15.3第1課時(shí)分式方程及其解法課件人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

15.3分式方程第1課時(shí)分式方程及其解法第十五章分式此方程的分母中含有未知數(shù)v，像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.新課講解1

分式方程的概念

觀察前面所列方程：

下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？方法總結(jié):判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(shù)(注意：π不是未知數(shù))．整式方程整式方程整式方程分式方程分式方程分式方程新課講解你能試著解這個(gè)分式方程嗎？（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘什么樣的式子才能把每一個(gè)分母都約去？（4）這樣做的依據(jù)是什么？解分式方程最關(guān)鍵的是去分母.（1）如何把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？2分式方程的解法新課講解新課講解方程各分母的最簡(jiǎn)公分母是：（30+x）(30-x)解：方程兩邊同乘（30+x)(30-x)，得檢驗(yàn)：將x=6代入原分式方程中，左邊==右邊，因此x=6是原分式方程的解.90（30-x)=60(30+x)，解得x=6.x=6是原分式方程的解嗎？方法歸納★解分式方程的基本思路：是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母.這也是解分式方程的一般方法.新課講解下面我們?cè)儆懻撘粋€(gè)分式方程：解：方程兩邊同乘(x+5)(x-5)，得x+5=10，解得x=5.x=5是原分式方程的解嗎？

檢驗(yàn)：將x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都為0，相應(yīng)的分式無(wú)意義.因此x=5雖是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，實(shí)際上，這個(gè)分式方程無(wú)解.新課講解想一想：上面兩個(gè)分式方程中，為什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？新課講解真相揭秘：分式兩邊同乘了不為0的式子,所得整式方程的解與分式方程的解相同.

我們?cè)賮?lái)觀察去分母的過(guò)程:90(30-x)=60(30+x)兩邊同乘(30+x)(30-x)當(dāng)x=6時(shí),(30+x)(30-x)≠0新課講解真相揭秘：分式兩邊同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母為0,這個(gè)整式方程的解就不是原分式方程的解.x+5=10兩邊同乘(x+5)(x-5)當(dāng)x=5時(shí),(x+5)(x-5)=0新課講解解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為0，所以分式方程的解必須檢驗(yàn)．★分式方程解的檢驗(yàn)——必不可少的步驟檢驗(yàn)方法：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.知識(shí)要點(diǎn)1.在方程的兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程.2.解這個(gè)整式方程.3.把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則須舍去。4.寫(xiě)出原方程的根.簡(jiǎn)記為：“一化、二解、三檢驗(yàn)”.“去分母法”解分式方程的步驟：新課講解

解方程解：方程兩邊乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.檢驗(yàn)：當(dāng)x=9時(shí)，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解為x=9.例1新課講解

解方程解：方程兩邊乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程無(wú)解.例2新課講解★解分式方程的一般步驟：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a

檢驗(yàn)x=a是分式方程的解

x=a不是分式方程的解

x=a最簡(jiǎn)公分母是否為零？否是關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是____________．【解析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范圍是a＜－1且a≠－2.方法總結(jié)：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根據(jù)解的正負(fù)性，列關(guān)于未知字母的不等式求解，特別注意分母不能為0.a＜－1且a≠－2例3新課講解新課講解若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，求m的值．解：方程兩邊都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①當(dāng)m－1＝0時(shí)，此方程無(wú)解，此時(shí)m＝1；②方程有增根，則x＝2或x＝－2，當(dāng)x＝2時(shí)，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；當(dāng)x＝－2時(shí)，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.例41.下列式子中，屬于分式方程的是

，屬于整式方程的是

（填序號(hào)）．（2）（1）鞏固練習(xí)（3）探究新知總結(jié)：這些解法的共同特點(diǎn)是先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再解整式方程．你能試著解分式方程嗎？解分式方程知識(shí)點(diǎn)2問(wèn)題1：這些解法有什么共同特點(diǎn)？問(wèn)題2：探究新知（1）如何把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程呢？（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘以什么樣的式子才能把每一個(gè)分母都約去呢？（4）這樣做的依據(jù)是什么？想一想探究新知（1）分母中含有未知數(shù)的方程，通過(guò)去分母就化為整式方程了．（2）利用等式的性質(zhì)，可以在方程兩邊都乘同一個(gè)式子——各分母的最簡(jiǎn)公分母．歸納總結(jié)例

