山東省淄博重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

淄博重點(diǎn)中學(xué)2023級(jí)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試一．選擇題（本大題共8小題，共40分，在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．已知集合，集合，下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．2．已知命題：，，那么命題的否定是（）A．， B．， C．， D．，3．下列各組的兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)的是（）A．，B．，C．，D．，4．已知函數(shù)則（）A． B．2 C． D．35．已知對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或 C．或 D．6．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中正確的（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若對(duì)任意的，，且，都有成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．二．多選題（共4小題）9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．10．已知集合，，若，則（）A． B．1 C．0 D．211．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．為奇函數(shù) C．為偶函數(shù) D．為上的增函數(shù)12．函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．三．填空題（共4小題）13．函數(shù)的定義域是________．14．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為減函數(shù)，則________．15．函數(shù)，在定義域R上滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則a的取值范圍是________．16．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，側(cè)實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．四．解答題（共6小題）17．已知集合，，（1）求，；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（1）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；19．已知集合，集合，命題：，命題：．（1）當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，p是q的充要條件；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目．經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為：，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將給予補(bǔ)貼．（I）當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?（II）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低?21．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．（1）求函數(shù)的解析式．（2）定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．22．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求a，b的值；（2）用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．淄博重點(diǎn)中學(xué)2023級(jí)高一上學(xué)期期中考試參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可解．【解答】解：因?yàn)榧?，集合，?duì)于A，符合方程，故A正確，對(duì)于B，A是數(shù)集，B是點(diǎn)集，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，不符合符合方程，故D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解．【解答】解：命題p：，，那么命題p的否定是，．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】通過求函數(shù)的定義域，可看出A，B兩選項(xiàng)函數(shù)的定義域不同，兩函數(shù)不相等，而選項(xiàng)C的兩函數(shù)解析式不同，也不相等，只能選D．【解答】解：A．的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域不同，兩函數(shù)不相等；B．的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，定義域不同，不相等；C．，，解析式不同，不相等；D．的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域和解析式都相同，相等．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)的定義，判斷兩函數(shù)相等的方法：看定義域和解析式是否都相同．4．【分析】由題意，利用分段函數(shù)的解析式先求出的值，可得要求式子的值．【解答】解：函數(shù)，則，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用分段函數(shù)的解析式求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．5．答案：D6．答案：B7．【分析】將不等式有解轉(zhuǎn)化為即可，利用1的代換結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：若不等式有解，即即可，，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，即，則由得，即，得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用不等式有解轉(zhuǎn)化為最值問題是解決本題的關(guān)鍵．8．【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)，則不等式等價(jià)為，即當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，作出的圖象如圖：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，綜上x的取值范圍是，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．二．多選題（共4小題）9．【分析】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：在上單調(diào)遞減，不符合題意；為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，符合題意；為奇函數(shù)，不符合題意；為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】可求出，根據(jù)可得出，然后討論a：時(shí)，顯然滿足題意；時(shí)，可得出或1，解出a的值即可．【解答】解：，，且，，①時(shí)，，滿足題意；②時(shí)，，則或1，或1，綜上得或1或0．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法、列舉法的定義，一元二次方程的解法，交集的定義及運(yùn)算，子集的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】求得的值判斷選項(xiàng)A，利用函數(shù)奇偶性定義判斷選項(xiàng)BC；利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷選項(xiàng)D．【解答】解：，，，可令，則，得，故A正確；令，則，得．故B正確，C錯(cuò)誤；設(shè)任意實(shí)數(shù)，且，令，，則，，，又當(dāng)時(shí)，，，即，為R上的增函數(shù)，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．12．【分析】分，，三種情況討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，為反比例函數(shù)，故選項(xiàng)C符合；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可得在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B符合；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可得在，，，上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A符合．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖像的判斷，考查分類討論思想與邏輯推理能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．【分析】依題意可知，根號(hào)下的式子為非負(fù)且分式的分母不為0，解不等式即可求得結(jié)果．【解答】解：由題意知，，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)定義域的求法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】運(yùn)用冪函數(shù)的定義，可得，解得m，再由冪函數(shù)的單調(diào)性即可得到m，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組解得即可．【解答】解：由冪函數(shù)定義可知：，解得或，又函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，不符合題意則，，，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】由已知可得函數(shù)，在定義域R上為減函數(shù)，則，解得a的取值范圍．【解答】解：若在定義域R上滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)，在定義域R上為減函數(shù)，則解得：，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解分段函數(shù)的單調(diào)性，是解答的關(guān)鍵．16．【分析】令、，求出函數(shù)的最小值及函數(shù)的單調(diào)性，再求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后對(duì)m分類討論，分別計(jì)算可得．【解答】解：對(duì)于函數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于函數(shù)，令，則，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，令，解得或，所以與的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，則函數(shù)與的圖象如下所示：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)函數(shù)的值域不為R，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的值域不為R，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，即，此時(shí)的值域?yàn)镽，符合題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)镽，符合題意；綜上可得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的值域，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．四．解答題（共6小題）17．【分析】（1）根據(jù)交集，并集的定義即可求；（2）由已知得到C為A的子集，利用數(shù)軸確定出a的范圍．【解答】解：（1），，，；（2），，，，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集、并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）直接用換元法或整體配湊法即可求得解析式；（2）直接用待定系數(shù)法即可求得解析式；【解答】解：（1）設(shè)（2）是二次函數(shù)，設(shè)，由，得，由，得，整理得，，，，，；【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求函數(shù)解析式，屬中檔題．19．【分析】（1）求出集合B，根據(jù)p是q的充要條件得到，即可求出a的值，（2）由題意可得A是B的真子集，分類討論，得到關(guān)于a的不等式組，解得即可．【解答】解：（1），即，有，解得，故，因?yàn)閜是q的充要條件，所以，故的解集也為，所以，即；（2）因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以A是B的真子集，①當(dāng)，此時(shí)即或0，符合題意，②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，即，此時(shí)，解得，由當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，解得，綜上所述a的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二次不等式、充分必要條件與集合的包含關(guān)系，屬于中檔題．20．【分析】（I）先確定該項(xiàng)目獲利的函數(shù)，再利用配方法確定不會(huì)獲利，從而可求政府每月至少需要補(bǔ)貼的費(fèi)用；（II）確定食品殘?jiān)拿繃嵉钠骄幚沓杀竞瘮?shù)，分別求出分段函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)論．【解答】解：（I）當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)目獲利為S，則，當(dāng)時(shí)，，因此，該項(xiàng)目不會(huì)獲利當(dāng)時(shí)，S取得最大值，所以政府每月至少需要補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損；（II）由題意可知，生活垃圾每噸的平均處理成本為：當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值240；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值200因?yàn)?，所以?dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．【點(diǎn)評(píng)】知識(shí)點(diǎn)基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)關(guān)系式．21．【分析】（1）分及，利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可求得；（2）寫出函數(shù)在上的解析式，利用函數(shù)性質(zhì)可知，解出即可．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)；綜上，（2）當(dāng)時(shí)，，即易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，，解得或，綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用，考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．22．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)求得a，b；（2）根據(jù)函數(shù)