2021年高考理科數(shù)學重難點04 解析幾何（解析版）

重難點04解析幾何

【命題趨勢】

解析幾何一向是高考數(shù)學中的計算量代名詞，在高考中所占的比例一向是

2+1+1模式.即兩道挑選，一道填空，一道解答題.高考中挑選部分，一道圓錐曲線相關

的簡單概念以及簡單性質(zhì)，另外一道是圓錐曲線的性質(zhì)會與直線、圓等聯(lián)合考查一

道綜合問題，一樣難度諛中等.填空問題也是綜合問題，難度中等.大題部分一樣是以

橢圓拋物線性質(zhì)為主，加之直線與圓的相關性子相聯(lián)合，常見題型為定值、定點、

對應變量的取值范疇問題、面積問題等.雙曲線一樣不出此刻解答題中，一樣出此刻

小題中.即溫習解答題時也應是以橢圓、拋物線為主.本專題主要通過對高考中解析幾何

的常識點的統(tǒng)計，整理了高考中常見的解析幾何的題型進行具體的解析與總結,

通過本專題的學習，能夠掌握高考中解析幾何出題的脈略，從而能夠對于高考中這一

重難點有一個對照具體的認知，對于解析幾何的問題的做法能夠有必然的懂得與應

用.

【滿分本領】

定值問題：采納逆推方式，先計算出成果.即一樣會求直線過定點，大概是其他曲線過

定點.對于此類問題一樣采納特殊點求出兩組直線，大概是曲線然后求出兩組直線大概是

曲線的交點即是所要求的的定點.算出成果以后，再去寫出一樣情況下的步驟.

定值問題：一樣也是采納操縱成果寫過程的形式.先求成果一樣會也是采納滿足前提的

特殊點進行帶入求值（最好是原點或是（1.0）此類的點）.所得答案即是要求的定

值.然后再操縱答案，寫出一樣情況下的過程即可.注：過程中對照復雜的解答過程可以不

求，因為已經(jīng)知道答案，宜接往答案上湊即可.

關于取值范疇問題：一樣也是采納操縱成果寫過程的形式.對于答案的求解，一樣操縱

界限點進行求解，答案即是在界限點范疇內(nèi).知道答案以后再寫出一樣情況下的步驟對

照好寫.一樣情況下的步驟對于復雜的計算可以不算.

【考查題型】挑選，填空，解答題

【限時檢測】(建議用時：35分鐘)

一、單選題

一、單選題

1.(2021?全國高三專題練習(理))直線x+y+2=0分別與X軸,y軸交于AB兩點,

點尸在I3(X-2)2+/=2上，則△ABP面積的取值范疇是()

A.[2,6]B.[4,8]

C.[V2,3A/2JD.[2痣,30]

【答案解析】A

【考點解析】圓心(2,0)到直線的間隔下二3+丫^二？夜,

所以點尸到直線的間隔4G[72,372].

根據(jù)直線的方程可知A6兩點的坐標分別為A(—2,0),仇0,—2),

所以k2夜,

所以"BP的面積S=g|A8|4="/|,

所以SG[2,6],

故選：A.

22

2.（2021?河北邯鄲市?高三期末）設百，工分別為雙曲線C:[-4=l（a>0力>0）的左、

ab~

右焦點，過點尸2的直線交雙曲線的右支于A,8兩點，若|你|=3忸鳥|,且

4

COSZF}AF2則雙曲線的離心率為（）

A.gB.巫C.V2D.在

22

【答案解析】B

【考點解析】

設忸圖=加，則IAg|=3m,|AFX|=2a+3/n,|8片I=2。+根，

8

由余弦定理得（2。+〃?）2=（4m）2+（la+3/n）2--x4m（2a4-3/n）,

解得=5九|AB\=4m,\BF}\=3mt

為直角三角形,

AA362c-\F}F2\-yf\Om,c-m,e---,

故選：B.

