第02講圓-垂徑定理（知識(shí)解讀題型精講隨堂檢測(cè)）

第02講圓垂徑定理1.掌握垂徑定理及其推論；2.利用垂徑定理及其推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明.知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造Rt有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理的應(yīng)用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答【題型1運(yùn)用垂徑定理直接求線段的長(zhǎng)度】【典例1】（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長(zhǎng)為16，OE長(zhǎng)為6，則⊙O半徑是（）?A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：連接OA，如圖，∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，即⊙O半徑為10．故選：D．【變式11】（2023春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故選：C．【變式12】（澄城縣期末）如圖，⊙O中，OD⊥弦AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，OB＝13，AB＝24，則OC的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故選：B．【變式13】（2023?宿州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E．若OE＝CE＝2，則BE的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解答】解：如圖所示，連接OC，∵OE＝CE＝2，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∴，∵AB是⊙O的直徑，∴，∴，故選：B．【題型2垂徑定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】【典例2】（2023?平遙縣二模）如圖所示，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn)AB，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【答案】C【解答】解：如圖所示，連接AC，作出AB、AC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），∴該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（﹣1，1）．故選：C．【變式21】（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過(guò)M、N，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【答案】D【解答】解：過(guò)A作AB⊥NM于B，連接AM，∵AB過(guò)A，∴MB＝NB，∵半徑為5的⊙A與y軸相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB＝＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣6），故選：D．【變式22】（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A（2，2），B（4，0），O三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（）A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，根據(jù)網(wǎng)格看作出線段OA，AB的中垂線，兩條中垂線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為圓心．故選：B．【變式23】（2022秋?南開(kāi)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一圓弧過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A，B，C，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，5），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0）．【答案】（﹣1，0）．【解答】解：根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，如圖，AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．【題型3垂徑定理與方程的綜合應(yīng)用】【典例3】（2023?尋烏縣一模）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：由題意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直徑，∴CO是△ABE的中位線，∴EB＝2OC，在Rt△ACO中，設(shè)OA＝x，則OC＝x﹣1，∵AO2＝OC2+AC2，∴x2＝（x﹣1）2+22，解得：，即，，∴EB＝2OC＝3，故選：B．【變式31】（2021秋?瑤海區(qū)期末）如圖，在⊙O中，OE⊥弦AB于點(diǎn)E，EO的延長(zhǎng)線交弦AB所對(duì)的優(yōu)弧于點(diǎn)F，若AB＝FE＝8，則⊙O的半徑為（）A．5 B．6 C．4 D．2【答案】A【解答】解：連接OA，如圖所示：設(shè)⊙O半徑為r，則由題意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，又∵OE⊥弦AB于點(diǎn)E，∴AE＝＝＝4，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，即，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為5．故選：A．【變式32】（2022秋?宜春期末）已知：如圖，⊙O的直徑AC與弦BD（不是直徑）交于點(diǎn)E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的長(zhǎng)．【答案】AB的長(zhǎng)．【解答】解：連接OB，OD，則：，∵DE＝EB＝2，即E為BD中點(diǎn)，∴AC垂直平分BD，又∵EC＝1，∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：，則AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，∴．即：AB的長(zhǎng)．【題型4同心圓與垂井定理綜合】【典例4】（2022秋?梁山縣期末）如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．（1）求證：AC＝BD；（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2﹣2．【解答】（1）證明：過(guò)O作OH⊥CD于H，如圖1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：過(guò)O作OH⊥CD于H，連接OD，如圖2所示：則CH＝DH＝CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH＝＝＝2，∴AH＝＝＝2，∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．【變式41】（2022秋?