第01講圖形的相似

第01講圖形的相似學(xué)習(xí)目標(biāo)①相似圖形的相關(guān)概念②成比例線段③平行線分線段成比例掌握相似圖形的概念已經(jīng)相似圖形的相關(guān)概念，并能夠熟練判定相似圖形。掌握成比例線段的特征，并能夠熟練應(yīng)用其計算。掌握平行線分線段成比例的性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用其求線段長度。知識點01相似圖形相似圖形的概念：我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形?；蛉魞蓚€多邊形的邊數(shù)相同，角對應(yīng)相等，邊對應(yīng)成比例，則這兩個多邊形是相似多邊形。相等的角是對應(yīng)角，成比例的邊是對應(yīng)邊。相似多邊形的性質(zhì)：①對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)邊的比是相似圖形的相似比。②相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。題型考點：①判斷圖像是相似多邊形。②根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求值【即學(xué)即練1】1．下列各組圖形中，不相似的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、形狀相同，但大小不同，符合相似定義，故此選項不合題意；B、形狀相同，但大小不同，符合相似定義，故此選項不合題意；C、形狀不同，不符合相似定義，故此選項符合題意；D、形狀相同，但大小不同，符合相似定義，故此選項不合題意．故選：C．【即學(xué)即練2】2．下列圖形中不一定是相似圖形的是（）A．兩個正方形 B．兩個等邊三角形 C．兩個等腰直角三角形 D．兩個矩形【解答】解：A、兩個正方形的形狀相同，是相似圖形，故選項A不符合題意；B、兩個等邊三角形形狀相同，是相似圖形，故選項B不符合題意；C、兩個等腰直角三角形形狀相同，是相似圖形，故選項C不符合題意；D、兩個矩形的對應(yīng)邊不一定成比例，不一定是相似圖形，故選項D符合題意；故選：D．【即學(xué)即練3】3．四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，∠A＝70°，∠B′＝108°，∠C′＝92°，則∠D＝90度．【解答】解：四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，則∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，因而∠D＝360°﹣70°﹣108°﹣92°＝90°．【即學(xué)即練4】4．如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的長度x．【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28．在四邊形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．∴∠G＝∠C＝67°．故α＝83°，β＝81°，x＝28．【即學(xué)即練5】5．已知兩個相似多邊形的一組對應(yīng)邊分別是15cm和23cm，它們的周長差40cm，則其中較大多邊形的周長是115cm．【解答】解：∵一組對應(yīng)邊分別是15cm和23cm，∴相似比k＝，設(shè)兩多邊形的周長分別是15x，23x，根據(jù)題意，得23x﹣15x＝40，解得x＝5，∴較大多邊形的周長是23×5＝115cm．【即學(xué)即練6】6．若兩個相似多邊形的面積比為25：36，則它們的對應(yīng)邊的比是（）A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25【解答】解：∵相似多邊形的面積比等于相似比的平方，面積比為25：36，∴對應(yīng)邊的比為5：6，故選：A．知識點02成比例線段比例線段的概念：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，則我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段。在判斷線段是否成比例線段時，將線段從小到大排列，若前面兩條線段的比值等于后面兩條線段的比值，則這四條線段就是比例線段。題型考點：①判斷線段夠不夠成比例線段。②根據(jù)比例線段的性質(zhì)求值?！炯磳W(xué)即練1】7．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5 C．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝6 D．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝6，d＝8【解答】解：A、1×4≠2×3，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意；B、2×5≠3×4，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意；C、2×6＝3×4，故此選項中四條線段成比例，符合題意；D、2×8≠4×6，故此選項中四條線段不成比例，不符合題意，故選：C．【即學(xué)即練2】8．