養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析課件

科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模——養(yǎng)老保險(xiǎn)問題養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析第四章養(yǎng)老保險(xiǎn)問題

——非線性方程求根的數(shù)值解法養(yǎng)老保險(xiǎn)問題4.1非線性方程求根的數(shù)值方法4.2養(yǎng)老保險(xiǎn)模型的求解4.3養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.1.1問題的引入

養(yǎng)老保險(xiǎn)是保險(xiǎn)中的一種重要險(xiǎn)種，保險(xiǎn)公司將提供不同的保險(xiǎn)方案供以選擇，分析保險(xiǎn)品種的實(shí)際投資價(jià)值。也就是說，如果已知所交保費(fèi)和保險(xiǎn)收入，則按年或按月計(jì)算實(shí)際的利率是多少？或者說，保險(xiǎn)公司需要用你的保費(fèi)實(shí)際至少獲得多少利潤(rùn)才能保證兌現(xiàn)你的保險(xiǎn)收益？4.1養(yǎng)老保險(xiǎn)問題養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.1.2模型分析

假設(shè)每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男子若25歲起投保，屆時(shí)養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起保，屆時(shí)月養(yǎng)老金1056元；試求出保險(xiǎn)公司為了兌現(xiàn)保險(xiǎn)責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實(shí)際收益率。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.1.3模型假設(shè)

這應(yīng)當(dāng)是一個(gè)過程分析模型問題。過程的結(jié)果在條件一定時(shí)是確定的。整個(gè)過程可以按月進(jìn)行劃分，因?yàn)榻毁M(fèi)是按月進(jìn)行的。假設(shè)投保人到第月止所交保費(fèi)及收益的累計(jì)總額為，每月收益率為，用分別表示60歲之前和之后每月交費(fèi)數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險(xiǎn)費(fèi)的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.1.4模型建立在整個(gè)過程中，離散變量的變化規(guī)律滿足：在這里實(shí)際上表示從保險(xiǎn)人開始交納保險(xiǎn)費(fèi)以后，保險(xiǎn)人賬戶上的資金數(shù)值。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.1.4模型建立

我們關(guān)心的是，在第M月時(shí)，F(xiàn)K能否為非負(fù)數(shù)？如果為正，則表明保險(xiǎn)公司獲得收益；如為負(fù)，則表明保險(xiǎn)公司出現(xiàn)虧損。當(dāng)為零時(shí)，表明保險(xiǎn)公司最后一無所有，所有的收益全歸保險(xiǎn)人，把它作為保險(xiǎn)人的實(shí)際收益。

從這個(gè)分析來看，引入變量FK，很好地刻畫了整個(gè)過程中資金的變化關(guān)系；特別是引入收益率r，雖然它不是我們所求的保險(xiǎn)人的收益率，但從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對(duì)象——保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)效益，以此作為整個(gè)過程中各量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.1.5模型求解在(4.1.4)中兩式，取初始值，我們可以得到：再分別取，k=N和k=M，并利用FM=0可以求出：它是一個(gè)非線性方程。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

代數(shù)方程求根問題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題。早在16世紀(jì)就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世紀(jì)才證明了次的一般代數(shù)方程式是不能用代數(shù)公式求解的，因此需要研究用數(shù)值方法求得滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解。

在工程和科學(xué)技術(shù)中許多問題常歸結(jié)為求解非線性方程式問題。正因?yàn)榉蔷€性方程求根問題是如此重要和基礎(chǔ)，因此它的求根問題很早就引起了人們的興趣，并得到了許多成熟的求解方法。下面就讓我們首先了解一下非線性方程的基本概念。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.1根的搜索相關(guān)定義定義4.2.1設(shè)有一個(gè)非線性方程

，其中

為實(shí)變量

的非線性函數(shù)。（1）如果

有使

，則稱

為方程的根，或?yàn)榈牧泓c(diǎn)。（2）當(dāng)為多項(xiàng)式，即則稱為次代數(shù)方程，包含指數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù)等特殊函數(shù)時(shí)，則稱

為特殊方程。（3）如果

，其中

。為正整數(shù)，則稱

為

的

重根。當(dāng)

時(shí)稱

為

的單根。4.2非線性方程求根的數(shù)值方法養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析定理4.2.1

設(shè)