嘉興期中）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．（1）求證：AC＝BD；（2）若大圓的半徑R＝10，小圓的半徑r＝8，且圓心O到直線AB的距離為6，求AC的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．【變式42】（2022秋?浦江縣校級(jí)月考）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，若AB＝10cm，CD＝6cm．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）若大圓半徑為13cm，求小圓的半徑．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）作OE⊥AB，垂足為E，由垂徑定理知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，也是AB的中點(diǎn)∴AE＝AB＝5，CE＝CD＝3∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm；（2）連接OA，OC，∵在Rt△AOE中，AE＝5cm，OA＝13cm，∴OE＝＝＝12cm．在Rt△OCE中，∵CE＝3cm，OE＝12cm，∴OC＝＝＝3（cm）．【題型5垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【典例5】（2022秋?贛縣區(qū)期末）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半徑．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：連接OC，∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，又CD＝4則有：CM＝CD＝2，設(shè)圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圓的半徑長(zhǎng)是．【變式51】（2022秋?信都區(qū)校級(jí)期末）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理，如圖1，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為4米，⊙O半徑長(zhǎng)為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米【答案】D【解答】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，，在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，∴，∴，即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是米，故選：D．【變式52】（2023?武義縣一模）如圖，一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，∴EM⊥CD，∵CD＝6，∴CM＝CD＝3，設(shè)OC是x米，則OM＝9﹣x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝5．故選：B【變式53】（2023?桐鄉(xiāng)市校級(jí)開(kāi)學(xué)）一面墻上有一個(gè)矩形門(mén)洞，其中寬為1.5米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門(mén)洞（如圖），則改造后圓弧型門(mén)洞的最大高度是（）【答案】A【解答】解：如圖所示，連接矩形門(mén)洞的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BE于點(diǎn)D，∴點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴AB為圓O的直徑，∵寬為1.5米，高為2米，∴AB＝＝2.5（米），∴圓的半徑＝AB＝1.25（米），∵OD⊥BE，∴點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∴OD＝BC＝1（米），則改造后門(mén)洞的最大高度＝1.25+1＝2.25（米）；故選：A．【典例6】（2023?迎澤區(qū)校級(jí)一模）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長(zhǎng)；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）連接OA，由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）連接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施．【變式61】（2021秋?恩施市校級(jí)期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5mm，則此貨船是否能順利通過(guò)這座圓弧形拱橋并說(shuō)明理由．m；（2）能順利通過(guò)這座拱橋，理由見(jiàn)解析．【解答】解：（1）如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點(diǎn)，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，設(shè)OB＝OC＝ON＝rm，則OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．m；（2）∵CD＝4mm，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE222＝7.44，∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×m＞5m．∴此貨船能順利通過(guò)這座拱橋．【變式62】（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時(shí)刻測(cè)得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點(diǎn)到水面的距離）為1米．（1）求主橋拱所在圓的半徑；（2）若水面下降1米，求此時(shí)水面的寬度．【答案】（1）5米；（2）8米．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，DC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝3，DC經(jīng)過(guò)圓心，設(shè)拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O，連接OA，OC，聯(lián)結(jié)OA，設(shè)半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，∴R2＝（R﹣1）2+32，解得R＝5．答：主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米；（2）設(shè)OD與EF相交于點(diǎn)G，連接OF，∵EF∥AB，OD⊥AB，∴OD⊥EF，∴∠OGF＝90°，在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，∴FG＝＝4，∴EF＝2FG＝8，答：此時(shí)水面的寬度為8米．【變式63】（2022秋?南寧期中）如圖是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其為圓弧型，跨度AB（弧所對(duì)的弦）的長(zhǎng)為3.2米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為0.8米．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端（點(diǎn)BEF，求支撐桿EF的高度．