數(shù)學七年級下學期第13講分式方程(一)

第13講分式方程(核心考點講與練)一．分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)．二．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．三．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．四．換元法解分式方程1、解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．五．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．六．由實際問題抽象出分式方程由實際問題抽象出分式方程的關鍵是分析題意找出相等關系．（1）在確定相等關系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等．（2）列分式方程解應用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路．七．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．一．分式方程的定義（共2小題）1．（2021春?羅湖區(qū)期末）有下列方程：①；②；③；④．屬于分式方程的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④2．（2018秋?惠民縣期末）觀察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，請利用他們所蘊含的規(guī)律，寫出這一組方程中的第n個方程是．二．分式方程的解（共2小題）3．（2021秋?如皋市期末）已知關于x的方程的解是正數(shù)，那么m的取值范圍為（）A．m＞﹣6且m≠3 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣3 D．m＜6且m≠﹣24．（2021秋?啟東市期末）若關于x的方程﹣＝0無解，則m的值是．三．解分式方程（共5小題）5．（2021秋?通州區(qū)期末）把分式方程﹣＝1化為整式方程正確的是（）A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣26．（2021秋?高郵市期末）解分式方程：（1）；（2）．7．（2021春?溧陽市期末）解下列分式方程：（1）+＝1；（2）﹣1＝．8．（2021秋?虎林市校級期末）已知關于x的方程．（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若該方程無解，試求m的值．9．（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）閱讀材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊實數(shù)可以使它成立，例如：x＝2，y＝2時，＝1成立，我們稱（2，2）是使＝1成立的“神奇數(shù)對”．請完成下列問題：（1）數(shù)對（，4），（1，1）中，使＝1成立的“神奇數(shù)對”是（，4）；（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇數(shù)對”，求t的值；（3）若（m，n）是使＝1成立的“神奇數(shù)對”，且a＝b+m，b＝c+n，求代數(shù)式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．四．換元法解分式方程（共4小題）10．（2021春?奉化區(qū)校級期末）用換元法解分式方程+1＝0時，如果設＝y(tǒng)，那么原方程可以變形為整式方程（）A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝011．（2020?浙江自主招生）方程的實數(shù)根是12．（2021春?玄武區(qū)校級期中）換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元．所謂換元法，就是解題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使得復雜問題簡單化．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構(gòu)造元和設元．例如解方程組，設m＝，n＝，則原方程組可化為，解之得，即所以原方程組的解為．運用以上知識解決下列問題：（1）求值：＝．（2）方程組的解為．（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝（x+2）4．（4）解方程組．（5）已知關于x、y的方程組的解是，求關于x、y的方程組的解．五．分式方程的增根（共2小題）13．（2021秋?萊蕪區(qū)期末）關于x的分式方程+5＝有增根，則m的值為（）A．5 B．4 C．3 D．114．（2021秋?新邵縣期末）若關于x的方程有增根，則m等于．六．由實際問題抽象出分式方程（共3小題）15．（2021秋?黃石期末）小明和小強為端午節(jié)做粽子，小強比小明每小時少做2個，已知小明做100個粽子的時間與小強做90個所用的時間相等，小明、小強每小時各做粽子多少個？假設小明每小時做x個，則可列方程得（）A． B． C． D．七．分式方程的應用（共4小題）16．（2021秋?通州區(qū)期末）某校八年級學生去距學校15km的課外實踐基地活動，一部分學生騎自行車先走，過了45min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學生速度的4倍，求騎車學生的速度．17．（2021秋?泰興市期末）甲、乙兩公司為“見義勇為基金會”各捐款30000元．乙公司比甲公司人均多捐20元．給出如下兩個信息：①甲公司的人數(shù)比乙公司的人數(shù)多20%；②甲、乙兩公司的人數(shù)之比為6：5；請從以上兩個信息中選擇一個作為條件，求甲、乙兩公司的人數(shù)各有多少人？你選擇的條件是（填序號），并根據(jù)你選擇的條件給出求解過程．18．（2021秋?高郵市期末）為了給抗疫工作提供保障，某工廠每天生產(chǎn)防護服的效率比原先提高了20%，現(xiàn)在生產(chǎn)2400套防護服所用的時間比原先生產(chǎn)2200套防護服所用的時間少1天．問原先每天生產(chǎn)多少套防護服？19．（2021秋?蘇州期末）第十一屆江蘇書展在蘇州國際博覽中心設有400個展臺，并在全省多地線上、線下同步舉行．