新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.5直線與圓圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系第2課時(shí)直線和圓的方程的實(shí)際應(yīng)用教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊

第2課時(shí)直線和圓的方程的實(shí)際應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1．能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題．(直觀想象)有一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬12m．當(dāng)水面下降1m后，水面寬是多少？如何才能正確地解決上述問題？知識點(diǎn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論．這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：建立不同的平面直角坐標(biāo)系，對解決問題有著直接的影響．因此，建立直角坐標(biāo)系，應(yīng)使所給圖形盡量對稱，所需的幾何元素的坐標(biāo)或方程盡量簡單．1．某涵洞的橫截面是半徑為5m的半圓，則該半圓的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．隨建立直角坐標(biāo)系的變化而變化D[沒有建立平面直角坐標(biāo)系，因此圓的方程無法確定，故選D．]2．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直線方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為________．722－2[圓心(2，－3)到直線x－y＋2＝0距離為2+3+22＝722，則從村莊外圍到小路的最短距離為類型1圓的方程的實(shí)際應(yīng)用【例1】某圓拱橋的水面跨度為20m，拱高為4m．現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系，使圓心C在y軸上．依題意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0)．設(shè)這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則有102+所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以該船可以從橋下通過．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，通過代數(shù)運(yùn)算，解決幾何問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖為一座圓拱橋的截面圖，當(dāng)水面在某位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為________m.251[如圖，以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過圓拱頂點(diǎn)的豎直直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)圓心為C，圓的方程設(shè)為x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則A(6，－2)．將A(6，－2)代入圓的方程，得r＝10，則圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當(dāng)水面下降1m后，可設(shè)點(diǎn)A′(x0，－3)(x0>0)，將A′(x0，－3)代入圓的方程，得x0＝51，所以當(dāng)水面下降1m后，水面寬為2x0＝251(m)．]類型2直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用【例2】如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì))，A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B三點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？[解](1)由題意，得A(40，40)，B(20，0)，設(shè)過O，A，B三點(diǎn)的圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則F解得D∴圓C的方程為x2＋y2－20x－60y＝0.(2)該船初始位置為點(diǎn)D，則D(－20，－203)，且該船航線所在直線l的斜率為1，故該船航行方向?yàn)橹本€l：x－y＋20－203＝0，由(1)得圓C的圓心為C(10，30)，半徑r＝1010，由于圓心C到直線l的距離d＝10-30+20-20312+1試總結(jié)應(yīng)用直線與圓的方程解決實(shí)際問題的步驟．提示：(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知；(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素；(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知；(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺預(yù)報(bào)，臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺風(fēng)的影響？[解]以臺風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東西方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)，其中取10km為單位長度，則受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域?yàn)閳Ax2＋y2＝9及其內(nèi)部，港口所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，4)，輪船的初始位置所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7，0)，則輪船航線所在直線l的方程為x7＋y4＝即4x＋7y－28＝0.圓心(0，0)到直線4x＋7y－28＝0的距離d＝2842+72＝2865因?yàn)閐>r，所以直線與圓相離，所以輪船不會(huì)受到臺風(fēng)的影響．1．一輛寬1.6m的卡車，要經(jīng)過一個(gè)半徑為3.6m的半圓形隧道，則這輛卡車的高度不得超過()A．1.4m B．3.5mC．3.6m D．2.0mB[如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，|OA|＝3.6，|AB|＝0.8，則|OB|＝3.62-0.8所以卡車的高度不得超過3.5m．]2．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是()A．π4B．3π4C．3π2D[如圖，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的14]3．已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，點(diǎn)A(－2，0)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍為________．-∞，-524∪524，+∞[由題意知，AB所在直線與圓C相切或相離時(shí)，視線不被擋住，直線AB的方程為y＝a5(x＋2)，所以d＝3aa2即a≥524或a≤－54．如圖，圓弧形橋拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，則拱橋的直徑為________米．13[如圖，設(shè)圓心為O，半徑為r，則由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，