基本不等式及其應(yīng)用(求最值)

根本不等式及其應(yīng)用〔求最值〕學(xué)習(xí)內(nèi)容：根本不等式及其應(yīng)用〔求最值〕學(xué)習(xí)目標(biāo)：復(fù)習(xí)幾個(gè)常用根本不等式；能應(yīng)用均值不等式解決最值、比擬大小、求最值等問題；在使用均值不等式過程中，要注意定理成立的條件，為能使用定理解題，要采用配湊的方法，創(chuàng)造條件應(yīng)用均值不等式。通過運(yùn)用根本不等式解決實(shí)際應(yīng)用性問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際問題的能力與意識(shí)。教學(xué)重、難點(diǎn)：應(yīng)用根本不等式求最大值和最小值課前復(fù)習(xí)：寫出、ab、a+b三者之間關(guān)系的根本不等式1、和，〔，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立〕2、或，〔，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立〕3、〔，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立〕說明：注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正〞、二“定〞、三“等〞；課堂探究：一、比擬大?。骸矡嵘眍}〕1.〔2023年高考陜西卷文科3)設(shè)，那么以下不等式中正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕(D)【答案】B【解析】：，又所以應(yīng)選B二、求最值：〔例1和例2及其變型題作為熱身題，讓學(xué)生說答案，老師強(qiáng)調(diào)一下技巧即可〕技巧一：湊項(xiàng)例1、，那么函數(shù)的最小值解：因?yàn)樗?，所求函?shù)的最小值等于3.變式：，那么函數(shù)的最大值解：因?yàn)樗?，所求函?shù)的最大值等于-2.技巧二：湊系數(shù)例2.當(dāng)時(shí)，那么的最大值解析：由知，，利用根本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，的最大值為8。評(píng)注：此題無(wú)法直接運(yùn)用根本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用根本不等式求最大值。變式1；，那么的最大值所以，所求的最大值等于。變式2：(2023·上海十三校聯(lián)考)x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足4x＋3y＝12，那么xy的最大值為________．答案：3技巧三：別離或換元例3.求的最小值。解析一：此題看似無(wú)法運(yùn)用根本不等式，不妨將分子配方湊出含有〔x＋1〕的項(xiàng)，再將其別離。當(dāng),即時(shí),〔當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，取“＝〞號(hào)〕。解析二：此題看似無(wú)法運(yùn)用根本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在別離求最值。當(dāng),即t=時(shí),〔當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝〞號(hào)〕。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用根本不等式來(lái)求最值。變式：求函數(shù)的最小值.解：又因?yàn)椤伯?dāng)且僅當(dāng)〕技巧四：整體代換例4、(2023·福州模擬)設(shè)a，b滿足2a＋3b＝6，a>0，b那么eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為()A.eq\f(25,6)B.eq\f(8,3)C.eq\f(11,3)D．4解析：由a>0，b>0,2a＋3b＝6得eq\f(a,3)＋eq\f(b,2)＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝(eq\f(2,a)＋eq\f(3,b))(eq\f(a,3)＋eq\f(b,2))＝eq\f(2,3)＋eq\f(3,2)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(13,6)＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝eq\f(13,6)＋2＝eq\f(25,6).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)且2a＋3b＝6，即a＝b＝eq\f(6,5)時(shí)等號(hào)成立．即eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為eq\f(25,6).答案：A變式1：正數(shù)x、y滿足，求的最小值。解：,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=〞號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。變式2：5.〔2023天津卷理〕設(shè)假設(shè)的最小值為A8B4C1D【考點(diǎn)定位】本小題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通能力。【解析】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=〞成立，應(yīng)選擇C技巧五：用根本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行例題5．〔2023年高考浙江卷文科16)假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的最大值是。【答案】【解析】：：變式1：假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么xy的最大值是。變式2：假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的最小值是。技巧六：消元法例題6．正數(shù)x、y滿足，求的最小值。解：由得，由那么。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=〞號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。三、實(shí)際應(yīng)用：(2023·蘇北四市聯(lián)考)例7、某開發(fā)商用9000萬(wàn)元在市區(qū)購(gòu)置一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米．該寫字樓第一層的建筑費(fèi)用為每平方米4000元，從第二層開始，每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元．(1)假設(shè)該寫字樓共x層，總開發(fā)費(fèi)用為y萬(wàn)元，求函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式；(總開發(fā)費(fèi)用＝總建筑費(fèi)用＋購(gòu)地費(fèi)用)(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費(fèi)用最低，該寫字樓應(yīng)建為多少層？解：(1)由，寫字樓最下面一層的總建筑費(fèi)用為：4000×2000＝8000000(元)＝800(萬(wàn)元)，從第二層開始，每層的建筑總費(fèi)用比其下面一層多：100×2000＝200000(元)＝20(萬(wàn)元)，寫字樓從下到上各層的總建筑費(fèi)用構(gòu)成以800為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，所以函數(shù)表達(dá)式為：y＝f(x)＝800x＋＋9000＝10x2＋790x＋9000(x∈N*)；(2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費(fèi)用為：＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(900,x)＋79))≥50×(2eq\r(900)＋79)＝6950(元)．當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(900,x)，即x＝30時(shí)等號(hào)成立．答：該寫字樓建為30層時(shí)，每平方米平均開發(fā)費(fèi)用最低．四、錯(cuò)解剖析：例8.且，求的最小值.錯(cuò)解：,,的最小值為.分析：解題時(shí)兩次運(yùn)用均值不等式，但取等號(hào)條件分別為和，而這兩個(gè)式子不能同時(shí)成立，故取不到最小值.正解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.的最小值為.五、歸納小結(jié)綜上所述，應(yīng)用均值不等式求最值要注意：一、常用根本不等式：1、和，〔，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立〕2、或，〔，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立〕3、〔，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立〕考前須知：一“正〞、二“定〞、三“等〞；一要正：各項(xiàng)或各因式必須為正數(shù)；二可定：必須滿足“和為定值〞或“積為定值〞，要湊出“和為定值〞或“積為定值〞的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值〞的條件用這個(gè)定理，求最值就會(huì)出錯(cuò)；三能等：要保證等號(hào)確能成立，如果等號(hào)不能成立，那么求出的仍不是最值。如錯(cuò)例