【答案】（1）該圓弧所在圓的半徑為2米；（2）支撐桿EF的高度為0.4米．【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)C，延長(zhǎng)DC經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，則BC＝AB＝1.6（米），設(shè)⊙O的半徑為R米，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB2＝OC2+CB2，即R2＝（R﹣0.8）22，解得：R＝2，即該圓弧所在圓的半徑為2米；（2）過(guò)O作OH⊥FE于點(diǎn)H，則OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撐桿EF的高度為0.4米．1．（2021?鄂州）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理，如圖1．筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，⊙O半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米【答案】B【解答】解：連接OC交AB于D，連接OA，∵點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝3（米），在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），∴點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，故選：B．2．（2021?涼山州）點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10cm，最短弦的長(zhǎng)為6cm，則OP的長(zhǎng)為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【解答】解：如圖所示，CD⊥AB于點(diǎn)P．根據(jù)題意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直徑，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根據(jù)勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故選：B．3．（2021?青海）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB＝16厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）【答案】A【解答】解：設(shè)“圖上”圓的圓心為O，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，如圖所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平線以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太陽(yáng)從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，∴“圖上”太陽(yáng)升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故選：A．4．（2022?長(zhǎng)沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長(zhǎng)為7．【答案】7．【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D為OC的中點(diǎn)，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．故答案為：7．5．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長(zhǎng)為2．【答案】2．【解答】解：連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，∵OC⊥AB，∴D為AB的中點(diǎn)，則AB＝2AD＝2＝2＝2．故答案為：2．6．（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問(wèn)題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來(lái)一個(gè)殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量得弧AB的中心C到AB的距離CDcm，ABcm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為4cm．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵C點(diǎn)是的中點(diǎn)，CD⊥AB，∴CD過(guò)圓心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），設(shè)圓心為O，連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣1.6）cm，在Rt△OAD中，（R﹣1.6）22＝R2，解得R＝4（cm），所以圓形瓦片所在圓的半徑為4cm．故答案為4．1．（2023秋?洞頭區(qū)期中）如圖，⊙O的半徑為10，弦長(zhǎng)AB＝16，弦心距OC的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解答】解：∵OC是弦心距，∴OC⊥AB，∴BC＝×16＝8，∵OA＝10，∴OC＝＝6，故選：B．2．（2023秋?東城區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，直徑AB⊥CD垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么線段AE的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解答】解：連接OC，如圖，∵直徑AB＝10，∴OA＝OC＝5，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，∵OC＝5，CE＝4，∴OE＝＝3，∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．故選：D．3．（2022秋?中山市期末）點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10，最短弦的長(zhǎng)為6，則OP的長(zhǎng)為（）A．8 B．2 C．5 D．4【答案】D【解答】解：如圖，AB為直徑，CD⊥AB于點(diǎn)P，則AB＝10，CD＝6，∴OC＝OA＝OB＝5，∵AB⊥CD，∴CP＝DP＝3，∠OPD＝90°，由勾股定理得：OP＝＝＝4，故選：D．4．（2023秋?綏陽(yáng)縣期中）如圖，⊙O的半徑為10，弦AB＝16，點(diǎn)M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合，若OM的長(zhǎng)為整數(shù)，則這樣的點(diǎn)M有幾個(gè)？（）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，連接OA，∵弦AB＝16，∴AP＝AB＝8，∵OA＝10，∴OP＝＝6，∴OM的最短距離為OP，最長(zhǎng)距離為OA，∵點(diǎn)M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合，∴6≤OM＜10，∵OM的長(zhǎng)為整數(shù)，∴OM可取6，7，8，9，即這樣的點(diǎn)M有7個(gè)，故選：C．5．