數(shù)學(xué)八年級下冊期中優(yōu)化評（蘇科版）專題12三角形的中位線

專題12三角形的中位線知識講解三角形的中位線（一）三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半?！疚Ⅻc撥】（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系。（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的。（3）三角形的中位線不同于三角形的中線。（二）順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形；（4）順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形?！疚Ⅻc撥】新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成：（1）若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形；（2）若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形；（3）若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形。同步練習(xí)1．如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為、，點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，，點M為線段的中點，連接，當(dāng)最大時，M點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知，點C在半徑為1的上運動，取OD=OA，根據(jù)三角形的中位線定理知，點C在BD與的交點時，OM最小，在DB的延長線與的交點時，OM最大，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得C的坐標(biāo)，進而確定中點M的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵點C在坐標(biāo)平面內(nèi)，BC=1，∴C在半徑為1的上，如圖所示，取，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM為△ACD的中位線，∴，當(dāng)OM最大時，即CD最大，此時D，B，C三點共線，∵，∠BOD=90°，∴BD=2，∴CD=2+1=3，作CE⊥x軸于E點，∵CE∥OB，∴，即：，∴，∴，∴，∵M是AC的中點，∴，故選：C．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等，確定OM最大時動點C的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．如圖，中，點D、E、F分別為邊的中點，則下列關(guān)于線段和之間關(guān)系的說法中正確的是（

）A． B．C．和互相平分 D．以上答案都不對【答案】C【分析】連接FD，ED，根據(jù)三角形中位線定理可以證明四邊形AEDF是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：如圖，連接FD，ED，∵，點D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點，∴DE，DF，EF都是△ABC的中位線，∴DF∥AC，DE∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴EF與AD互相平分，故C符合題意，D不符合題意；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出AD=EF，AD⊥EF，故A、B不符合題意，故選C．【點睛】本題主要考查了中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．3．如圖，在中，，，、分別是其角平分線和中線，過點作于，交于，連接，則線段的長為（

）A．1 B．2 C． D．7【答案】A【分析】根據(jù)已知條件利用ASA證明．再計算出BG，根據(jù)點E、F是中點，得到EF是△BGC的中位線，得出EF的長度．【詳解】解：∵∴∠AFC=∠AFG∵AF是的角平分線∴∠GAF=∠CAF在和中，，，，，，，，，故選：．【點睛】本題考查三角形的中位線、全等三角形．靈活使用中點是本題的解題關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，，D、E分別是、的中點，則的長為（

）A．3 B．2.5 C．4 D．3．5【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等于的一半．【詳解】解：點、分別是邊、的中點，∴是的中位線，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查三角形的中位線定理，三角形共有三條中位線，每一條中位線與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，弄清哪條邊昰第三邊是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，菱形的對角線，相交于點，，分別是，邊上的中點，連接．若，，則菱形的面積為()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中位線定理可得對角線AC的長，再由菱形面積等于對角線乘積的一半可得答案．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是AD，CD邊上的中點，EF=，∴AC=2EF=2，又∵BD=2，∴菱形ABCD的面積S=×AC×BD=×2×2=2，故選：A．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與中位線定理，熟練掌握中位線定理和菱形面積公式是關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于點E，則DE的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，根據(jù)勾股定理可得BC=6，又因DE垂直平分AC，∠ACB=90°，可得DE為△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可得DE=BC=3，【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，勾股定理可得BC=＝6，又∵DE垂直平分AC，∠ACB=90°，∴DE為△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理DE=BC=3，故答案選D.【點睛】本題考查勾股定理，三角形的中位線定理，掌握勾股定理，三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵．7．若梯形中位線的長是高的2倍，梯形的面積是18cm2

，則這個梯形的高等于（

）A．6cm B．6cm C．3cm D．3cm【答案】D【分析】根據(jù)梯形的中位線定理，知梯形的面積=梯形的中位線×高．根據(jù)這一面積公式，列方程求解．【詳解】設(shè)高為xcm，則梯形的中位線是2xcm.根據(jù)梯形的面積公式,得2x=18,解得x=±3(取正值).故選D.【點睛】此題考查梯形中位線定理，解題關(guān)鍵在于掌握運算公式.8．如圖，已知點E、F、G．H分別是菱形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明；【詳解】解：連接AC、BD．AC交FG于L．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DH=HA，DG=GC，∴GH∥AC，