為具有復(fù)系數(shù)的

次代數(shù)方程，則

在復(fù)數(shù)域上恰有

個(gè)根（

重根計(jì)算

個(gè)）。如果

為實(shí)系數(shù)方程，則復(fù)數(shù)根成對(duì)出現(xiàn)，即當(dāng):

為

的復(fù)根，則

亦是

的根。定理4.2.2設(shè)

在連續(xù),且

，則存在

，使得

，即

在

內(nèi)存在實(shí)零點(diǎn)。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.2逐步搜索法

對(duì)于方程

，

，為明確起見，設(shè),，從區(qū)間左端點(diǎn)

，出發(fā)按某個(gè)預(yù)定步長(zhǎng)

（如取

，為正整數(shù)），一步一步地向右跨，每跨一步進(jìn)行一次根的收索。即檢查節(jié)點(diǎn)

上的函數(shù)值

的符號(hào)，若

，則

即為方程解。若

，則方程根在區(qū)間

中，其寬度為

。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.2逐步搜索法例4.2.1

考察方程

由于

則

在

內(nèi)至少有一個(gè)根，設(shè)從

出發(fā)，以

為步長(zhǎng)向右進(jìn)行根的搜索。列表記錄各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)?？梢娫?/p>

內(nèi)必有一根。表4.2.1

的符號(hào)x00.51.01.5

的符號(hào)---+養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.2逐步搜索法

易見此方法應(yīng)用關(guān)鍵在步長(zhǎng)

的選擇上。很明顯，只要步長(zhǎng)

取得足夠小，利用此法就可以得到任意精度的根，但

縮小，搜索步數(shù)增多，從而使計(jì)算量增大，用此方法對(duì)高精度要求不合適。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.3二分法對(duì)非線性方程：

其中

在連續(xù)且

無妨設(shè)

在

內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。求方程（）的實(shí)根

的二分法過程，就是將逐步分半，檢查函數(shù)值符號(hào)的變化，以便確定包含根的充分小區(qū)間。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析二分法的步驟如下：記

，

第1步：分半計(jì)算

，將

分半。計(jì)算中點(diǎn)及

。若

，則根必在

內(nèi)，否則必在內(nèi)，（若

，則

），于是得到長(zhǎng)度一半的區(qū)間含根,即,且。第

步（*分半計(jì)算）重復(fù)上述過程。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析設(shè)已完成第1步…第

步，分半計(jì)算得到含根區(qū)間，且滿足,即，即，則第k步的分半計(jì)算：，且有：養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析確定新的含根區(qū)間，即如果，則根必在內(nèi)，否則必在內(nèi)，且有：?？傊缮鲜龆址ǖ玫叫蛄?，由(4.2.2)有：?？捎枚址ㄇ蠓匠痰膶?shí)根的近似值到任意指定的精度，這是因?yàn)椋涸O(shè)為給定精度要求，則由，可得分半計(jì)算次數(shù)k應(yīng)滿足：養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

二分法的優(yōu)點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單，且只要求連續(xù)即可，可用二分法求出在內(nèi)全部實(shí)根，但二分法不能求復(fù)根及偶數(shù)重根，且收斂較慢，函數(shù)值計(jì)算次數(shù)較多。

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析例4.2.2用二分法求在[1,2]內(nèi)一個(gè)實(shí)根，且要求精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。（即）解由代入公式(4.2.3)，可確定所需分半次數(shù)為，計(jì)算結(jié)果部分如下表：（顯然）。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析K81.1328131.1406251.1367190.02061991.1328131.1367191.1347660.4268415101.1328131.1347661.133789111.1337891.1347661.134277表4.2.2部分計(jì)算結(jié)果養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.4迭代法

迭代法是一種逐次逼近法。它是求解代數(shù)方程，超越方程及方程組的一種基本方法，但存在收斂性及收斂快慢的問題。用迭代法求解的近似根，首先需將此方程化為等價(jià)的方程：然而將化為等價(jià)方程的方法是很多的。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

例4.2.3對(duì)方程可用不同的方法將其化為等價(jià)方程：（1）（2）養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析定義4.2.2（迭代法）設(shè)方程為取方程根的一個(gè)初始近似，且按下述逐次代入法，構(gòu)造一個(gè)近似解序列：