解分式方程即解得則得到，方程兩邊同乘各分母的最簡(jiǎn)公分母探究新知你得到的解是分式方程

的解嗎？檢驗(yàn)：把v=6代入分式方程得：左邊=

右邊=左邊=右邊，所以v=6是原方程的解.探究新知追問(wèn)：解分式方程：

是原分式方程變形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．探究新知問(wèn)題3：你得到的解是分式方程的解嗎？該如何驗(yàn)證呢？追問(wèn)1：上面兩個(gè)分式方程的求解過(guò)程中，同樣是去分母將分式方程化為整式方程，為什么整式方程的解是分式方程的解，而整式方程x＋5=10的解

卻不是分式方程的解？探究新知追問(wèn)2：原因：

在去分母的過(guò)程中，對(duì)原分式方程進(jìn)行了變形，而這種變形是否引起分式方程解的變化，主要取決于所乘的最簡(jiǎn)公分母是否為0．檢驗(yàn)的方法主要有兩種：（1）將整式方程的解代入原分式方程，看左右兩邊是否相等；（2）將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看是否為0．探究新知顯然，第2種方法比較簡(jiǎn)便！回顧解分式方程與的過(guò)程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步驟嗎？解分式方程應(yīng)該注意什么？

探究新知問(wèn)題4：基本思路：將分式方程化為整式方程.一般步驟：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）檢驗(yàn)．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要檢驗(yàn)．2.指出下列方程中各分母的最簡(jiǎn)分母，并寫(xiě)出去分母后得到的整式方程.①②解：①最簡(jiǎn)公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；

②最簡(jiǎn)公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；鞏固練習(xí)例1

解下列方程：解分式方程解：方程的兩邊同乘以x(x–2)，得2x=3x–6解得：x=6檢驗(yàn)：當(dāng)x=6時(shí)，x（x–2）≠0.所以，原方程的解是x=6.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1鞏固練習(xí)3.解下列方程：解：方程的兩邊同乘以2x(x+3)，得(x+3)=4x解得：x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，2x（x+3）≠0.所以，原方程的解是x=1.素養(yǎng)考點(diǎn)2例2解方程解：方程兩邊同乘

得

=3.

化簡(jiǎn)，得

=3.

解得

=1.檢驗(yàn)：當(dāng)

=1時(shí)，

=0，

因此x

=1不是原分式方程的解，所以原分式方程無(wú)解.解含有整式項(xiàng)的分式方程探究新知解分式方程的一般步驟:1.在方程的兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程.2.解這個(gè)整式方程.3.把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解，必須舍去.4.寫(xiě)出原方程的解.解分式方程的思路：分式方程整式方程去分母一化二解三檢驗(yàn)探究新知探究新知解分式方程的一般步驟：歸納總結(jié)分式方程整式方程x=ax=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解最簡(jiǎn)公分母不為0最簡(jiǎn)公分母為0去分母解整式方程檢驗(yàn)4.解分式方程時(shí)，去分母后得到的整式方程是（）A.2(x–8)+5x=16(x–7)B.2(x–8)+5x=8C.2(x–8)–5x=16(x–7)D.2(x–8)–5x=8解析：原方程可以變形為，兩邊都乘以2（x–7）得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).A鞏固練習(xí)易錯(cuò)易混點(diǎn)撥：(1)去分母時(shí)，原方程的整式部分漏乘．(2)約去分母后，分子是多項(xiàng)式時(shí)，沒(méi)有添括號(hào)．(因分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用）(3)把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母后的值為0，不舍掉.探究新知方法點(diǎn)撥

B基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測(cè)

D課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題能力提升題

已知關(guān)于x的方程

有增根，求該方程的增根和k的值.解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx，

整理，得x2+（k–2）x–4=0.因?yàn)橛性龈栽龈鶠閤=0或x=1.當(dāng)x=0時(shí)，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；當(dāng)x=1時(shí)，代入方程，得k=5，所以k=5時(shí),方程有增根x=1.課堂檢測(cè)拓廣探索題解方程:課堂檢測(cè)解：方程可化為：課堂檢測(cè)得解得x=–3，經(jīng)檢驗(yàn)：x=–3是原方程的根.課堂小結(jié)解分式方程整式方程x=ax=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解最簡(jiǎn)公分母不為0最簡(jiǎn)公分母為0去分母解整式方程檢驗(yàn)分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.1.解分式方程的一般步驟.

(1)

在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程.

(2)解這個(gè)整式方程.

(3)

把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是為零，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去.