3.（2021?天津河北區(qū)?高三期末）已知雙曲線C:a>0,Z?>0）的一

a2~b2~

條漸近線過點（3,4）,且雙曲線的一個焦點與拋物線V=2（）x的焦點重合，則雙曲線

的方程為（）

r2v2

BC.---匕=1

916-哥=143

【答案解析】B

【考點解析】因為雙曲線C的漸近線^=±巳彳過點（3,4）,

322

所以雙曲線C的漸近線為y二？一%,設雙曲線的方程為工-匕=1,

416/9/

又因為雙曲線的一個焦點與拋物線V=20%的焦點（5,0）重合，

22

所以c=5=J16r+%,解得f=l,所以雙曲線的方程為^-^-=1.

故選：B

4.（2021?四川涼山彝族自治州?高三一模（理））拋物線C:y=o?在點（I,。）處的切

線方程為2》一丁-1=0,則C的焦點坐標為（）

A.（0,切B.（0,；）C,加D.G，0,

【答案解析】B

【考點解析】：y'=2分，所以>=32在點（l,a）處的切線斜率為2a,

切線2x-y-1=0的斜率為2,所以2a=2,a=l,拋物線方程為y=f,

C的焦點坐標為（0，!〕，

I4J

故選：B

5.（2021.全國高三專題練習（理））若4b,c是AA6c三個內(nèi)角的對邊，且

csinC=3asinA+3bsinB,則直線/：6一切+c=0被圓。：/+y2=i2所截得

的弦長為（）

A.476B.276

C.6D.5

【答案解析】C

［考點解析］由已知csinC=3asinA+3^sinB,

操縱正弦定理得：c2=3（a2+b2）

圓0:尤2+y2=]2的圓心為o（o,o）,半徑為r=26,

圓心。到直線/的間隔dIdc

\ja2+h2y]a2+b2

所以直線/被圓。所截得的弦長為2,產(chǎn)=212一一二丁=2j匹與=6,

VQ+Z?

故選：C.

6.（2021?天津濱海新區(qū)?高三月考）已知拋物線。|：丁=2*（〃＞0）的焦點為尸，準

22

線與X軸的交點為E,線段EF被雙曲線。2：亍-卓=1（。＞0力＞0）極點三等分，且兩

曲線C，C2的交點連線過曲線G的焦點F，則雙曲線G的離心率為（）

A5R3近日722

A?V2D.-----C?Ln）.------

232

【答案解析】D

【考點解析】拋物線V=2px的焦點為尸（5,0）,準線方程為x=—^,￡（-^,0）,

\EF\=p,

22fi

因為線段Ef被雙曲線C,:[-當?=1（。＞0/＞0）極點三等分，所以2。=已，即

a'b-3

p=6ay

因為兩曲線G，。2的交點連線過曲線G的焦點尸，所以兩個交點為（5,p）、

（與-p）,

2222

將（4,。）代入雙曲線「一當=1得W=i,

2a2b24/h2

所以迎「一嗎1=1,所以9一*=1,所以：=2,

4a之b2b2a22

故選：D

7.（2021?四川涼山彝族自治州?高三一模（理））設橢圓C:「+乙=1（。＞2）的左、

a24

右焦點分別為耳，F(xiàn)2,直線/：y=x+r交橢圓。于點A,B,若的周長

的最大值為12,貝ijc的離心率為（）

A.@B.好C.述D.3

3339

【答案解析】B

【考點解析】△片的周長等于++=A8+2a-A6+2?！?巴

=4a+AB-(AG+BF2),

因為AF2+BF2>AB當且僅當A,B,F2三點共線時等號成立，

所以4a+AB—(+BF])W4a+AB-AB=4a,

即的周長的最大為4a,所以4a=12,解得：a=3,

山橢圓的方程可得：Z/=4,所以°=,萬一廿=百二4=石,

所以。的離心率為e=-=—,

a3

故選：B

8.(2021.全國高三專題練習(理))設拋物線y2=2px(/?>0)的焦點為F,準線

為I,過焦點的直線分別交拋物線于A,B兩點，分別過A,B作/的垂線，垂足為C,D.

