銳角三角函數(shù)與解三角形

銳角三角函數(shù)與解直角三角形及應(yīng)用第25講結(jié)合近年中考試題分析，銳角三角函數(shù)的內(nèi)容考查主要有以下特點(diǎn):1.命題方式為銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)的應(yīng)用、特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題.題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn).

2.命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識(shí)解決問題.

1.掌握銳角三角函數(shù)的概念，會(huì)熟練運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.2.了解實(shí)際問題中的仰角、俯角、方位角、坡度的概念，會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型.3.會(huì)通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，使之轉(zhuǎn)化為解直角三角形的計(jì)算問題.4.本講知識(shí)常和三角形、四邊形、相似形、圓、坐標(biāo)系、一元二次方程結(jié)合命題，在解題時(shí)為了減少失誤，求解各未知元素時(shí)，應(yīng)盡量代入已知條件中的數(shù)值，少用中間過程中計(jì)算出的數(shù)值.考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)3．同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

sin2α＋cos2α＝

；

tanα＝

.

互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式：(α為銳角)sin＝

；

cos

＝

.

函數(shù)的增減性：(0°<α<90°)(1)sinα，tanα的值都隨α

；

(2)cosα都隨α

．1cosαsinα增大而增大增大而減小正確理解三角函數(shù)的概念2.由定義可以看出，銳角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的兩邊的比，因此都是正數(shù)；

3.因?yàn)殇J角A的取值范圍是0<∠A<90°，則三角函數(shù)的取值范圍是0<sinA<1,0<cos

A<1，tanA>0；當(dāng)∠A確定時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]5.書寫三角函數(shù)時(shí)，若銳角用一個(gè)大寫字母或者一個(gè)小寫希臘字母表示的，表示它的正弦時(shí)，習(xí)慣省略角的符號(hào)，如sinA；若銳角是用三個(gè)大寫字母或數(shù)字表示的，表示它的正弦時(shí)，不能省略角的符號(hào)，如sin∠ABC，余弦和正切的寫法同理．利用直角三角形或構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問題,一般先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，若題中無直角三角形，需要添加輔助線(如作三角形的高等)構(gòu)造直角三角形，再利用解直角三角形的知識(shí)求解.1.(2010·常德中考)在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，則sinA的值是()(A)(B)2(C)(D)2.(2010·黃岡中考)在△ABC中，∠C＝90°，，則tanB＝()(A)(B)(C)(D)C

CC

C

B3．(2011·茂名)如圖，已知45°<∠A<90°，則下列各式成立的是(

)A．sinA＝cos

AB．sinA>cos

AC．sinA>tanAD．sinA<cos

A

BAA5．(2011·蘇州)如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，則tanC等于(

)A.B.C.D.

B3.(2011·福州中考)Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，那么c等于()(A)(B)(C)(D)BA．tanA·cotA＝1B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinAD．tan2A＋cot2A＝1【例2】(2010·涼山中考)計(jì)算：【思路點(diǎn)撥】【自主解答】原式==-2.(2)2sin60°＝________；解析：2sin60°＝2×＝.(3)＝________.

解析：＝|tan30°－1|

＝1－tan30°＝1－.1－DDB1.(2010·日照中考)如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一點(diǎn)，若，則AD的長為()(A)2(B)(C)(D)1A7．(2011·莆田)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處．若AB＝4，BC＝5，則tan∠AFE的值為(

)正解過C作CE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E.

設(shè)AD＝m，則DC＝2m，BD＝3m，∴AC＝m，AB＝m.∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CEB＝90°，∴△BEC∽△BDA.∴m.∴CE＝m.

在Rt△AEC中，sin∠EAC＝＝＝，∴∠EAC＝45°，∴∠BAC＝135°.試題如圖，AD是BC邊上的高，AD∶DC∶BD＝1∶2∶3，求∠BAC的度數(shù)．如圖，延長BA，過C畫CE⊥AB，只要求∠BAC的外角即可．批閱筆記

如果題目中的條件比較分散，所給的圖形不夠完整，我們可以通過作垂線，作平行線等添輔助線的方法，將斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型(化斜為直的思想)，把分散的條件集中起來，構(gòu)造直角三角形、相似三角形，以達(dá)到解題目的．失誤與防范