這種方法稱為迭代法（或稱為單點(diǎn)迭代法），稱為迭代函數(shù)。若由迭代法產(chǎn)生序列有極限存在，即，稱為收斂或迭代過程收斂，否則稱迭代法不收斂。若連續(xù)，且，則，即為方程的解（稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)），顯然在由方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程時(shí)，選擇不同的迭代函數(shù)，就會(huì)產(chǎn)生不同的序列（即使初值選擇一樣）且這些序列的收斂情況也不會(huì)相同。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析例4.2.4對(duì)例4.2.1中方程考查用迭代法求根

由計(jì)算可以看出，我們選取的兩個(gè)函數(shù)，分別構(gòu)造序列收斂情形不一樣（初值都取為1），在中收斂且，在中計(jì)算出無定義。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析01.01.011.3414710.52359921.4738200.02360131.049530-0.49655541.497152-1.48776151.49728961.49730071.497300表4.2.3部分計(jì)算結(jié)果養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

因此對(duì)用迭代法求方程的近似根，需要研究下述問題：（1）如何選取迭代函數(shù)使迭代過程收斂。（2）若收斂較慢時(shí)，怎樣加速收斂。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析迭代法的幾何意義：從幾何意義看，求方程根的問題，是求曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)?shù)瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在根處滿足下述幾種條件時(shí)，從幾何上來看迭代過程的收斂情況如圖4.2.1。從曲線上一點(diǎn)出發(fā)，沿著平行于x軸方向前進(jìn)交于一點(diǎn)再從點(diǎn)沿平行于y軸方向前進(jìn)交于點(diǎn)，顯然的橫坐標(biāo)就是，繼續(xù)這過程就得到序列，且從幾何上觀察知道在（1），（2）情況下收斂于，在（3），（4）情況不收斂于。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析圖4.2.1迭代法的幾何意義圖養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

由迭代法的幾何定義知，為了保證迭代過程收斂，應(yīng)該要求迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足條件。當(dāng)時(shí)，原方程在中可能有幾個(gè)根或迭代法不收斂，為此有關(guān)于迭代收斂性的定理4.2.3。定理4.2.3設(shè)有方程，(1)設(shè)于一階導(dǎo)數(shù)存在，(2)當(dāng)時(shí)，有，(3)滿足條件：則有：

在上有唯一解，對(duì)任意選取初始值，迭代過程收斂即，誤差估計(jì)養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析證明

只證

，，由定理?xiàng)l件，當(dāng)取時(shí)，則有記誤差，由中值定理有：，其中在與之間，即，又由條件有：，由此遞推可得：，由故。由迭代公式有：

，其中c在與之間，于是：即。

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

由上面反復(fù)利用代入上式中有：由定理結(jié)果可知，當(dāng)計(jì)算得到的相鄰兩次迭代滿足條件時(shí)，則誤差。因此在計(jì)算機(jī)上可利用來控制算法終止，但要注意時(shí)，即使很小，誤差仍然可能很大。另外，當(dāng)已知及及給定精度要求時(shí)，利用定理結(jié)果可確定使誤差達(dá)到給定精度要求時(shí)所需要迭代次數(shù)k，事實(shí)上，由解得：

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

定理?xiàng)l件，在一般情況下，可能對(duì)大范圍的含根區(qū)間不滿足，而在根的鄰近是成立的，為此有如下迭代過程的局部收斂性結(jié)果。定理4.2.4（迭代法的局部收斂性）設(shè)給定方程

（1）設(shè)為方程的解，（2）設(shè)在的鄰域內(nèi)連續(xù)可微，且有，則對(duì)任意初值（在的鄰域內(nèi)），迭代過程，收斂于。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析例4.2.5由迭代法解方程養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析解

(1)顯然有即知方程于[0,2]及[-1.9,-1]內(nèi)有根記為。

(2)考察取初值迭代過程的收斂性，其中迭代函數(shù)為，顯然，，及為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，又由則有。于是由定理4.2.4可知，當(dāng)初值時(shí)，迭代過程收斂，如果要求的近似根準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第6位（即要求）由計(jì)算結(jié)果可知。且，則，。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析表4.2.4部分計(jì)算結(jié)果表00.010.6931471820.99071046141.1461931151.1461932養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

