新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何微專題1空間向量應(yīng)用的綜合問題教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊

微專題1空間向量應(yīng)用的綜合問題解決立體幾何問題，常用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法．處理空間圖形之間的距離、夾角等度量問題時(shí)，綜合法需要借助圖形之間的位置關(guān)系或輔助線找出所求的距離、夾角，有一定的難度，但向量法和坐標(biāo)法不用考慮圖形之間的關(guān)系，直接套用相應(yīng)的公式求解即可，將這些度量“公式化”，這就大大降低了難度．類型1利用空間向量求空間角【例1】(2022·天津卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D為A1B1中點(diǎn)，E為AA1中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求直線BE與平面CC1D夾角的正弦值；(3)求平面A1CD與平面CC1D夾角的余弦值．[解](1)證明：取BB1的中點(diǎn)G，連接FG，EG，連接AD交EG于K，再連接FK，∵EK∥A1B1，且E是AA1的中點(diǎn)，則K是AD的中點(diǎn)，∴FK∥AC，EG∥AB，又FK?平面ABC，AC?平面ABC，∴FK∥平面ABC，同理可得，EG∥平面ABC，又FK∩EG＝K，∴平面EFG∥平面ABC，∴EF∥平面ABC，(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AA1⊥A1B1，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又AA1＝AB＝AC＝2，D為A1B1中點(diǎn)，E為AA1中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．故B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)，則BE＝(－1，－2，0)，CC1＝(－2，0，0)，CD＝(－2，1，－設(shè)n＝(x，y，z)是平面CC1D的法向量，則有n·CC1＝0，n·CD＝即-2令z＝1，則x＝0，y＝2，所以n＝(0，2，1)，設(shè)直線BE與平面CC1D的夾角為θ，則sinθ＝|cos〈BE，n〉|＝-2×2即直線BE與平面CC1D夾角的正弦值為45(3)∵A1(0，0，0)，則A1C＝(2，0，2)，A1D＝(0，設(shè)平面A1CD的法向量為m＝(x，y，z)，則有m·A1C＝0，m·A1即2x+2z=0y=0，令x＝1，則y＝0，z＝－1，故m＝設(shè)平面A1CD與平面CC1D的夾角為β，所以cosβ＝|cos〈n，m〉|＝-1×1類型2立體幾何中的探究、開放問題【例2】(2021·全國甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)證明：BF⊥DE；(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？[思路導(dǎo)引](1)AB＝BC＝2，側(cè)面AA1B1B為正方形F為CC(2)結(jié)合(1)中的空間直角坐標(biāo)系由1所得數(shù)量關(guān)系平面BB1[解](1)因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，所以AA1＝BB1＝CC1＝AB＝2.又F為CC1中點(diǎn)，所以CF＝1.因?yàn)镃C1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以CC1⊥BC，則在Rt△BCF中，BF＝12+2如圖所示，連接AF，由BF⊥A1B1且AB∥A1B1，則BF⊥AB，故AF＝3，所以AC＝22，由AB2＋BC2＝AC2，則AB⊥BC，故如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在方向分別為x，則A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，F(xiàn)(0，2，1)，設(shè)B1D＝m(0≤m≤2)，則D(m，0，2)．則BF＝(0，2，1)，DE＝(1－m，1，－2)，所以BF·DE＝故BF⊥DE.(2)由(1)得AB⊥BC，AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，故AB⊥平面BB1C1C，故可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n1＝(1，0，0)．而DE＝(1－m，1，－2)，EF＝(－1，1，1)，設(shè)平面DFE的法向量為n2＝(x，y，z)，則n2·DE=0令x＝3，則y＝m＋1，z＝2－m，所以n2＝(3，m＋1，2－m)，∴cos〈n1，n2〉＝n＝3＝32m2∴當(dāng)m＝12時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的余弦值最大，此時(shí)正弦值最小，故當(dāng)B1D＝12時(shí)，面BB1C1C與面DFE類型3立體幾何中的翻折問題【例3】(2019·全國Ⅲ卷改編)圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的平面BCGE與平面ACGD所成角的大小．[證明](1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，BC，BE?平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足為H.因?yàn)镋H?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝3.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，3)，CG＝(1，0，3)，AC＝(