（2023秋?硚口區(qū)期中）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦AB長(zhǎng)20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑是（）A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米【答案】B【解答】解：如圖，點(diǎn)O是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC，則點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)O三點(diǎn)共線，由題意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），設(shè)鏡面半徑為x厘米，由題意可得：x2＝102+（x﹣2）2，∴x＝26，∴鏡面半徑為26厘米，故選：B．6．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）一面墻上有一個(gè)矩形門(mén)洞，其中寬為1.5米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門(mén)洞（如圖），則改造后圓弧型門(mén)洞的最大高度是（）【答案】A【解答】解：如圖所示，連接矩形門(mén)洞的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BE于點(diǎn)D，∴點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴AB為圓O的直徑，∵寬為1.5米，高為2米，∴AB＝＝2.5（米），∴圓的半徑＝AB＝1.25（米），∵OD⊥BE，∴點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∴OD＝BC＝1（米），則改造后門(mén)洞的最大高度＝1.25+1＝2.25（米）；故選：A．7．（2022秋?曲靖期末）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．弦是直徑 B．半圓是弧 C．過(guò)圓心的線段是直徑 D．平分弦的直徑垂直于弦【答案】B【解答】解：A．最長(zhǎng)的弦是直徑，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．半圓是弧，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C．過(guò)圓心且端點(diǎn)在圓上的線段是直徑，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：B．8．（2023秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，OC．∵OP⊥CD，CD∥AB，∴OP⊥AB，∴CN＝DN＝8，AM＝MB＝10，設(shè)OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，則有，解得r＝4，故選：B．9．（2023秋?無(wú)錫月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，BE＝2，CD＝8，則⊙O半徑為（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C【解答】解：設(shè)⊙O半徑為R，則OE＝（R﹣2），OC＝R，∵AB⊥CD，CD＝8，AB過(guò)圓心O，∴CE＝DE＝4，∠OEC＝90°，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，∴R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即⊙O的半徑為5，故選：C．10．（2023?衢州二模）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，Dcm，AB＝3cm，CD＝4cm．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【解答】解：如圖，MN⊥AB，MN過(guò)圓心O，連接OD，OB，∴MNcm，∵CD∥AB，∴MN⊥CD，∴DM＝CD＝×4＝2（cm），BN＝AB＝×3＝1.5（cm），設(shè)OM＝xcm，∴ON＝MN﹣OM＝（3.5﹣x）cm，∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，∴OM2+MD2＝ON2+BN2，∴x2+22＝（3.5﹣x）22，∴x＝1.5，∴OM＝1.5（cm），∴OD＝＝2.5（cm），∴紙杯的直徑為2.5×2＝5（cm）．故選：B．11．（2022秋?桃城區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動(dòng)點(diǎn)P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點(diǎn)M、N分別是弦AB、PQ的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【答案】A【解答】解：連接OM、ON、OA、OP，如圖所示：∵⊙O的直徑為26，∴OA＝OP＝13，∵點(diǎn)M、N分別是弦AB、PQ的中點(diǎn)，AB＝24，PQ＝10，∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，∴OM＝＝5，ON＝＝12，當(dāng)AB∥PQ時(shí)，M、O、N三點(diǎn)共線，當(dāng)AB、PQ位于O的同側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，當(dāng)AB、PQ位于O的兩側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)＝ON+OM＝12+5＝17，∴線段MN的長(zhǎng)度的取值范圍是7≤MN≤17，故選：A．12．（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，當(dāng)寬為3cm的刻度尺的一邊與圓相切時(shí)，另一邊與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處的讀圖如圖所示（單位：cm），那么該圓的半徑為（）A． B． C．5cm D．4cm【答案】A【解答】解：連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝（9﹣1）＝4，設(shè)OA＝r，則OD＝r﹣3，在Rt△OAD中，OA2﹣OD2＝AD2，即r2﹣（r﹣3）2＝42，解得r＝．故選：A．13．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過(guò)圓心O，則BC的長(zhǎng)是（）A． B．π C．2π D．4π【答案】A【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于E，交半圓O于D點(diǎn)，連接AC，如圖，∵半圓O沿BC所在的直線折疊，圓弧BC恰好過(guò)圓心O，∴ED＝EO，∴OE＝OB，∵OD⊥BC，∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AC＝3．故選：A．14．（2023秋?南京期中）根據(jù)江心洲地質(zhì)水文條件量身打造的“新時(shí)代號(hào)”泥水平衡盾構(gòu)機(jī)，是目前世界上最先進(jìn)的盾構(gòu)設(shè)備之一，被譽(yù)為“國(guó)之重器”．如圖1，盾構(gòu)機(jī)核心部件——刀盤(pán)的形狀是一個(gè)圓形．如圖2，當(dāng)機(jī)器暫停時(shí)，刀盤(pán)露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離C