本屆書展設置了“讀經(jīng)典、學四史、童心向黨和百年輝煌”等活動．為保障書展的準備工作比原計劃提前2天完成，每天準備展臺的個數(shù)需比原計劃增加25%．（1）求原計劃每天準備展臺的個數(shù)，（2）為滿足讀者購書需求，某廠裝訂A，B兩種圖書共6000本，其中A種圖書數(shù)量不多于B種圖書數(shù)量的，裝訂一本A種圖書成本為10元，裝訂一本B種圖書成本為15元．設裝訂A種圖書x（本），問x為何值時，兩種圖書裝訂總成本y（元）最低，最低裝訂總成本為多少元？分層提分分層提分題組A基礎過關練一．選擇題（共6小題）1．（2021春?羅湖區(qū)期末）有下列方程：①；②；③；④．屬于分式方程的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④2．（2021春?鎮(zhèn)江期末）2020年初，受疫情影響，醫(yī)用防護服生產(chǎn)車間有7人不能到廠生產(chǎn)．為了應對疫情，已復產(chǎn)的工人加班生產(chǎn)，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變．原來生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)防護服800套，現(xiàn)在每天生產(chǎn)防護服650套．求原來生產(chǎn)車間的工人有多少人？在這個問題中，設原來生產(chǎn)車間的工人有x人．則根據(jù)題意可得方程為（）A． B． C． D．3．（2021春?鹽城期末）5G網(wǎng)絡引領時代發(fā)展．5G網(wǎng)絡峰值速率為4G網(wǎng)絡峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸100兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡比4G網(wǎng)絡快9秒，求這兩種網(wǎng)絡的峰值速率．設4G網(wǎng)絡的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，根據(jù)題意，可列方程為（）A． B． C． D．4．（2021春?建鄴區(qū)校級期末）若關于x的分式方程＝+1有增根，則這個增根是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣15．（2021春?偃師市期末）若關于x的分式方程的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠36．（2021春?修水縣期末）關于x的分式方程+＝4的解為正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＞﹣4 B．m＜4 C．m＜4且m≠1 D．m＜4且m≠2二．填空題（共4小題）7．（2021?淮安）方程＝1的解是．8．（2009?濱州）解方程時，若設，則方程可化為．9．（2021春?江都區(qū)月考）若關于x的分式方程＝+1的解為非負數(shù)，則a的取值范圍．三．解答題（共5小題）10．（2021秋?贊皇縣期末）2021年4月8日世界園藝博覽會在揚州拉開了帷幕，世園會以“綠色城市，健康生活”為主題，吸引了大批游客游覽，世園會成人一日票分為平日票和指定日票，其中平日票比指定日票便宜30元/張．某一售票點在5月份售出平日票4萬元，指定日票2.6萬元，且售出的平日票數(shù)量是指定日票的2倍，這一售票點售出的平日票和指定日票各多少張？11．（2021秋?如皋市期末）為慶祝建黨100周年，學校組織初二學生乘車前往距學校132千米的某革命根據(jù)地參觀學習．二班因事耽擱，比一班晚半小時出發(fā)，為了趕上一班，平均車速是一班平均車速的1.2倍，結(jié)果和一班同時到達．求一班的平均車速是多少千米/時？12．（2021春?溧陽市期末）解下列分式方程：（1）+＝1；（2）﹣1＝．13．（2001?蘇州）用換元法解方程題組B能力提升練一．填空題（共4小題）1．（2021春?沭陽縣期末）關于x的方程＝2的解是非負數(shù)，則a的取值范圍是．2．（2021春?南京期末）若關于x的分式方程＝有增根，則實數(shù)m的值是．3．（2021春?無錫月考）為參加無錫2021馬拉松比賽，小林與小雨兩名同學，在學校運動場400米環(huán)形跑道上進行訓練，兩人各自以恒定的速度沿逆時針方向跑步，小雨每秒鐘比小林少跑3米，小林每圈花費的時間比小雨少30秒，則小林跑步的速度為每秒米．二．解答題（共9小題）4．（2019秋?海安市期末）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n階分式”．例如，分式與互為“3階分式”．（1）分式與互為“5階分式”；（2）設正數(shù)x，y互為倒數(shù)，求證：分式與互為“2階分式”；（3）若分式與互為“1階分式”（其中a，b為正數(shù)），求ab的值．5．（2018秋?邗江區(qū)校級月考）（換元法）解方程：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8＝0解：設x2﹣3x＝y(tǒng)則原方程可化為y2﹣2y﹣8＝0解得：y1＝﹣2，y2＝4當y＝﹣2時，x2﹣3x＝﹣2，解得x1＝2，x2＝1當y＝4時，x2﹣3x＝4，解得x1＝4，x2＝﹣1∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝4，x4＝﹣1，根據(jù)以上材料，請解方程：（1）（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4＝0．（2）x2﹣3x+5+＝06．（2021秋?河東區(qū)期末）某藥店用4000元購進若干包一次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購進第二批這種口罩，所進的包數(shù)比第一批多50%，每包口罩的進價比第一批每包口罩的進價多0.5元，則該藥店購進的第一批醫(yī)用口罩有多少包？7．（2021春?秦都區(qū)期末）某單位為美化環(huán)境，計劃對面積為1200平方米的區(qū)域進行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊來完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨立完成面積為360平方米區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用3天．（1）甲、乙兩工程隊每天能綠化的面積分別是多少平方