已知四條線段a，b，c，d是成比例線段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，則線段a的長度為（）A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm【解答】解：∵四條線段a、b、c、d是成比例線段，∴a：b＝c：d，即a：3＝6：9，∴a＝2（cm）．故選：B．【即學(xué)即練3】9．已知2，a，4，b是一組成比例線段，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＝4b B．b＝4a C．a(chǎn)＝2b D．b＝2a【解答】解：∵2，a，4，b是一組成比例線段，∴2：a＝4：b，∴4a＝2b，即b＝2a．故選：D．【即學(xué)即練4】10．若線段a，b，c滿足，且a＝2，c＝8，則b的值為（）A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：∵，a＝2，c＝8，∴b2＝ac＝2×8＝16，∵b＞0，∴b＝4，故選：A．知識點03平行線分線段成比例平分線分線段成比例的內(nèi)容：如圖，若兩條線段被一組平行線所截，所得到的線段對應(yīng)成比例。即：；，等...推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。題型考點：①判定平行線分線段成比例的性質(zhì)；②根據(jù)平行線分線段成比例以及其推論求值?！炯磳W(xué)即練1】11．如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、AB∥CD∥EF，則＝，所以A選項錯誤；B、AB∥CD∥EF，則＝，所以B選項錯誤；C、AB∥CD∥EF，則＝，所以＝，所以C選項正確；D、AB∥CD∥EF，則＝，所以＝，所以D選項錯誤．故選：C．【即學(xué)即練2】12．如圖，l1∥l2∥l3，根據(jù)“平行線分線段成比例定理”，下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，A錯誤；＝，B錯誤；≠，C錯誤；＝，D正確．故選：D．【即學(xué)即練3】13．如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，則CE的長為4．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∴＝，∴BE＝10，∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，故答案為：4．【即學(xué)即練4】14．如圖，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么CE的值為（）A．4 B．6 C．8 D．9【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴CE＝4，故選：A．【即學(xué)即練5】15．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n與a、b、c分別交于點A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（）A．7 C．8 【解答】解：∵直線a∥b∥c，∴＝，即＝，∴DF＝．故選：D．題型01相似圖形的判斷【典例1】下列和右圖相似的圖形是（）A． B． C． D．【解答】解：A、形狀相同，但大小不一定相同，符合相似形的定義，故正確；B、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤；C、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤；D、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤．故選：A．【典例2】下列圖形中，是相似形的是（）A．所有平行四邊形 B．所有矩形 C．所有菱形 D．所有正方形【解答】解：A、所有平行四邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，不一定相似，故錯誤；B、所有矩形，屬于形狀不唯一確定的圖形，不一定相似，故錯誤；C、所有菱形，屬于形狀不唯一確定的圖形，不一定相似，故錯誤；D、所有正方形，形狀相同，但大小不一定相同，符合相似定義，故正確．故選：D．【典例3】下列說法中正確的是（）①在兩個邊數(shù)相同的多邊形中，如果各對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形相似；②兩個矩形有一組鄰邊對應(yīng)成比例，這兩個矩形相似；③有一個角對應(yīng)相等的平行四邊形都相似；④有一個角對應(yīng)相等的菱形都相似．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：①雖然各對應(yīng)邊成比例，但是各對應(yīng)角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的對應(yīng)邊都成比例，但是它們不一定相似；②兩個矩形有一組鄰邊對應(yīng)成比例，就可以得出四條邊對應(yīng)成比例，并且它們的角都是90°，所以這兩個矩形相似；③有一個角對應(yīng)相等的平行四邊形的對應(yīng)邊不一定成比例，所以不一定相似；④有一個角對應(yīng)相等就可以得出菱形的其他角對應(yīng)相等，并且菱形的對應(yīng)邊是成比例的，所以相似．故選：D．題型02相似多邊形的性質(zhì)【典例1】一個六邊形六邊長分別為3，4，5，6，7，8，另一個與它相似的六邊形的最短邊為6，則其周長為66．