數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

第四節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用·最新考綱·1．掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式．2．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決與前n項和相關(guān)的問題．·考向預(yù)測·考情分析：數(shù)列分組求和、錯位相減求和、裂項相消求和仍是高考考查的熱點，題型仍將是以解答題為主．學(xué)科素養(yǎng)：通過非等差、等比數(shù)列求和問題考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實

2．裂項相消法求和把數(shù)列的通項拆分為兩項之差，使之在求和時產(chǎn)生前后相互抵消的項的求和方法．3．錯位相減法求和(1)適用的數(shù)列：{anbn}，其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q≠1的等比數(shù)列．(2)方法：設(shè)Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，則qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的和．4．倒序相加法求和如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和等于首末兩項之和，可把正著寫與倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，例如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的．5．分組求和法求和若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化求和法，分別求和而后相加減．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.6．并項求和法求和把數(shù)列中的若干項結(jié)合到一起，形成一個新的可求和的數(shù)列，此時，數(shù)列中的項可能正、負(fù)相間出現(xiàn)或呈現(xiàn)周期性．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩個項合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.

答案：B

2．[必修5·P61T4(1)改編]若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為_____________．2n＋1－2＋n2

關(guān)鍵能力—考點突破考點一分組轉(zhuǎn)化法或并項法求和[例1]

(1)[2022·湖北大冶六中月考]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，則S21＝(

)A．30

B．31C．－30

D．－31答案：(1)B解析：(1)因為數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝1－4＋7－10＋…＋(－1)n－1(3n－2)，所以S21＝1－4＋7－10＋…－58＋61＝1＋10×(－4＋7)＝31.

答案：C

(2)求(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)．

考點二錯位相減法求和[綜合性][例2]

[2022·湖南省永州市測試]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解析：(1)∵Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，∴an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝4＝2a1，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.(2)求數(shù)列{(2n－1)·an}的前n項和Tn.

反思感悟1．掌握解題“3步驟”2．注意解題“3關(guān)鍵”(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3．謹(jǐn)防解題“2失誤”(1)兩式相減時最后一項因為沒有對應(yīng)項而忘記變號．(2)對相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識模糊，錯把中間的n－1項和當(dāng)作n項和.【對點訓(xùn)練】[2022·河南高三月考]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＋2＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解析：(2)由(1)知an＝2－2n－1，可得bn＝nan＝2n－n·2n－1，則

Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2×1＋2×2＋2×3＋…＋2n)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＝n(n＋1)－(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1)．令t＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，則2t＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，所以－t＝1×20＋1×21＋1×22＋…＋1×2n－1－n×2n，所以t＝1－2n＋