對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

對(duì)數(shù)的概念與運(yùn)算假設(shè)2004年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)8％，那么多少年后我國(guó)的國(guó)民生產(chǎn)總值是2004年時(shí)的2倍？解:假設(shè)經(jīng)過x年國(guó)民生產(chǎn)總值為2004年時(shí)的2倍，根據(jù)題意有:思考？1.對(duì)數(shù)的概念

在指數(shù)函數(shù)ｙ＝ａ中，對(duì)于實(shí)數(shù)集Ｒ內(nèi)的每一個(gè)值ｘ，在正實(shí)數(shù)集內(nèi)都有唯一確定的值ｙ和它對(duì)應(yīng)；x反之，對(duì)于正實(shí)數(shù)內(nèi)的每一個(gè)確定的值ｙ，在Ｒ內(nèi)都有唯一確定的值ｘ和它對(duì)應(yīng)；冪指數(shù)ｘ，又叫做以ａ為底ｙ的對(duì)數(shù)．例如因?yàn)樗裕彩且裕礊榈?6的對(duì)數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)樗?是以４為底4的對(duì)數(shù)所以一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么就稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．讀作：以a為底N的對(duì)數(shù)

注：指數(shù)式和對(duì)數(shù)式表示的是a,b,N三者之間的同一關(guān)系，只是表示形式不同而已。ab=NlogN=ba底數(shù)指數(shù)冪底數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)填空：1、2、２、b的范圍是Ｒ３、Ｎ的范圍是R+

，為什么會(huì)有這個(gè)結(jié)論？想想看：在對(duì)數(shù)式中，a，b，N的取值范圍分別是什么？１、a的范圍是a＞0，a≠1一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么就稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．再來回顧一下定義：探究：

⑴負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)（∵在指數(shù)式中N>0）⑵對(duì)任意且都有⑶對(duì)數(shù)恒等式設(shè)則則有N2.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)(1)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)

為了方便，N的常用對(duì)數(shù)log10N簡(jiǎn)記為lgN。例如log102簡(jiǎn)記為lg2

log1012簡(jiǎn)記為lg12

(2)在科學(xué)技術(shù)中常常使用以一個(gè)無理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對(duì)數(shù)，這樣的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)為了方便，N的自然對(duì)數(shù)logeN簡(jiǎn)記為：lnN。例如loge2簡(jiǎn)記為ln2

loge12簡(jiǎn)記為ln12例1將下列指數(shù)式改為對(duì)數(shù)式(1)24=16(2)3-3=(3)5a=20(4)()b=0.45解(1)log216=4(2)log3=-3(3)log520=a(4)log0.45=b例2把下列對(duì)數(shù)式改寫成指數(shù)式例3求下列各式的值:(1)log264;(3)lg1;(5)lg0.001;2-306(6)log927.(2)log3.19___(4)lg100.-232____練習(xí)13.積、商冪的對(duì)數(shù)用表示下列各式：解：（2）

解：（1）

例4(1)log2(23×45)(2)log513練習(xí)2例5已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,求下列各式的值(結(jié)果保留四位小數(shù)):(1)lg36

(2)1.55620.4034例6

解法一：

解法二：

練習(xí)：12_____14.換底公式證明：例7求的值例8求證：證明：因?yàn)樗岳?求證：……………….=3=4/3=13計(jì)算:例10解:練習(xí)1.計(jì)算下列各式的值.312——12——5.換底公式.小結(jié)4.對(duì)數(shù)的運(yùn)算.3.常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù).2.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.1.對(duì)數(shù)的概念、表示.1．在指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)中，冪指數(shù)x，又叫做________，記作________，即________．?dāng)?shù)a叫做對(duì)數(shù)的________，y叫做________，讀作________．2．對(duì)數(shù)恒等式：________.3．對(duì)數(shù)logaN(a>0且a≠1)的性質(zhì)：(1)________；(2)________；(3)________．4．以10為底的對(duì)數(shù)叫做________，即把log10N記作___．以a為底y的對(duì)數(shù)logayx＝logay(a>0，且a≠1)底數(shù)真數(shù)x等于以a為底y的對(duì)數(shù)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即N>01的對(duì)數(shù)為零，即loga1＝0底的對(duì)數(shù)等于1，即logaa＝1常用對(duì)數(shù)lgNlogaM＋logaNlogaN1＋logaN2＋…＋logaNk同一底數(shù)的各因數(shù)對(duì)數(shù)的和同一底數(shù)的被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)冪指數(shù)乘以同一底數(shù)冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)答案：1.以a為底y的對(duì)數(shù)logay

x＝logay(a>0，且a≠1)底數(shù)真數(shù)x等于以a為底y的對(duì)數(shù)3．零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即N>0

