專題6.26一次函數(shù)一元一次方程和一元一次不等式（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題6.26一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識點(diǎn)1】一次函數(shù)與一元一次方程任何一個一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為的形式.（1）從“數(shù)”的角度來看,解這個方程就是尋求自變量為何值時函數(shù)值為0；(2)從“形”的角度來看,解這個方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?！局R點(diǎn)2】一次函數(shù)與一元一次不等式任何一個一元一次不等式都能寫成的形式；(1)從“數(shù)”的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；(2)從“形”的角度看，就是確定直線y=ax+b(a0)在x軸上（或下）方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的條件.特別提醒：當(dāng)一次函數(shù)中時,它就變成了一元一次不等式【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)一】由直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求一元一次方程組的解；【考點(diǎn)二】由一元一次方程的解求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；【考點(diǎn)三】由圖象法解一元一次方程；【考點(diǎn)四】由直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求一元一次不等式的解；【考點(diǎn)五】由兩條直線的交點(diǎn)求一元一次不等式組的解。【考點(diǎn)一】由直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求一元一次方程組的解【例1】（2022下·湖南永州·八年級?？茧A段練習(xí)）根據(jù)一次函數(shù)的圖象，直接寫出問題的答案：（1）關(guān)于的方程的解；（2）代數(shù)式的值；（3）關(guān)于的方程的解.【答案】（1）x=1；（2）4；（3）【分析】（1）利用函數(shù)圖象寫出函數(shù)值為0時對應(yīng)的自變量的值即可；（2）利用函數(shù)圖象寫出x=1時對應(yīng)的函數(shù)值即可（3）利用函數(shù)圖象寫出函數(shù)值為3時對應(yīng)的自變量的值即可．解：（1）當(dāng)x=1時，y=0，所以方程kx+b=0的解為x=1；（2）由圖可以看出的圖象過（1，0），（0，2）兩點(diǎn)，可得，解得：所以一次函數(shù)關(guān)系式為：y=2x+2，當(dāng)x=1時，y=4，即k+b=4，所以代數(shù)式k+b的值為4；（3）因為一次函數(shù)關(guān)系式為：y=2x+2，所以當(dāng)y=3時，得2x+2=3，解得x=0.5，所以方程kx+b=3的解為x=0.5．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，利用數(shù)形結(jié)合是求解的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖是一次函數(shù)的圖象，則關(guān)于的一次方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象得出一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，把坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出，再求出方程的解即可．解：從圖象可知：一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，代入函數(shù)解析式得：，解得：，即，當(dāng)時，，解得：，即關(guān)于的一次方程的解是，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·八年級課時練習(xí)）一次函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖像如圖所示，則方程的解為．【答案】【分析】結(jié)合圖像，確定與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，就是方程的解．解：∵一次函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為，∴的解為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，正確理解二者的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】由一元一次方程的解求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)【例2】（2021上·安徽·八年級校聯(lián)考期中）直線y＝kx+b與直線y＝5﹣4x平行，且與直線y＝﹣3（x﹣6）相交，交點(diǎn)在y軸上，求直線y＝kx+b對應(yīng)的函數(shù)解析式．【答案】．【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得，再求出直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入一次函數(shù)即可得．解：∵直線與直線平行，∴，對于函數(shù)，當(dāng)時，，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線對應(yīng)的函數(shù)解析式為．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·陜西西安·八年級?？计谥校┤絷P(guān)于x的方程的解是，則直線一定經(jīng)過點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程可知當(dāng)，，從而可判斷直線經(jīng)過點(diǎn)即可．解：由方程的解可知：當(dāng)時，，即當(dāng)，，∴直線的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，掌握一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·安徽蕪湖·八年級校聯(lián)考期末）將函數(shù)的圖象以直線為對稱軸進(jìn)行翻折，則所得函數(shù)圖象的解析式為．【答案】【分析】先求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，然后用待定系數(shù)法求解即可．解：當(dāng)時，，∴的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時，，，∴的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．∴，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別是，，設(shè)所得函數(shù)圖象的解析式為，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化軸對稱，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】由圖象法解一元一次方程【例3】（2022上·八年級課時練習(xí)）利用函數(shù)圖象解下列方程（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）將變化為，畫出函數(shù)的圖象，利用一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可得到答案；（2）將變化為，畫出函數(shù)的圖象，利用一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可得到答案．