為5的正方形有11=1(個(gè)).圖中共有正方形:25+16+9+4+1=55(個(gè)).9.一共有60個(gè).解:分類(lèi)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得邊長(zhǎng)為1的正方形有47=28(個(gè));邊長(zhǎng)為2的正方形有36=18(個(gè));邊長(zhǎng)為3的正方形有25=10(個(gè));邊長(zhǎng)為4的正方形有14=4(個(gè)).圖中共有正方形:47+36+25+14=60(個(gè)).10.右圖一共有(110)個(gè)正方形.解:圖中是一個(gè)410方格,其中正方形的個(gè)數(shù)是:410+39+28+17=90(個(gè));圖中是一個(gè)46方格,其中正方形的個(gè)數(shù)是:46+35+24+13=50(個(gè));在上面的兩項(xiàng)統(tǒng)計(jì)中,內(nèi)的正方形被重復(fù)計(jì)算了一次,應(yīng)該扣除.因是44方格,其中正方形的個(gè)數(shù)是:44+33+22+11=30(個(gè)).所以,圖中正方形的個(gè)數(shù)是:90+50-30=110(個(gè)).二、解答題:11.一共有95個(gè).解:①中間局部的正方形有:52+42+32+22+12=55(個(gè));②上、下局部的正方形有:(4+2+1)2=14(個(gè));③左、右局部的正方形有:(9+2+2)2=26(個(gè)).共有正方形:55+14+26=95(個(gè)).12.共有46個(gè).解:①正擺著的正方形有:43+32+21=20(個(gè));②斜擺著的正方形有:.最小的正方形有17個(gè);.由4個(gè)小正方形組成的正方形有8個(gè),.由9個(gè)小正方形組成的正方形有1個(gè).③圖中共有正方形:20+17+8+1=46(個(gè)).13.至少有160個(gè).解:因?yàn)榫匦?、菱形、正方形都是平行四邊?且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四邊形:100+100-40=160(個(gè)).14.最多有7個(gè).解:最多有7個(gè)正方形.擺法如右圖.———————————————答案——————————————————————1.58個(gè)2.25個(gè)3.29個(gè)4.1980個(gè)圖中線(xiàn)段10×11÷2=55(條),邊上共有線(xiàn)段8×9÷2=36(條),因此,圖中共有長(zhǎng)方形55×36=1980(個(gè)).5.27個(gè)這樣的圖形只能分類(lèi)數(shù),可以采用類(lèi)似數(shù)正方形的方法,從邊長(zhǎng)為一條根本線(xiàn)段的最小三角形開(kāi)始.Ⅰ.以一條根本線(xiàn)段為邊的三角形:①尖朝上的三角形共有四層,它們的總數(shù)為:W①上=1+2+3+4=10(個(gè)).②尖朝下的三角形共有三層,它們的總數(shù)為:W①下=1+2+3=6(個(gè)).Ⅱ.以?xún)蓷l根本線(xiàn)段為邊的三角形:①尖朝上的三角形共有三層,它們的總數(shù)為:W②上=1+2+3=6(個(gè))②尖朝下的三角形只有一個(gè),記為W②下=1(個(gè)).Ⅲ.以三條根本線(xiàn)段為邊的三角形:①尖朝上的三角形共有二層,它們的總數(shù)為:W③上=1+2=3(個(gè)).②尖朝下的三角形零個(gè),記為W③下=0(個(gè)).Ⅳ.以四條根本線(xiàn)段為邊的三角形,只有一個(gè),記為W④上=1(個(gè)).所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27(個(gè)).我們還可以按另一種分類(lèi)情況計(jì)算三角形的個(gè)數(shù),即按尖朝上與朝下的三角形的兩種分類(lèi)情況計(jì)算三角形個(gè)數(shù).Ⅰ.尖朝上的三角形共有四種:W①上=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有:10+6+3+1=20(個(gè))Ⅱ.尖朝下的三角形共有二種:W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0那么尖朝下的三角形共有6+1+0+0=7(個(gè))所以,尖朝上與尖朝下的三角形一共有:20+7=27(個(gè))尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個(gè)數(shù)都是由1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和,其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的根本線(xiàn)段的條數(shù),依次各個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個(gè)最大的加數(shù),直到1為止.