1．在直角三角形中，求銳角三角函數(shù)值的問題，一般轉(zhuǎn)化為求兩條邊的問題，這樣就把新知識(shí)(求銳角三角函數(shù)值)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)(求直角三角形的邊長)，因此不可避免地用到勾股定理．若原題沒有圖形，可以畫出示意圖，直觀地觀察各邊的位置及類型(直角邊還是斜邊)，再運(yùn)用定義求解；也可以直接通過字母來判斷邊的位置和類型，即∠A的對(duì)邊為BC，∠B的對(duì)邊為AC，∠C的對(duì)邊為AB.2．在解斜三角形時(shí)，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，常見的方法是作高，通過作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問題．注意在畫圖過程中考慮一定要周到，不可遺漏某一種情況．考點(diǎn)三直角三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用日常生活中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，因此，直角三角形的邊角關(guān)系在解決實(shí)際問題中有較大的作用，在應(yīng)用時(shí)要注意以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：(1)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；(2)根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實(shí)際問題的答案．4．(2011·濰坊)身高相等的四名同學(xué)甲、乙、丙、丁參加風(fēng)箏比賽，四人放出風(fēng)箏的線長、線與地面的夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，則四名同學(xué)所放的風(fēng)箏中最高的是(

)A.甲

B．乙C．丙

D．丁同學(xué)甲乙丙丁放出風(fēng)箏線長140m100m95m90m線與地面夾角30°45°45°60°DBDB10.(2011·金華中考)生活經(jīng)驗(yàn)表明，靠墻擺放的梯子，當(dāng)50°≤α≤70°時(shí)(α為梯子與地面所成的角)，能夠使人安全攀爬.現(xiàn)在有一長為6米的梯子AB，試求能夠使人安全攀爬時(shí)，梯子的頂端能達(dá)到的最大高度AC.(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字，sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)【解析】當(dāng)α=70°時(shí)，梯子頂端達(dá)到最大高度，∵∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米).【例2】已知：如圖，在某建筑物AC上，掛著“多彩云南”的宣傳條幅BC，小明站在點(diǎn)F處，看條幅頂端B，測得仰角為30°，再往條幅方向前行20m到達(dá)點(diǎn)E處，看到條幅頂端B，測得仰角為60°，求宣傳條幅BC的長．(小明的身高不計(jì)，結(jié)果用含有根號(hào)的式子表示)解：設(shè)BC＝x，在Rt△BCF中，tanF＝，∴CF＝＝x.

在Rt△BCE中，tan∠BEC＝，∴EC＝＝x.∵FE＝FC－EC，∴x－x＝20.∴x＝20，x＝10.

答：宣傳條幅BC的長是10m.題型三解直角三角形的簡單應(yīng)用【例3】(2012·赤峰)關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：

sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ

①

cos(α＋β)＝sinα·cosβ－sinα·sinβ

②

tan(α＋β)＝(1－tanα·tanβ≠0)③

利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如tan105°＝tan(45°＋60°)

＝＝＝＝＝－(2＋)．根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問題：如圖，直升飛機(jī)在一建筑物CD上方A點(diǎn)處測得建筑物頂端D點(diǎn)的俯角α為60°，底端C點(diǎn)的俯角β為75°，此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高．解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∠ADE＝∠a＝60°，

AE＝ED·tan60°＝BC·tan60°＝42.

在Rt△ACB中，∠ACB＝∠β＝75°，∴AB＝BC·tan75°，∵tan75°＝tan(45°＋30°)

＝＝＝2＋，∴AB＝42×(2＋)＝84＋42，

CD＝BE＝AB－AE＝84＋42－42＝84.

答：建筑物CD的高為84m.7.(2010·晉江中考)已知：如圖，有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊長BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等，把該套三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中，且AB=3.(1)若雙曲線的一個(gè)分支恰好經(jīng)過點(diǎn)A，求雙曲線的解析式；(2)若把含30°的直角三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，斜邊OA恰好與x軸重疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，試求圖中陰影部分的面積【解析】(1)在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為設(shè)雙曲線的解析式為(k≠0),將A代入得，所以雙曲線的解析式為(2)在Rt△OBA中，∠AOB=30°,AB=3，

.由題意得：∠AOC=60°，.在Rt△ODC中，∠DOC=45°，∴∴3.(2010·濟(jì)寧中考)在一次夏令營活動(dòng)中，小霞同學(xué)從營地A點(diǎn)出發(fā)，要到距離A點(diǎn)1000m的C地去，先沿北偏東70°方向到達(dá)B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到達(dá)目的地C,此時(shí)小霞在營地A的()(A)北偏東20°方向上(B)北偏東30°方向上(C)北偏東40°方向上(D)北偏西30°方向上C題型四解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用【例4】(2012·杭州)如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P，并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米/時(shí)，受影響區(qū)域的半徑為200千米，B市位于點(diǎn)P的北偏東75°方向上，距離P點(diǎn)320千米處．

(1)說明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市；

(2)求這次臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間．【思路點(diǎn)撥】

>>解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：(1)作BH⊥PQ于點(diǎn)H，在Rt△BHP中，由條件知，

PB＝320，∠BPQ＝75°－45°＝30°，得BH＝320×sin30°＝160<200，∴本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市．[4分](2)如圖，若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P1時(shí)，臺(tái)風(fēng)開始影響B(tài)市，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P2時(shí)，臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束．由(1)得BH＝160，由條件得BP1＝BP2＝200，∴P1P