專題2.11 有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型（華東師大版）（原卷版）

專題2.11有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型【華東師大版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共36題，共六大題型，每個(gè)題型6題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型的理解！【題型1數(shù)列型規(guī)律探究】1．（2023春·山東濟(jì)寧·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將大小相同的小圓規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有5個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有8個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有11個(gè)小圓，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)是（

）A．3n-2個(gè) B．3n+2個(gè) C．5n+1個(gè) D．5n-1個(gè)2．（2023春·安徽滁州·七年級(jí)?？计谥校┠撤N細(xì)胞開始分裂時(shí)有兩個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去一個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，按此規(guī)律，8小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是（）A．253 B．255 C．257 D．2593．（2023春·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示：下列各三角形中的三個(gè)數(shù)均有相同的規(guī)律，由此規(guī)律最后一個(gè)三角形中，y的值是（

）A．380 B．382 C．384 D．3864．（2023春·全國·七年級(jí)期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)1,現(xiàn)將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸作如下移動(dòng)，第一次將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)A1，第二次將點(diǎn)A1向右移動(dòng)6個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)A2，第三次將點(diǎn)A2向左移動(dòng)9個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)A3，…，按照這種移動(dòng)規(guī)律進(jìn)行下去，第2021A．-3029 B．-3032 C．-3035 D．-30385．（2023春·江西上饒·七年級(jí)校考期中）把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，現(xiàn)用等式AM=(i，j)表示正整數(shù)M是第i組第j個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=()A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)6．（2023春·湖南永州·九年級(jí)?？计谥校┯^察下列算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75【題型2裂差型規(guī)律探究】1．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)期末）如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為12的矩形，接著把其中一個(gè)面積為12的矩形等分成兩個(gè)面積為14的矩形，再把其中一個(gè)面積為14的矩形等分成兩個(gè)面積為12．（2023春·福建泉州·七年級(jí)福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1=11×3=第3個(gè)等式：a3=15×7=…請(qǐng)回答下列問題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5=_________=（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an=_________=_________(n為正整數(shù)（3）求a1（4）求15×103．（2023春·北京·七年級(jí)景山學(xué)校?？计谥校┰谟行┣闆r下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式：①|(zhì)7＋2|＝；②|－12＋15|＝（2）用簡單的方法計(jì)算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋4．（2023春·河北保定·七年級(jí)校聯(lián)考期中）觀察下列各式：-1×--……(1)按照上述規(guī)律，第4個(gè)等式是：________________________________(2)第n個(gè)等式是：________________________(3)運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：-(4)-1×15．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谥校?）121212猜想：12（2）根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問題：①計(jì)算：1②將2020減去它的12，再減去余下的13，再減去余下的14……，依次類推，最后減去余下的6．（2023春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道：1-12=21×2-11×2=11×2；12-13根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問題：(1)11×2+(2)計(jì)算：11×5(3)計(jì)算：11×4×7【題型3新定義型規(guī)律探究】1．（2023春·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┮阎篊32=3×21×2=3，C532．（2023春·全國·七年級(jí)期末）符號(hào)“f”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…；（2）f(12)=2，f(13)=3，利用以上規(guī)律計(jì)算：f(12008)-f(2008)3．（2023春·江西宜春·七年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定fx=x1+x，例如：f2=21+2f12019+f120184．（2023春·山西臨汾·七年級(jí)校聯(lián)考期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．老師說：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫※（加乘）運(yùn)算．”然后老師寫出了一些按照※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；(-3)※(-5)=+(|3|+|5|)=+8；(-3)※(+4)=-(|3|+|4|)=-7；(+5)※(-6)=-(|5|+|6|)=-11；0※(+8)=8；(-6)※0=6．小明看了這些算式后說：“我知道老師定義的※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則了．”聰明的你也明白了嗎？(1)歸納※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則．兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算法則是：；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算運(yùn)算法則是：．(2)計(jì)算：①(-5)※0※(-3)②(-4)※3※5．（2023春·重慶潼南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，探究規(guī)律，完成下列問題．甲同學(xué)說：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫*（加乘）運(yùn)算．“然后他寫出了一些按照*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9；(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7．乙同學(xué)看了這些算式后說：“我知道你定義的*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則了．”聰明的你也明白了嗎？(1)請(qǐng)你根據(jù)甲同學(xué)定義的*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則，計(jì)算下列式子：(-2)*(-7)=；(+4)*(-3)=；0*(-5)=．請(qǐng)你嘗試歸納甲同學(xué)定義的*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：兩數(shù)進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算時(shí)，．特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算，．(2)我們知道有理數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，這兩種運(yùn)算律在甲同學(xué)定義的*（加乘）運(yùn)算中還適用嗎？請(qǐng)你任選一個(gè)運(yùn)算律，判斷它在*（加乘）運(yùn)算中是否適用，并舉例驗(yàn)證．（舉一個(gè)例子即可）6．（2023春·北京房山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將n個(gè)互不相同的整數(shù)置于一排，構(gòu)成一個(gè)數(shù)組．在這n個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“-”號(hào)，可以得到一個(gè)算式．若運(yùn)算結(jié)果可以為0，我們就將這個(gè)數(shù)組稱為“運(yùn)算平衡”數(shù)組．（1）數(shù)組1，2，3，4是否是“運(yùn)算平衡”數(shù)組？若是，請(qǐng)?jiān)谝韵聰?shù)組中填上相應(yīng)的符號(hào)，并完成運(yùn)算；1