（1）解：將變化為，畫出函數(shù)的圖象，如圖，直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即方程的解為；（2）解：將變化為，畫出函數(shù)的圖象，如圖，直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即方程的解為．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．也考查了數(shù)形結(jié)合的思想．【舉一反三】【變式1】（2021上·河南平頂山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，直線與相交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用函數(shù)解析式求出的值，然后再根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是關(guān)于的方程的解可得答案．解：∵直線與相交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴關(guān)于的方程的解是，故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是求得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．【變式2】（2023上·浙江寧波·八年級?？计谀┤絷P(guān)于x的方程有且只有一個解，則a的取值范圍為．【答案】或【分析】在坐標(biāo)系中畫出，的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可．解：設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，直線經(jīng)過點(diǎn)，如圖，畫出，的圖像，由圖像知，當(dāng)時，與只有一個交點(diǎn)，故若關(guān)于x的方程有且只有一個解，則a的取值范圍為或，故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，明確函數(shù)的性質(zhì)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】由直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求一元一次不等式的解【例4】（2022上·安徽淮北·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸，軸分別交于點(diǎn)，，且與直線：相交于點(diǎn)．（1）求和的值．（2）直線，與軸圍成的三角形面積為___________．（3）的解集為___________．【答案】（1）；（2）4；（3）【分析】（1）先把C點(diǎn)坐標(biāo)代入中可求得a的值，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入中可求得k的值；（2）先解方程可得到B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式計算直線，與軸圍成的三角形面積；（3）結(jié)合圖象，寫出兩函數(shù)圖象在軸上方（含B點(diǎn)）且直線在直線上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．（1）解：把代入得,解得：把代入得，解得（2）解：由（1）可得直線的解析式為，直線的解析式為當(dāng)時,解得,點(diǎn)坐標(biāo)為直線與與軸圍成的三角形面積為：（3）解：結(jié)合圖象,的解集為【點(diǎn)撥】此題考查了一次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，直線圍成的圖形面積問題，解不等式問題，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023下·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)，那么不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論．解：根據(jù)圖象可得，一次函數(shù)在x軸下方部分對應(yīng)的x的范圍是，∴關(guān)于的不等式的解集為．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次不等式，能利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2022下·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期中）已知直線與軸和軸的交點(diǎn)分別是和，那么關(guān)于的不等式的解集是．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出直線，從而利用圖象得出關(guān)于的不等式的解集．解：如圖，根據(jù)題意畫出直線，關(guān)于的不等式的解集是．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖象，利用圖象解答．【考點(diǎn)五】由兩條直線的交點(diǎn)求一元一次不等式組的解【例5】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求的值和一次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出使函數(shù)的值大于函數(shù)的值的自變量的取值范圍．【答案】（1），一次函數(shù)解析式為；；（2）自變量x的取值范圍是．【分析】（1）先把代入正比例函數(shù)解析式可計算出，然后把代入計算出k的值，從而得到一次函數(shù)解析式為；（2）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)時，直線都在的上方，即函數(shù)的值大于函數(shù)的值．（1）解：把代入得，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，把代入得，解得，所以一次函數(shù)解析式為；（2）解：觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)時，直線都在的上方，即函數(shù)的值大于函數(shù)的值．所以自變量x的取值范圍是．【點(diǎn)撥】本題是兩條直線相交或平行問題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022上·安徽安慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與直線相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式組的解集是D．方程組，的解是【答案】D【分析】由圖象交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程組的解，根據(jù)圖象及點(diǎn)坐標(biāo)可得不等式和的解，由點(diǎn)坐標(biāo)可得的值，從而可得直線與軸的交點(diǎn)，從而可得的解集．解：由圖象可得直線與直線相交于點(diǎn)，方程的解是，故選項A正確；由圖象可得當(dāng)時，，和的解都是，故選項B正確；將代入得，解得，，將代入得，解得，時，直線在軸下方且在直線上方，的解集是．故選項C正確；直線與直線相交于點(diǎn)，方程組的解為，選項D錯誤．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)