【解答】解：∵一個六邊形六邊長分別為3，4，5，6，7，8，另一個與它相似的六邊形的最短邊為6，∴兩個相似多邊形的相似比＝＝，∴＝，解得c＝66．故答案為：66．【典例2】如圖，一塊矩形紙片，長為20cm，寬為15cm，現(xiàn)在把這個矩形紙片的左右同時剪去寬為ycm的紙條、上下同時剪去寬為xcm的紙條（如圖所示的陰影部分），要使剩下的矩形與原來的矩形相似，則x與y滿足的關(guān)系式為（）A．x＝y(tǒng) B．3x＝5y C．5x＝3y D．4x＝3y【解答】解：∵剩下的矩形與原來的矩形相似，∴＝，整理得：30y＝40x，則4x＝3y．故選：D．【典例3】如圖，一個矩形ABCD的長AD＝acm，寬AB＝bcm，E、F分別是AD、BC的中點，連接E、F，所得新矩形ABFE與原矩形ABCD相似，則a：b的值是．【解答】解：∵新矩形ABFE與原矩形ABCD相似，∴＝，即＝，解得，a：b＝，故答案為：．【典例4】如圖，四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的長度．【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，∴∠α＝∠B＝83°，∠D＝∠H＝118°，∠β＝360°﹣（83°+78°+118°）＝81°，EH：AD＝HG：DC，∴＝，∴EH＝28（cm）．答：∠α＝83°，∠β＝81°，EH＝28cm．題型03比例線段的判斷【典例1】下列各組線段的長度成比例的是（）mmmm B．30cm，20cm，90cm，60cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，4cm，5cm【解答】解：A、∵0.3×0.9≠0.6×0.5，故此選項不符合題意；B、∵20×90＝30×60，故此選項符合題意；C、∵1×4≠2×3，故此選項不符合題意；D、∵2×5≠3×4，故此選項不符合題意．故選：B．【典例2】a，b，c，d是四條線段，下列各組中這四條線段成比例的是（）A．a(chǎn)＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝10cm B．a(chǎn)＝5cm，b＝3cm，c＝10cm，d＝6cm C．a(chǎn)＝30cm，b＝2cm，ccm，d＝2cm D．a(chǎn)＝5cm，bcm，c＝7cm，dcm【解答】解：A、2×10≠5×5，這四條線段不成比例；B、3×10＝6×5，這四條線段成比例；C、30×0.8≠2×2，這四條線段不成比例；D、0.02×7≠0.3×5，這四條線段不成比例；故選：B．【典例3】下面四組線段中，成比例的是（）A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5d＝10 D．a(chǎn)＝，b＝，c＝3，d＝【解答】解：A、2×5≠3×4，故選項錯誤；B、1×4＝2×2，故選項正確；C、4×10≠5×6，故選項錯誤；D、×3≠×，故選項錯誤．故選：B．【典例4】下列各組長度的線段（單位：cm）中，成比例線段的是（）A．2，3，4，5 B．1，3，4，10 C．2，3，4，6 D．1，5，3，12【解答】解：A、∵2×5≠3×4，∴2，3，4，5不能成比例線段，故不符合題意；B、∵1×10≠3×4，∴1，3，4，10不能成比例線段，故不符合題意；C、∵2:3＝4:6，∴2，3，4，6成比例線段，故符合題意；D、∵1×12≠3×5，∴1，5，3，12不能成比例線段，故不符合題意；故選：C．題型04根據(jù)比例線段求值【典例1】已知線段a，b，c，d是成比例線段，其中a＝3，b＝2，c＝6，則d的值是（）A．6 B．4 C．8 D．10【解答】解：∵線段a，b，c，d是成比例線段，其中a＝3，b＝2，c＝6，∴a：b＝c：d，∴d＝＝＝4．故選：B．【典例2】已知線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a＝3b B．a(chǎn)+b＝5 C． D．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本選項錯誤，不符合題意；B、當(dāng)a＝4，b＝6時，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本選項錯誤，不符合題意；C、由a：b＝2：3，得＝，故本選項正確，符合題意；D、當(dāng)a＝4，b＝6時，a：b＝2：3，但是＝，故本選項錯誤，不符合題意．故選：C．題型05平行線分線段成比例求線段【典例1】如圖，DE∥BC，AD：DB＝1：2，EC＝6，則AE的長是（）A．3 B．4 C．6 D．10【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝3．故選：A．【典例2】如圖，直線AB∥CD∥EF，若AC＝3，AE＝7，則的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵AC＝3，AE＝7，∴CE＝AE﹣AC＝7﹣3＝4，∴．故選：A．【典例3】如圖，已知直線a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，則DE＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，∴，解得DE＝．故選：B．【典例4】如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段BC＝6cm，則線段AC的長是（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，∴＝＝，即＝，解得：AB＝3，∴AC＝3+6＝9（cm）．