若|AF|=3怛同，且三角形COE的面積為6則。的值為()

A2有口省「遙n276

3323

【答案解析】C

【考點解析】過點B作〃/交直線AC于點M,交X軸于點N,

設點A（玉,y）、B（x2,y2）,

由叫得

|AF|=3|x,+^=3x2+^

即Xi-3巧=P.......①,

又因為NF//AM.

所以|冊|=；(%-/)，

所以|。目=|。/7|+加/|=々+；(%一々)=5……②，

由①②可解得X=—,x,=—

2-6

在Rt^ABM'P,|AB|=XI+x2+p=-p,

\AM\=xx-x2^p,

4百

所以忸M=----p

3

所以SACOF=｝華~P，P=6

解得p=旦或p=_旦（舍去）

22

故選：C

二、填空題

9.（2021?江蘇泰州市?高三期末）在平面直角坐標系X。），中,已知雙曲線「：/一上_=1

7

的兩個焦點分別為F2,覺得尸2圓心，片居長為半徑的圓與雙曲線「的一

\OM\

則局的值為

條漸近線交于M,N兩點,若|0照引0必

3

【答案解析】一

2

【考點解析】

求出雙曲線的兩個焦點坐標和漸近線方程，再求圓的方程與漸近線方程聯(lián)立可得M,

\OM\

N兩點的橫坐標，由上T即為橫坐標的絕對值的比可得答案.

ON

【詳解】

由已知得/=1/=7,=8,2c=4&,6(-2?0),g(2丘0),

取雙曲線的一條漸近線y=J7x,所以圓的方程為（X-2A/2）2+/=32,

y=^x

整理得2x2-A/2%-6=0,解得x=—^—,x=-V2,

1-2及丁+產(chǎn)=32MN

3五

幽*二=3

|ON|XN412

)=一缶

取雙曲線的另一條漸近線y=-J7x,整理得

(X—2何+y2=32

L\OM\3

2九2一及無一6=0與上同，綜上網(wǎng)=].

3

故答案為：

2

10.（2021?河南高三其他模擬（理））已知產(chǎn)是橢圓CW+^=l（Q>b>0）的左

焦點，4B是桶圓C過尸的弦，4B的垂直平分線交x軸于點P.若肝=2而，且P為

OF的中點，則橢圓C的離心率為.

【答案解析】苧

【試題解答】

【考點解析】

如圖，設橢圓的右焦點為G,毗鄰4G,8G,過點。作OD〃PH,交48于D,則點“為

DF中點.

設出尸|=2m,：.\AF\=4m,\AH\=3m,\AD\=2m,\DH\=\HF\=m.

所以點。是4F中點，

因為\0F\=|0G|,

所以4G〃0D".NB4G=今

由橢圓的定義得\AG\=2a-4m,\BG\=2a-2m.

在直角△HFG中，(4m)2+(2a—4m)2=4c2,

22

所以2m2—?m=￡———(1)

44

在直角△48G中，(6m)2+(2a—6m)2=(2a—2m)2

所以m=-a.

6

把m=代入(1)得5a2=9。2,.?./=e=亨.

故答案為：y.

22

H.(2021?浙江高三期中)若橢圓「+4=1(。>。>0)與雙曲線

ab

22

YV,

—~^=l(at>0,4>0)有一樣的焦點耳，工，點P是兩條曲線的一個交點,

4彳

7T

橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則

^FXPF2=~,402*2=2,

e；+e；=__________

【答案解析】8

【考點解析】不妨設P在第一象限，

再設尸Q=s,尸產(chǎn)2=，，由橢圓的定義可得s+t=2af

由雙曲線的定義可得s-t=2ah

解得s=a+a\yt—a-a\y

,71

由NBPB=一,

2

在三角形尸,巳中，操縱勾股定理可得

4c2=s2+f2=（Q+q）2+（〃-qy=2Q2+2q2.