1的對(duì)數(shù)為零，即loga1＝0底的對(duì)數(shù)等于1，即logaa＝14．常用對(duì)數(shù)lgN5．logaM＋logaN

logaN1＋logaN2＋…＋logaNk同一底數(shù)的各因數(shù)對(duì)數(shù)的和同一底數(shù)的被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)冪指數(shù)乘以同一底數(shù)冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)1．對(duì)數(shù)式與指數(shù)式有何關(guān)系？在對(duì)數(shù)符號(hào)logaN中，為什么規(guī)定a>0，a≠1，N>0呢？對(duì)數(shù)的概念是這么說的：一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么就稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．從定義不難發(fā)現(xiàn)無論是指數(shù)式ab＝N，還是對(duì)數(shù)式logaN＝b都反映的是a、b、N三數(shù)之間的關(guān)系．在對(duì)數(shù)符號(hào)logaN中，若a<0，則N為某些值時(shí)，logaN不存在，如log(－2)8不存在．若a＝0，則N不為0時(shí)，logaN不存在；N為0時(shí)，logaN可以為任何正數(shù)，不唯一．若a＝1，則N不為1時(shí)，logaN不存在；N為1時(shí)，logaN可以為任何實(shí)數(shù)，不唯一．因此規(guī)定a>0且a≠1.因?yàn)閘ogaN＝b?ab＝N，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因此N>0.題型一對(duì)數(shù)式中底數(shù)和真數(shù)的范圍求解．【例1】對(duì)數(shù)式log(a－3)(7－a)＝b中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，7)

B．(3,7)C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)答案：C分析：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義知，先看底數(shù)a－3>0，且a－3≠1，再看真數(shù)7－a>0，要使對(duì)數(shù)式有意義，必須以上條件都適合，因此，應(yīng)該解以上不等式組成的不等式組．評(píng)析：求a的范圍問題，往往轉(zhuǎn)化為求不等式的解集．變式訓(xùn)練1求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范圍．分析：根據(jù)對(duì)數(shù)式的定義求解．評(píng)析：明確對(duì)數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式是互逆的，二者能夠相互轉(zhuǎn)化，熟練掌握二者的互化，能夠加深對(duì)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的理解，為后面學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．評(píng)析：(1)解題要注意尋找已知和所求之間的聯(lián)系，尋找共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，再化異為同，就能解決問題．本題的共同點(diǎn)是已知和所求中都是以3為底的對(duì)數(shù)，不同點(diǎn)是真數(shù)不同，因此，將真數(shù)30化為3×2×5，從而與已知產(chǎn)生聯(lián)系．(2)已知條件中有a、b、c三個(gè)量，令人無所適從，這時(shí)，設(shè)3a＝4b＝6c＝k，則a、b、c都統(tǒng)一用一個(gè)量k來表示，則稱k為基本量，用基本量法解題，能夠減少未知量，并能很快地找出各個(gè)量之間的聯(lián)系，能夠迅速架起已知和未知的橋梁，能夠集中目標(biāo)，提高解題速度．分析：反復(fù)使用對(duì)數(shù)恒等式，即可得解．

分析：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用．

答案：A分析：本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，首先看真數(shù)和底數(shù)的取值范圍，其次看符合哪條運(yùn)算法則．解：①、②、⑤犯了相同的錯(cuò)誤，歪曲了運(yùn)算法則logaMn＝nlogaM.評(píng)析：初學(xué)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，最容易犯的錯(cuò)誤就是對(duì)運(yùn)算法則記憶不牢，從而引起混亂．避免出錯(cuò)的方法是：首先會(huì)用文字語言敘述運(yùn)算法則，其次多做一些對(duì)數(shù)運(yùn)算的習(xí)題，在實(shí)踐中掌握運(yùn)算法則，在實(shí)踐中鞏固和記憶運(yùn)算法則．分析：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入即可．

