新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率2.1.2兩條直線平行和垂直的判定教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

2.1.2兩條直線平行和垂直的判定學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解兩條直線平行與垂直的條件．(數(shù)學(xué)抽象)2．能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．(邏輯推理)3．能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)在平面幾何中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩條直線平行或垂直的性質(zhì)定理和判定定理．那么，在平面直角坐標(biāo)系中，怎樣根據(jù)兩條直線的傾斜角或斜率的關(guān)系來(lái)判斷兩條直線的平行或垂直關(guān)系呢？知識(shí)點(diǎn)1兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系類型斜率存在斜率不存在條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線斜率都不存在圖示1．兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？提示：不是，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在．知識(shí)點(diǎn)2兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩條直線的斜率都存在，且都不為零)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l22.“兩條直線的斜率之積等于－1”是“這兩條直線垂直”的充要條件嗎？提示：不是．“兩條直線的斜率之積等于－1”可推出“這兩條直線垂直”，但兩條直線垂直時(shí)，除了斜率之積等于－1，還有可能一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在．1．已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和B(m，4)的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值為________．－8[由題意知m-解得m＝－8．]2．l1的斜率為－23，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(0，m)，當(dāng)l1⊥l2時(shí)，m－12[由條件l1⊥l2得－23×m-1-類型1兩直線平行的判定及應(yīng)用【例1】(1)已知點(diǎn)A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則實(shí)數(shù)m的值為()A．1B．0C．0或1D．0或2(2)根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行．①l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)，B(－4，0)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－3，1)，N(－2，2)；②l1的斜率為－12，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，2)，B③l1平行于y軸，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，－2)，Q(0，5)；④l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(0，1)，F(xiàn)(－2，－1)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)G(3，4)，H(2，3)．(1)C[法一：∵A(m，3)，B(2m，m＋4)，∴其方向向量為AB＝(m，m＋1)．∵C(m＋1，2)，D(1，0)，∴其方向向量為CD＝(－m，－2)，由直線AB與直線CD平行，得m×(－2)－(m＋1)×(－m)＝0，解得m＝0或m＝1.經(jīng)檢驗(yàn)，m＝0或m＝1時(shí)，兩直線不重合，故選C．法二：當(dāng)m＝0時(shí)，直線AB與直線CD的斜率均不存在，此時(shí)AB∥CD，滿足題意．當(dāng)m≠0時(shí)，kAB＝m+4-32m-m＝m+1由題意得kAB＝kCD，即m+1m＝解得m＝1或m＝0(舍去)．經(jīng)檢驗(yàn)，m＝0或m＝1時(shí)，兩直線不重合，∴m的值為0或1.故選C．](2)[解]①kAB＝3-02--4＝12，kMN＝2-1-2--②l1的斜率k1＝－12，l2的斜率k2＝3-22-4＝－12，k1＝k2③由題意，知l1的斜率不存在，且不與y軸重合，l2的斜率也不存在，且與y軸重合，所以l1∥l2.④由題意，知kEF＝-1-1-2-0＝1，kGH＝3-42-3＝1，需進(jìn)一步研究E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)是否共線，kFG＝4-所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共線，所以l1與l2重合．判斷兩條不重合的直線是否平行的兩種方法(1)利用直線的斜率判斷：(2)利用直線的方向向量判斷：求出兩直線的方向向量，通過(guò)判斷兩向量是否共線，進(jìn)而得到兩條直線是否平行．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A134，514，B-54294，354[法一：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，n)．由題意知，AB∥CD，由兩直線平行的條件知kAB＝kCD，kAD＝kBC，∴51化簡(jiǎn)，得n解得m∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為294法二：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，n)．由題意知，AB＝DC.依題意得，AB＝-92，-27因此114-∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為294類型2兩條直線垂直的判定及應(yīng)用【例2】已知△ABC的頂點(diǎn)為A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．[解]若∠A為直角，則AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即m+12-5×若∠B為直角，則AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即1+11-5×m若∠C為直角，則AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即m+12-5×m綜上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.判斷兩條直線是否垂直的方法在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可；若有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時(shí)，這兩條直線也垂直．提醒：若已知點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)，利用兩直線的垂直關(guān)系求參數(shù)值時(shí)，要注意討論斜率不存在的情況．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直線AB⊥CD，求m的值．[解]∵A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不相等，∴AB與x軸不平行．∵AB⊥CD，∴CD與x軸不垂直，∴－m≠3，m≠－3.(1)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.當(dāng)m＝－1時(shí)，C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為－1.∴CD∥x軸，此時(shí)AB⊥CD，滿足題意．(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由斜率公式得kAB＝4-2-kCD＝3m+2-∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即2-解得m＝1.綜上，m的值為1或－1.類型3兩條直線平行與垂直的綜合應(yīng)用【例3】已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使直線CD⊥AB，且BC∥AD．[解]設(shè)D(x，y)，由題意得kAB＝-1-21-2＝3，kCD＝y(tǒng)-0x-3＝y(tǒng)因?yàn)橹本€CD⊥AB，且BC∥AD，所以kAB·kCD＝3·yxkBC＝kAD，即y+1聯(lián)立解得x=0，y[母題探究]將本例中的三點(diǎn)變?yōu)锳(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，其他的條件不變，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．[解]設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，由已知得直線AB的斜率kAB＝1，直線CD的斜率kCD＝y(tǒng)-4x，直線BC的斜率kBC＝－23，直線AD的斜率kAD＝y(tǒng)x-1，由AB得y-4所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(10，－6)．關(guān)于直線平行與垂直的綜合應(yīng)用(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平行、垂直時(shí)的斜率關(guān)系建立方程(組)去解．(2)圖形中的平行與垂直問題要充分利用圖形性質(zhì)求解，圖形的形狀不確定時(shí)要分情況討論．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四邊形ABCD為直角梯形，求A點(diǎn)坐標(biāo)．[解]①若∠A＝∠D＝90°，如圖1，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．②若∠A＝∠B＝90°，如圖2.設(shè)A(a，b)，則kBC＝－3，kAD＝b-2a-1，由AD∥BC?kAD＝kBC，即b-2a-1＝－3；由AB⊥BC?kAB·kBC＝－1，即b+1綜上所述，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)或1251．若過(guò)點(diǎn)P(3，2m)和點(diǎn)Q(－m，2)的直線與過(guò)點(diǎn)M(2，－1)和點(diǎn)N(－3，4)的直線平行，則m的值是()A．13B．－13C．2B[由kPQ＝kMN，即2m-23--m經(jīng)檢驗(yàn)知，m＝－132．對(duì)于兩條不重合的直線，下列說(shuō)法不正確的是()A．若兩直線斜率相等，則兩直線平行B．若l1⊥l2，則k1·k2＝－1C．若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交D．若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行B[當(dāng)k1＝k2時(shí)，l1與l2平行，A正確；B中也可能一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，不正確；C，D正確．]3．(多選)設(shè)點(diǎn)P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面結(jié)論中正確的是()A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．RP⊥QSABD[由斜率公式知：kPQ＝-4-26+4＝－35，kSR＝12-62-12＝－35，kPS＝12-22+4＝所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS與QS不平行，故A、B、D正確．]4．若不同兩點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(a，b)，(3－b，3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．－1[若a＝3－b，則P，Q兩點(diǎn)重合，不合題意．故PQ斜率存在．由kPQ＝3-得線段PQ的垂直平分