〃22

，4=7T+TT，

e\e?

化簡-7H----2=~^~~2—>=2，又由6|02=2,

eje2eie2

所以q2+622=2^242=8.

故答案為：8.

22

12.（2021?北京海淀區(qū)?人大附中高三期中）橢圓C:「+4=1（。〉人>0）的左、右

ab-

焦點分別為E”尸2，點P在橢圓上且同時滿足：

①是等腰三角形；

②AKKP是鈍角三角形；

③線段耳鳥為△耳居尸的腰：

④橢圓。上恰好有4個差別的點P.

則橢圓C的離心率的取值范疇是.

【答案解析】

【考點解析】如圖，根據(jù)橢圓的對稱性知，點P及關于x軸，y軸，原點對稱的其它

3點，即為橢圓C滿足前提的4個差別的點.

根據(jù)題意可知是以片居，耳尸為兩腰的等腰三角形，故￡P=々E=2c,

即點P在覺得片圓心，片名為半徑的圓上，

由題知覺得耳圓心，2c為半徑的圓與橢圓有兩個交點，即可存在兩個滿足前提的等

腰AfJgP,

此時必有-P>A6，即2c>a—c,即a<3c,所以離心率e>；；

又為鈍角，則cos/P￡B<0,操縱余弦定理知|6P|2+IEE|2<|gP『，

即(2c)2+(2c)2<(2tz-2c)2,

2

整理得°2+2這一/<0,兩邊同除以/得，e+2e-l<0,解得：

0<e<y/2-l

綜上，可知橢圓C的離心率的取值范疇是(<e<近一1

故答案為：

三、解答題

13.（2021.四川成都市.高三一模（理））已知橢圓C:0+2r=1（。＞人＞0）的離心率

為—,且直線2+2=1與圓f+y2=2相切.

2ab

（1）求橢圓。的方程；

（2）設直線/與橢圓C訂交于差別的兩點A,B,M為線段A3的中點，。為

坐標原點，射線OM與橢圓。訂交于點P,且。點在覺得A3直徑的圓上?記

S.

^AOM,ZXBOP的面積分別為52,求的取值范疇.

【答案解析】（1）—+^-=1;（2）g,手.

6333

【考點解析】：（1）???橢圓的離心率為—,（。為半焦距）.

2a2

?.?直線±+2=1與圓/+y2=2相切,

ab

又c2+b2=a26f2=6.b2=3-

22

...橢圓C的方程為三+匕=1.

63

,3_S/AOM_

（2）：M為線段AB的中點,

S]S&BOP

（i）當直線/的斜率不存在時,

由。及橢圓的對稱性，不妨設。4所在直線的方程為丁=得€=2.

則右=2,4=6,捺溜邛

（ii）當直線/的斜率存在時，設直線/:y=丘+，九（/?1X0）,

A（X，X）,3（8%）.

y=kx+m

由?%2/消去得（2^+1）d+4knr+2n?-6=0.

—+—

163

.\A=l6k2m2-8（2k2+l）（利2—3）=8（6左2—加2+3）＞（）即6女2一w2+3>0.

4km2m2-6

i+Z=-訴，中2=不萬

???點。在覺得A3直徑的圓上，???西?礪=0，即玉工2+),1%=。?

22

/.x}x2+x%=（1+攵）玉工2+初2（%+x2）+m=0.

/.2\2"廠—6.（4km

J（1+Z.）----Fkjv\—+7772=0.

2左2十1

化簡，得”=2r+2.經(jīng)檢驗滿足△>()成立.