2

3

4

=（2）若數(shù)組1，4，6，m是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，則m的值可以是多少？（3）若某“運(yùn)算平衡”數(shù)組中共含有n個(gè)整數(shù)，則這n個(gè)整數(shù)需要具備什么樣的規(guī)律？【題型4含n2型規(guī)律探究】1．（2023春·全國·七年級(jí)期末）觀察下列等式：（1）1（2）1（3）1（4）1……根據(jù)此規(guī)律，第10個(gè)等式的右邊應(yīng)該是a2，則a的值是（

A．45 B．54 C．55 D．652．（2023·浙江嘉興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）數(shù)列：0，2，4，8，12，18，…是我國的大衍數(shù)列，也是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．該數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)可表示為n2-12如：第一個(gè)數(shù)為12-12=0，第二個(gè)數(shù)為2現(xiàn)在數(shù)軸的原點(diǎn)上有一點(diǎn)P，依次以大衍數(shù)列中的數(shù)為距離向左右來回跳躍．第1秒時(shí)，點(diǎn)P在原點(diǎn)，記為P1；第2秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳2個(gè)單位，記為P2，此時(shí)點(diǎn)P2所表示的數(shù)為-2；第3秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳4個(gè)單位，記為P3，此時(shí)點(diǎn)P3所表示的數(shù)為2；…按此規(guī)律跳躍，點(diǎn)P20表示的數(shù)為．3．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期末）觀察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④……（1）第⑤個(gè)式子，第⑩個(gè)式子；（2）請(qǐng)用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上述的規(guī)律，并證明：（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…4．（2023春·四川樂山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）(1)把左右兩邊計(jì)算結(jié)果相等的式子用線連接起來：1﹣1(1+11﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+(2)觀察上面計(jì)算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：1﹣1n2(3)利用上述規(guī)律計(jì)算下式的值：(1-122)×(1-132)×(1-145．（2023春·河南鄭州·七年級(jí)鄭州外國語中學(xué)?？计谥校╅喿x探究：12=1×2×36；12+(1)根據(jù)上述規(guī)律，求12(2)你能用一個(gè)含有n（n為正整數(shù)）的算式表示這個(gè)規(guī)律嗎？請(qǐng)直接寫出這個(gè)算式（不計(jì)算）；(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算下面算式的值：1126．（2023春·北京·七年級(jí)北京四中?？计谥校╅喿x材料．我們知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32+…+n在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2，即22，…；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n+n+n+…+n，即n2．這樣，該三角形數(shù)陣中共有nn+12個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…+n【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3（12+22+32+…+n2）=，因此，12+22+32+…+n2=．【解決問題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：12+22+【題型5定義兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算】1．（2023春·天津·七年級(jí)校考期末）現(xiàn)定義運(yùn)算“*”，對(duì)于任意有理數(shù)a，b滿足a*b＝2a-b,a≥ba-2b,a<b．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1＝12﹣2×1＝﹣32，若x*3＝A．4 B．11 C．4或11 D．1或112．