尖朝下的三角形的個(gè)數(shù)也是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和,它的第一個(gè)恰是尖朝上的第二個(gè)和,依次各個(gè)和都比上一個(gè)和少最大的兩個(gè)加數(shù),以此類(lèi)推直到零為止.6.126個(gè)Ⅰ.尖朝上的三角形有五種:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(個(gè))Ⅱ.尖朝下的三角形有四種:(1)W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(個(gè))∴80+46=126個(gè).7.35個(gè)Ⅰ.與相同的三角形共有5個(gè);Ⅱ.與相同的三角形共有10個(gè);Ⅲ.與相同的三角形共有5個(gè);Ⅳ.與相同的三角形共有5個(gè);Ⅴ.與相同的三角形共有5個(gè);Ⅵ.與相同的三角形共有5個(gè).所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5+5=35(個(gè)).8.20平方厘米底邊為1cm的三角形面積和為:;底邊為2cm的三角形面積和為:;底邊為3cm的三角形面積和為:;底邊為4cm的三角形面積和為:;圖中所有三角形面積和為:.9.315個(gè)(個(gè))10.45個(gè)最好的方法是先數(shù)出長(zhǎng)方形和梯形的總數(shù),再減去長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù).長(zhǎng)方形和梯形的總數(shù)為:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(個(gè))長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)為:(1+2+3)×(1+2)=18(個(gè))梯形的總數(shù)為:63-18=45(個(gè))二、解答題11.有124個(gè).①根本的三角形有:4×9=36(個(gè)).②由兩個(gè)根本的三角形組成的三角形有:4×9=36(個(gè)).③由四個(gè)根本的三角形組成的三角形:4×3×2=24(個(gè)).④由九個(gè)根本的三角形組成的三角形:4×2=8(個(gè)).⑤由八個(gè)根本的三角形組成的三角形:4×4=16(個(gè)).⑥由十八個(gè)根本的三角形組成的三角形:4(個(gè)).共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(個(gè)).12.有100個(gè).這是個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形,我們可按如下三步順序來(lái)數(shù):第一步:大矩形ABCD可分為四個(gè)相同的小矩形:AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每個(gè)小矩形內(nèi)所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.第二步:每?jī)蓚€(gè)小矩形組合成的圖形共有四個(gè),如:ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,每一個(gè)這樣的圖形中所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.第三步:每三個(gè)小矩形占據(jù)的局部圖形共有四個(gè):如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC,每一個(gè)這樣的圖形中所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.最后把每一步中每個(gè)圖形所包含三角形個(gè)數(shù)求出相加再乘以4就是整個(gè)圖形中所包含的三角形的個(gè)數(shù).Ⅰ.在小矩形AEOH中:①由一個(gè)三角形構(gòu)成的8個(gè).②由兩個(gè)三角形構(gòu)成的三角形有5個(gè).③由三個(gè)或三個(gè)以上三角形構(gòu)成的三角形有5個(gè).這樣在一個(gè)小矩形內(nèi)17個(gè)三角形.Ⅱ.在由兩個(gè)小矩形組合成的圖形中,如矩形AEGD,共有5個(gè)三角形.Ⅲ.由三個(gè)小矩形占據(jù)的局部圖形中,如△ABC,共有2個(gè)三角形.所以整個(gè)圖形共有三角形個(gè)數(shù)是:(8+5+5+5+2)×4=25×4=100(個(gè)).13.有270個(gè).①除去四周凸出局部,中間大長(zhǎng)方形內(nèi)共有長(zhǎng)方形:(7×6÷2)×(4×3÷2)=126(個(gè));②左、右凸出局部共有長(zhǎng)方形:(3×2÷2)×(7+6)+(5×4÷2)×(5+4)=39+90=129(個(gè));③上、下凸出局部共