專(zhuān)題05 和數(shù)列有關(guān)的規(guī)律類(lèi)運(yùn)算探究（原卷版）

專(zhuān)題05和數(shù)列有關(guān)的規(guī)律類(lèi)運(yùn)算探究類(lèi)型一和拆項(xiàng)有關(guān)1．請(qǐng)先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問(wèn)題：∵；；；…．，∴+++…+=…=…．計(jì)算：（1）+++…+；（2）已知|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數(shù)，求：．（3）+++…+．2．先觀察下列等式，再完成題后問(wèn)題：=，，（1）請(qǐng)你猜想：=．（2）若a、b為有理數(shù)，且│a－1│+(ab－2)2=0，求:

的值．（3）．3．觀察下列各式：，，…，……解答下列各題：（1）嘗試并計(jì)算：；（2）嘗試并計(jì)算：；（3）已知與互為相反數(shù)，試求代數(shù)式的值類(lèi)型二和等比數(shù)列有關(guān)4．【閱讀】求值…．解：設(shè)S=…①將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得：2S=…②由②﹣①得：即：S=…【運(yùn)用】仿照此法計(jì)算：…；【延伸】如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．完成下列問(wèn)題：（1）小正方形的面積S2019等于；（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面積和．5．閱讀探究：，，，…(1)根據(jù)上述規(guī)律，小亮發(fā)現(xiàn)，求出___________．(2)小聰繼續(xù)又發(fā)現(xiàn)：，求出___________．(3)若，請(qǐng)運(yùn)用小聰?shù)姆椒ㄇ蠛偷闹?．《莊子·天下》：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”意思是說(shuō)：一尺長(zhǎng)的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完．我國(guó)智慧的古代人在兩千多年前就有了數(shù)學(xué)極限思想，今天我們運(yùn)用此數(shù)學(xué)思想研究下列問(wèn)題．【規(guī)律探索】（1）如圖1所示的是邊長(zhǎng)為1的正方形，將它剪掉一半，則S陰影1＝1－＝如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將陰影部分再裁剪掉—半，則S陰影2＝1－－()2＝____；同種操作，如圖3，S陰影3＝1－－()2－()3＝__________；如圖4，S陰影4＝1－－()2－()3－()4＝___________；……若同種地操作n次，則S陰影n＝1－－()2－()3－…－()n＝_________．于是歸納得到：+()2+()3+…+()n=_________．【理論推導(dǎo)】（2）閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①將①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1根據(jù)上述材料，試求出+()2+()3+…+()n的表達(dá)式，寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程．【規(guī)律應(yīng)用】（3）比較＋＋＋……__________1（填“”、“”或“=”）7．（1）計(jì)算：①2-1＝；②22-2-1＝；③23-22-2-1＝；④24-23-22-2-1＝；⑤25-24-23-22-2-1＝；⑥22019-22018-22017-……-22-2-1＝（2）根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果猜想：2n-2n-1-2n-2-……-22-2-1的值為多少？（3）根據(jù)上面猜想的結(jié)論求212-211-210-29-28-27-26的值．8．觀察一下等式：第一個(gè)等式：，第二個(gè)等式：，第三個(gè)等式：，…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）；（2）寫(xiě)出第五個(gè)式子：；（3）用含的式子表示一般規(guī)律：；（4）計(jì)算（要求寫(xiě)出過(guò)程）：類(lèi)型三和規(guī)律探究有關(guān)9．觀察并驗(yàn)證下列等式：13+23＝（1+2）2＝9，13+23+33＝（1+2+3）2＝36，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100，（1）續(xù)寫(xiě)等式：13+23+33+43+53＝_____；（寫(xiě)出最后結(jié)果）（2）我們已經(jīng)知道1+2+3+…+n＝n（n+1），根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝_____；（結(jié)果用因式乘積表示）（3）利用（2）中得到的結(jié)論計(jì)算：13+33+53+…+（2n﹣1）310．觀察下列各式：；；；；……（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算下面算式的值：；（2）請(qǐng)用一個(gè)含的算式表示這個(gè)規(guī)律：；（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)計(jì)算算式的值（寫(xiě)出必要的解題過(guò)程）．11．下面是按規(guī)律排列的一列式子：第1個(gè)式子：；第2個(gè)式子：；第3個(gè)式子：；……（1）分別計(jì)算出這三個(gè)式子的結(jié)果；（2）請(qǐng)按規(guī)律寫(xiě)出第2019個(gè)式子的形式（中間部分用省略號(hào)，兩端部分必須寫(xiě)詳細(xì)）；（3）計(jì)算第2019個(gè)式子的結(jié)果．12．閱讀下列材料：，，，由以上三個(gè)等式相加，可得.讀完以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下列各題：（1）（寫(xiě)出過(guò)程）；（2）__________________________（直接寫(xiě)出答案）；（3）_____________________（直接寫(xiě)出答案）.13．閱讀理解：德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家．）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并有"數(shù)學(xué)王子"的美譽(yù)．高斯從小就善于觀察和思考．在他讀小學(xué)時(shí)候就能在課堂上快速的計(jì)算出，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：令①②（右邊相加共組）①+②：有

，解得：請(qǐng)類(lèi)比以上做法，回答，

題目：如下圖，有一個(gè)形如六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)