(4)寫(xiě)出原方程的根.利用分式方程可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題嗎？導(dǎo)入新知

甲、乙兩人做某種機(jī)器零件，已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)零件所用的時(shí)間和乙做60個(gè)零件所用的時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)零件？

請(qǐng)審題分析題意設(shè)元列分式方程解應(yīng)用題的步驟探究新知知識(shí)點(diǎn)1解：設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，則乙每小時(shí)做（x–6）個(gè)零件，依題意得：經(jīng)檢驗(yàn),x=18是原分式方程的解,且符合題意.答：甲每小時(shí)做18個(gè)，乙每小時(shí)做12個(gè).由x＝18,得x–6=12解得探究新知探究新知列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：1.審:分析題意,找出數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系.2.設(shè):選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),注意單位統(tǒng)一.3.列:根據(jù)數(shù)量和相等關(guān)系,正確列出方程.4.解:解這個(gè)分式方程.5.驗(yàn):檢驗(yàn).既要檢驗(yàn)所求的解是不是分式方程的解，又要檢驗(yàn)是否符

合實(shí)際意義.6.答:注意單位和語(yǔ)言完整.歸納總結(jié)素養(yǎng)考點(diǎn)1例1兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的三分之一，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成.哪個(gè)隊(duì)的施工速度快?分析:甲隊(duì)1個(gè)月完成總工程的

,設(shè)乙隊(duì)如果單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的

,那么甲隊(duì)半個(gè)月完成總工程的_____,乙隊(duì)半個(gè)月完成總工程的_____,兩隊(duì)半個(gè)月完成總工程的_______.利用分式方程解答工程問(wèn)題探究新知解:設(shè)乙隊(duì)如果單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的.依題意得方程兩邊同乘6x,得2x+x+3=6x，解得x=1.檢驗(yàn):x=1時(shí)，6x≠0,x=1是原分式方程的解.探究新知答：由上可知,若乙隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月可以完成全部任務(wù),而甲隊(duì)1個(gè)月完成總工程的

,可知乙隊(duì)施工速度快.鞏固練習(xí)1.為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場(chǎng)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的倍.根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？鞏固練習(xí)解：設(shè)甲工廠每天加工x件產(chǎn)品，則乙工廠每天加工x件產(chǎn)品，依題意得，解得：x=40.經(jīng)檢驗(yàn)x=40是原方程的解，所以x=60.答：甲工廠每天加工40件產(chǎn)品，乙工廠每天加工60件產(chǎn)品.skm所用的時(shí)間為h；提速后列車(chē)的平均速度為km/h，提速后列車(chē)運(yùn)行km，所用時(shí)間為h.根據(jù)行駛時(shí)間的等量關(guān)系可以列出方程:例2某列車(chē)平均提速vkm/h，用相同的時(shí)間，列車(chē)提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車(chē)的平均速度為多少？xx+vs+50=s解：設(shè)提速前列車(chē)的平均速度為xkm/h，則提速前列車(chē)行駛（s+50）x+vs+50利用分式方程解答行程問(wèn)題探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2（x+v）去分母得：s(x+v)=x(s+50)去括號(hào)，得sx+sv=sx+50x.移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得50x=xv.解得檢驗(yàn)：由于v，s都是正數(shù)，時(shí)，x（x+v）≠0，是原分式方程的解.答：提速前列車(chē)的平均速度為km/h.探究新知鞏固練習(xí)解：設(shè)學(xué)生騎車(chē)的速度是xkm/h，由題意得，方程兩邊同乘2x，得2s–s=2tx.解得

x=．檢驗(yàn)：由于s，t都是正數(shù)，x=時(shí)，2x≠0，所以，x=

是原分式方程的解，且符合題意.答：學(xué)生騎車(chē)的速度是km/h．素養(yǎng)考點(diǎn)3例3關(guān)于x的方程無(wú)解,求k的值.利用分式方程的根求字母的值或取值范圍探究新知解：方程的兩邊同時(shí)乘(x+3)(x–3)得x+3+kx–3k=k+3整理得:(k+1)x=4k,因?yàn)榉匠虩o(wú)解,則x=3或x=–3當(dāng)x=3時(shí),(k+1)·3=4k,k=3,當(dāng)x=–3時(shí),(k+1)(–3)=4k,所以當(dāng)k=3或

時(shí),原分式方程無(wú)解.鞏固練習(xí)3.如果關(guān)于x的方程無(wú)解,則m的值等于（）A.–3B.–2C.–1D.3B解析:方程的兩邊都乘x–3,得2=x–3–m,移項(xiàng)并合并同類(lèi)項(xiàng)得,x=5+m，由于方程無(wú)解,此時(shí)x=3,即5+m=3,

∴m=–2.鞏固練習(xí)連接中考

A1.下列方程中屬于分式方程的有（）;屬于一元分式方程的有（）.

①②③④x2+2x–1=0①①基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測(cè)③2.解方程：