???線段刖的中.點一味(E2kFmTmT

,uI〃z|V6

當左=0時,m~=2?此時—==—

52V33

當上。0時，射線OM所在的直線方程為y=--x.

2k

1

y----x

,2k、*…汨212k223

由《22，消去九得Xp=-z—,yP-―i—-

Vy2P2k2+i2公+1

63

14.（2021.上海浦東新區(qū).高三一模）已知橢圓G：5+y2=l,耳、尸2為G的左、

右焦點.

（1）求橢圓G的焦距；

（2）點2（夜，*）為橢圓G一點，與。。平行的直線/與橢圓G交于兩點A、B,

若△Q4B面積為1,求直線/的方程；

（3）已知橢圓G與雙曲線G：x2-丁=1在第一象限的交點為加（為，加），橢圓

G和雙曲線G上滿足18以與|的所有點a,y）組成曲線c.若點N是曲線。上一動

點，求麗?通'的取值范疇.

【答案解析】（1）2/；（2）y=Jx±l；（3）-^+00

【考點解析】⑴由橢圓C的方程知：C7af=3,即焦距為2c=26.

（2）設/:y=gx+〃?，代入/+4/=4得d+2爾+2機2-2=0,

2

由△=4加2—8（s2—1）=8—4加2>0得|m|<V2,x,+%,=-2m,xtx2-2m-2,

所以AB=Jl+公.|玉_々|=孚x2yl2-m2=J10—5根?,

〃=回1._____

所以。到直線/的間隔后，由SoA8=±dTABH，〃|J2-加2=1,得加=±1

—Z

2

所以/:y=；x士1

,_2>/io

X2+4/=4x“=^-

(3)由｛，:解得上,設N(x,y)是曲線C上一點，又

x--y=\V15

)"=~5~

^(-73,0),6(6,0),麗=(-6-x,-y),麗=(G-

當N在曲線V+4y2=4（|x以如|）上時，NR?麗=l-3y2,

當尸平時，（麗.麗匕=—：當尸0時，（西?甌）皿*=1，

所以NF-NF?G

2

當N在曲線/一y2=](|x閆如I)上時，NF}-NF\=2y-2；

當y=時，(NF[?NF?)=--,NF「NE1G--^,+oo|；

"5''min5\_5J

4

綜上，NFt-NF2e—,+oo

15.（2021?湖南株洲市?高三一模）在平面直角坐標系中，己知圓心為點Q的動圓恒過

點尸（1,。），且與直線x=T相切，設動圓的圓心Q的軌跡為曲線

（I）求曲線「的方程;

（II）過點尸的兩條直線4、4與曲線「訂交于A、B、C、。四點，且M、N分別

為AB、。。的中點.設4與4的斜率依次為占、Q若勺+融=-1,求證：直線

MN恒過定點.

【答案解析】（I）V=4x；（II）證明見解析.

【考點解析】（1）由題意，設Q（x,y）,

因為圓心為點。的動圓恒過點/（1,0）,且與直線x=-l相切，

可得|x+l|=J(xT)2+y2,化簡得y2=4%.

(II)設4,〈的方程分別為(=￡(xT),y=e(x-l).

聯(lián)立方程組；"[「I)，整理得婷/_(2好+4卜+短=0,

2Z：+4tk；+22](V+22、

所以％+%2=.,2，則”’7L，丁■同理％

k；(KkJ<k2k2)

,kx

所以kMN=蠟+2狀+2=E'

k：k；

由匕+左2=-1,可得右的=4(1+匕)，

7(1+2、

所以直線MN的方程為y一廠=勺。+勺)x—一七一

整理得y+2=Z4l+K)(x—1),所以直線MN恒過定點(1,一2).

16.(2021?浙江臺州市?臺州一中高三期中)如圖，已知點尸(4,4)在拋物線

M：V=2px(p>0)上，過點尸作三條直線PA,PB,PC,與拋物線M分別交于點

A,B,C,