分析：利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值，首先要明確解題目標(biāo)是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，才能使用性質(zhì)，再找真數(shù)間的聯(lián)系，對(duì)于復(fù)雜的真數(shù)，可以先化簡(jiǎn)再計(jì)算．評(píng)析：(1)在(1)題中，log32為最簡(jiǎn)形式，以此為目標(biāo)，化簡(jiǎn)各項(xiàng)，使各項(xiàng)都統(tǒng)一到log32，必能合并同類項(xiàng)，求出結(jié)果．(2)在(2)題中，lg2到lg5都很簡(jiǎn)單，本題統(tǒng)一到用lg2或lg5表示都可以，但式子中出現(xiàn)了(lg2)2，因此，將各項(xiàng)都轉(zhuǎn)化為用lg2表示較好．(3)當(dāng)所給式子較繁瑣時(shí)，可以先將各個(gè)式子分別化簡(jiǎn)．對(duì)于分式，要聯(lián)想到能約分，要將分子、分母分別構(gòu)造相同的因式；對(duì)于根式，要聯(lián)想到能夠構(gòu)造完全平方式，以便消去根號(hào)．分析：(1)由于24,12,6都可分解成2和3的這兩個(gè)質(zhì)因子的積或冪，所以可運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)直接將原式轉(zhuǎn)化為含log23的式子再化簡(jiǎn)即可．或利用題中各對(duì)數(shù)均為同底的對(duì)數(shù)，可逆用運(yùn)算性質(zhì)將之化為一個(gè)對(duì)數(shù)的計(jì)算問題．(2)所含對(duì)數(shù)底數(shù)不同，因此可考慮用對(duì)數(shù)換底公式化為同底對(duì)數(shù)的運(yùn)算．分析：①觀察底數(shù)是否相同，若不同，換底求值；②對(duì)積、商、冪的公式應(yīng)多練多用．變式訓(xùn)練6分析：用換底公式求解．整體探究解讀題型一對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【例1】若log567＝a，求：(1)log568；(2)log562.分析：對(duì)于第(1)題，已知與未知的對(duì)數(shù)式中，底數(shù)相同，真數(shù)不同，尋找真數(shù)的聯(lián)系，8＝56÷7，第(1)問解決；第(2)問可以用第(1)問的結(jié)果，因此，找8與2的聯(lián)系，2＝，問題獲解．評(píng)析：在本題中，log5656＝1，起到了橋梁的作用，溝通了7與8的聯(lián)系，可見，在解題中，要注意聯(lián)想logaa＝1這個(gè)重要恒等式．題型二整體思想在解題中的應(yīng)用分析：根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，loga1＝0，logaa＝1，逐層消去對(duì)數(shù)符號(hào)．評(píng)析：本題要以整體的思想去解決，首先視中括號(hào)為一個(gè)整體．消去中括號(hào)后，再視小括號(hào)為一個(gè)整體，逐層深入，使問題得到解決．題型三對(duì)數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則的應(yīng)用【例3】已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求的值．分析：先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的定義化簡(jiǎn)，找出x與y的關(guān)系，然后求值．解：∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y(tǒng)，或x＝4y.評(píng)析：在使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)中，要特別注意公式成立的前提條件，要注意等價(jià)變形，當(dāng)變形不等價(jià)時(shí)，要將解方程后的結(jié)果根據(jù)條件進(jìn)行取舍．題型四指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化【例4】已知log23＝a,3b＝7，求log1256的值．分析：先將3b＝7轉(zhuǎn)化為log37＝b，然后設(shè)法將log1256化成關(guān)于log23和log37的表達(dá)式，即可求值．解法一：∵log23＝a，∴2a＝3.又3b＝7，∴7＝(2a)b＝2ab.故56＝23＋ab.又12＝3×4＝2a·4＝2a＋2.評(píng)析：解法一借助指數(shù)變形來解；解法二與解法三是利用換底公式來解，顯得較簡(jiǎn)明，應(yīng)用對(duì)數(shù)換底公式解這類題的關(guān)鍵是適當(dāng)選取新的底數(shù)，從而把已知對(duì)數(shù)和所求對(duì)數(shù)都換成新的對(duì)數(shù)，再代入求值即可．題型五對(duì)數(shù)恒等式的證明【例5】

(1)設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊長(zhǎng)，其中c為斜邊，且c≠1，求證：log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.(2)已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4471，lgx＝－2＋0.7781，求x.(2)解：∵lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，而0.3010＋0.4771＝0.7781，∴l(xiāng)gx＝－2＋lg2＋lg3，即lgx＝lg10－2＋lg6，