故選：C．1．任意下列兩個圖形不一定相似的是（）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等邊三角形【解答】解：A、因為任意兩個正方形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以A不符合題意B、因為任意兩個等腰直角三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以B不符合題意；C、因為任意兩個矩形的對應(yīng)邊不一定成比例，對應(yīng)角相等，不是相似圖形，所以C符合題意；D、因為任意兩個等邊三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以A不符合題意；故選：C．2．下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（）A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，6 D．1，3，4，7【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A選項不符合題意；B、2×5≠4×3，所以B選項不符合題意；C、1×6＝2×3，所以C選項符合題意；D、1×7≠3×4，所以D選項不符合題意．故選：C．3．若mn＝ab，則下列比例式中不正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由＝得，mn＝ab，故本選項錯誤；B、由＝得，mn＝ab，故本選項錯誤；C、由＝得，mb＝an，故本選項正確；D、由＝得，mn＝ab，故本選項錯誤．故選：C．4．如圖，四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，且頂點都在方格紙的格點上，它們的相似比是（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∴相似比＝＝＝2，故選：C．5．兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB上一點（AP＞BP），若滿足＝，則稱點P是AB的黃金分割點，世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割”，若圖中AB＝8，則BP的長度是（）A． B． C． D．2【解答】解：∵點P是線段AB上一點（AP＞BP），點P是AB的黃金分割點，∴AP＝AB＝×8＝4﹣4，∴BP＝8﹣（4﹣4）＝12﹣4．故選：A．6．按照如下步驟進(jìn)行作圖：如圖，已知線段AB，過點B作BD⊥AB，使，連接DA，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)BD＝DE＝a，∵BD＝AB，∴AB＝2BD＝2a，∵BD⊥AB，∴∠DBA＝90°，∴AD＝＝＝a，∴AE＝AD﹣DE＝a﹣a＝（﹣1）a，∵AC＝AE，∴AC＝（﹣1）a，∴＝＝，故選：B．7．若，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵，設(shè)a＝4k則b＝7k，則，故選：A．8．如圖，正六邊形ABCDEF外作正方形DEGH，連接AH交DE于點O，則等于（）A．3 B． C．2 D．【解答】解：連接BD，如圖所示：由正六邊形和正方形的性質(zhì)得：B、D、H三點共線，設(shè)正六邊形的邊長為a，則AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故選：B．9．四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'．若∠D＝90°，∠B'＝108°，∠C'＝92°，則∠A＝70°．【解答】解：四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，則∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，因而∠A＝360°﹣90°﹣108°﹣92°＝70°．故答案為：70．10．已知兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4，第二個矩形較短的一邊長是4，那么第二個矩形較長的一邊長是．【解答】解：設(shè)第二個矩形較長的一邊長是a，∵兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4，第二個矩形較短的一邊長是4，∴＝，解得：a＝，即第二個矩形較長的一邊長是，故答案為：．11．如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和點D、E、F．如果，那么線段DE的長是8．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝＝，∵DF＝20，∴＝＝＝，解得：DE＝8，故答案為：8．12．開本指書刊幅面的規(guī)格大?。鐖D，將一張矩形印刷用紙對折后可以得到2開紙，再對折得到4開紙，以此類推可以得到8開紙、16開紙……這些開本紙都是相似的圖形，則這些相似的矩形的長與寬的比值是：1．【解答】解：如圖，設(shè)矩形ABCD的長AD＝x，寬AB＝y(tǒng)，則DM＝AD＝x．∵矩形DMNC與矩形ABCD相似，∴，即，∴x：y＝：1，∴這些相似的矩形的長與寬的比值是：1．故答案為：：1．13．求值：（1