同法可得：，EF∥AC，∴GH=EF，GH∥EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，同法可證：GF∥BD，∴∠OLF=∠AOB=90°，∵AC∥GH，∴∠HGL=∠OLF=90°，∴四邊形EFGH是矩形．故選B．【點睛】題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定等、三角形的中位線定理知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，點，分別是，的中點，連接，若，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求出BD的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OD的長，最后根據(jù)三角形中位線定理得出EF的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，∵，，∴AC=∴BD=10cm，∴，∵點，分別是，的中點，∴．故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．10．如圖，在中，，是的中點，過點作的平行線，交于點E，作的垂線交于點，若，且的面積為1，則的長為（）A． B．5 C． D．10【答案】A【分析】過A作AH⊥BC于H，根據(jù)已知條件得到AE=CE，求得DE=BC，求得DF=AH，根據(jù)三角形的面積公式得到DE?DF=2，得到AB?AC=8，求得AB=2（負值舍去），根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：過A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中點，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴AE=CE，∴DE=BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF=HF，∴DF=AH，∵△DFE的面積為1，∴DE?DF=1，∴DE?DF=2，∴BC?AH=2DE?2DF=4×2=8，∴AB?AC=8，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=AC，∴AB?2AB=8，∴AB=2（負值舍去），∴AC=4，∴BC=．故選：A．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形的面積的計算，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．11．如圖，CD是△ABC的中線，點E、F分別是AC、DC的中點，EF=1則BD=_______．【答案】2.【詳解】試題分析：由題意可知EF是△ADC的中位線，由此可求出AD的長，再根據(jù)中線的定義即可求出BD的長：∵點E、F分別是AC、DC的中點，∴EF是△ADC的中位線.∴EF=AD.∵EF=1，∴AD=2.∵CD是△ABC的中線，∴BD=AD=2.考點：1.三角形中位線定理；2..三角形中線性質(zhì).12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF＝BC，連接EF.若AB＝10，則EF的長是________．【答案】5【詳解】如圖，連接DC，根據(jù)三角形中位線定理可得，DE=BC，DE∥BC，又因CF=BC，可得DE=CF，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形CDEF是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得EF=DC．在Rt△ABC中，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得DC=AB=5，所以EF=DC=5．故答案為5.13．如圖，是矩形的對角線的中點，是的中點．若，，則四邊形的周長為_______.【答案】20【分析】先由，得到，然后結(jié)合矩形的性質(zhì)得到，再結(jié)合點和點分別是和的中點得到和的長，最后得到四邊形的周長．【詳解】解：，，，，，點和點分別是和的中點，，，是的中位線，，．故答案為：20．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的性質(zhì)．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=OB，點E、點F分別是OA、OD的中點，連接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于點M，EM交BD于點N，F(xiàn)N=，則線段BC的長為_____．【答案】【分析】設(shè)EF=x，根據(jù)三角形的中位線定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，證明△EMC是等腰直角三角形，則∠CEM=45°，證明△ENF≌△MNB，則EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理計算x的值，可得BC的長．【詳解】設(shè)EF=x，∵點E、點F分別是OA、OD的中點，∴EF是△OAD的中位線，∴AD=2x，AD∥EF，∴∠CAD=∠CEF=45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC=2x，∴∠ACB=∠CAD=45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM=45°，連接BE，∵AB=OB，AE=OE∴BE⊥AO∴∠BEM=45°，∴BM=EM=MC=x，∴BM=FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN=MN=x，BN=FN=，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，∴()2＝x2+(x)2，x=2或2（舍），∴BC=2x=4．故答案為4．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；解決問題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，利用方程思想解決問題．15．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分別是它的角平分線和中線，過點C作CG⊥AD，垂足為點F，連接EF，則EF=__．【答案】1【分析】首先證明AG=AC，再證明EF是△BCG的中位線，根據(jù)EF=BG即可解決問題．【詳解】解：∵∠DAG=∠DAC，AD⊥CG，∴∠AFC=∠AFG=90°，∴∠AGC+∠GAF=90°，∠ACG+∠CAF=90°，∴∠AGC=∠ACG，∴AG=AC=3，GF=FC，∵BE=CE，∴EF=BG=（ABAG）=×（53）=1，故答案為：1．【點睛】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，中線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件證明△AGC是等腰三角形，屬于中考?？碱}型．16．如圖1，在中，點是邊的中點，點在內(nèi)，平分，，點在邊上，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）判斷線段、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．（3）點是的邊上的一點，若的面積，請直接寫出的面積（不需要寫出解答過程）．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）=3．【分析】（1）證明△AGE≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到GE＝EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件EF∥BC可證出結(jié)論；（2）先證明BF＝DE＝BG，再證明AG＝AC，可得到BF＝（AB?AG）＝（AB?AC）；(3)根據(jù)△DCE中DC邊上的高與BDEF中BD邊上的高相等，得出BDEF的面積為6，設(shè)BDEF中BF邊上的高為h，由即可求解．【詳解】（1）延長交于點，，，又∵平分，∴∠GAE=∠CAE在和中，，，，∵點是邊的中點，∴為的中位線，，，四邊形是平行四邊形．（2）四邊形是平行四邊形，，，分別是，的中點，，，，．（3）如圖：∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC邊上的高與BDEF中BD邊上的高相等，∴∵BF∥DE設(shè)BDEF中BF邊上的高為h，則=（DE+BP）×h÷2BP×h÷2=DE×h÷2=6÷2=3．【點睛】此題主