（2023春·重慶萬州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)定：a?b=2a-3b等式右邊的運(yùn)算就是加、減、乘、除四則運(yùn)算，例如：2?(-3)=2×2-3×(-3)=4+9=13，1?2=2×1-3×2=2-6=-4．則-1?3?-2A．-2 B．-18 C．-28 D．-383．（2023春·浙江臺(tái)州·七年級(jí)校考期中）定義：對(duì)于任意的有理數(shù)a，ba≠b，a⊕b=(1)探究性質(zhì)：①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；-3⊕2=_________；-3⊕②可以再舉幾個(gè)例子試試，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？請(qǐng)用含a，b的式子表示出a⊕b的一般規(guī)律；(2)性質(zhì)應(yīng)用：①運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求【-92.5②將-11，-10，-9，-8……，7，8這20個(gè)連續(xù)的整數(shù)，任意分為10組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個(gè)數(shù)中任一數(shù)值記作a，另一個(gè)記作b，求出a⊕b，10組數(shù)代入后可求得10個(gè)a⊕b的值，則這10個(gè)值的和的最小值是．4．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）材料一：對(duì)任意有理數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”，a?b=a+b-20232，如：1?2=1+2-2023材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數(shù)，如3.1=3，-2=-2，(1)2?6=______，-ππ=______(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數(shù)m，n滿足m=2n=3n+15．（2023春·江蘇淮安·七年級(jí)洪澤外國語中學(xué)?？计谥校┒x新運(yùn)算“⊙”：對(duì)于有理數(shù)a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．(1)計(jì)算(-5)⊙(-1)的結(jié)果是______．(2)有理數(shù)m，n滿足(m+2)2+n6．（2023春·湖南邵陽·七年級(jí)校聯(lián)考期中）定義一種運(yùn)算符號(hào)“★”：a★b=a2-ab，如：-2★3=-2【題型6定義多個(gè)數(shù)的運(yùn)算】1．（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校?duì)一組數(shù)(x?,??y)的一次操作變換記為P1(x?,??y)，定義其變換法則如下：P1(x?,??y)=(x+y?A．(0?,??21005) B．(02．（2023春·全國·七年級(jí)期中）對(duì)于正整數(shù)n，定義Fn=n2,n<10fn,n≥10，其中fn表示n的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和．例如：F6=62=36，F(xiàn)123=13．（2023春·山東東營·八年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于正數(shù)x規(guī)定f(x)=11+x，例如：f(3)=11+3=14，f(15)=11+15=4．（2023春·甘肅蘭州·七年級(jí)蘭州十一中?？计谥校靖拍顚W(xué)習(xí)】定義新運(yùn)算：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方．比如2÷2÷2，-3÷-3÷-3÷-3等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”寫作-3一般地，把a(bǔ)÷a÷a÷?÷an個(gè)aa≠0記作：an，讀作“a的圈n【初步探究】a的圈n次方(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：2022②=______，-(2)若n為任意正整數(shù)，下列關(guān)于除方說法中，正確的有_____；（橫線上填寫序號(hào)）A．任意非零數(shù)的圈2次方都等于1B．任意非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)C．圈n次方等于它本身的數(shù)是1或-1D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)E．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的圈n次方互為相反數(shù)F．互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的圈n次方互為倒數(shù)【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)