(3)為了求[-1.9,-1]內(nèi)方程的根。由迭代方程，顯然，所以迭代過程（初值）不能保證收斂于。

(4)若將方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程或則，且（時(shí)）所以當(dāng)選取時(shí)迭代過程收斂。如取，則迭代12次有，且。由此例可見，對(duì)于方程，迭代函數(shù)取不同形式，相應(yīng)的迭代法產(chǎn)生的收斂情況也不一樣，因此，我們應(yīng)該選擇迭代函數(shù)時(shí)構(gòu)造的迭代過程收斂，且收斂較快。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析關(guān)于迭代公式的加工：對(duì)于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，總可以使結(jié)果達(dá)到任意的精度。但有時(shí)迭代收斂緩慢，從而使計(jì)算量變得很大，因此迭代過程的加速是一個(gè)很重要的課題。設(shè)為根的某個(gè)預(yù)測(cè)值，用迭代公式校正一次得：

由中值定理：，介于之間，若改變不大。近似地取某常數(shù)，則由

可以期望按上式右端求得的是比更好的近似值。

若將每得到一次改進(jìn)值算作一步，并用和分別表示第步的校正值和改進(jìn)值，則加速迭代計(jì)算方案如下：校正：改進(jìn)：由于使用參數(shù)，這在實(shí)際應(yīng)用中不方便，下面進(jìn)行改進(jìn)計(jì)算。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

設(shè)的某近似值，將校正值再校正一次得：，由與得：由此得：。這樣將上式右端作為改進(jìn)公式就不再含有導(dǎo)數(shù)信息了。但需要用到兩次迭代的結(jié)果進(jìn)行加工。如果仍將得到一次改進(jìn)值作為一步，則計(jì)算過程如下：

上述處理過程稱為（埃特金）方法。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.5Newton公式

對(duì)于方程，應(yīng)用迭代法時(shí)先要改寫成，即需要針對(duì)構(gòu)造不同的合適的迭代函數(shù)，顯然可以取迭代函數(shù)為，相應(yīng)迭代公式為。一般地，這種迭代公式不一定收斂，或者速度很慢。對(duì)此公式應(yīng)用前面的加速技術(shù)具體格式為：

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

記，則上二式可合并寫為：。此公式稱為簡(jiǎn)單的Newton公式，其迭代函數(shù)為：。又由于為的近似值，而，因此實(shí)際上是的近似值，故用代替上式中的即得到下面的迭代函數(shù)：。相應(yīng)的迭代公式為：，即為Newton公式。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.6Newton法的幾何意義

Newton法的基本思想就是將非線性方程逐步線性化求解，設(shè)有近似的根，將在處展開得：，從而近似地表為：。方程的根即為曲線與軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)。設(shè)為的一個(gè)近似，過曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)作曲線的切線，該切線與軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的新近似值，它與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，因此

Newton法亦稱切線法。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.7Newton法的局部收斂性定義4.2.3

設(shè)迭代過程收斂于方程的根，如果迭代誤差，當(dāng)時(shí)有：則稱該迭代過程為階收斂的。定理4.2.5

對(duì)迭代過程如果在附近連續(xù)，且：且，則該迭代過程在附近是階收斂的。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

證明

由于，則有前面關(guān)于迭代法的局部收斂性定理知：此迭代過程具有局部收斂性。即。將在處展開，并注意到

有：

而，從而上式化為：

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

即：

故知迭代過程具有階收斂性。

定理4.2.5

表明迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù)的選取，如果時(shí)。則迭代過程只可能是線性收斂的。

對(duì)于Newton法，由迭代函數(shù)為：則，若為的一個(gè)單根。即，則由上式知。由上面定理可知Newton法在根的鄰域內(nèi)是平方收斂的（二階收斂的）。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

特別地考察Newton公式：設(shè)二次連續(xù)可微，則，在之間，特別地取，注意，則設(shè)。兩邊同除以，得：

（注：），利用Newton公式，即有：

當(dāng)，則，或養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

可見（誤差）與的誤差的平方成比例。當(dāng)初始誤差充分小時(shí)，以后迭代的誤差將減少得非?？?。反之，則放大。Newton法每計(jì)算一步，需要計(jì)算一次函數(shù)值和一次導(dǎo)數(shù)值。

例4.2.6用Newton法求解。解顯然。則在[0,2]內(nèi)方程有一個(gè)根，求導(dǎo)則Newton公式為：取，迭代6次得近似根為,。這表明，當(dāng)初值取值靠近時(shí)，Newton法收斂且收斂較快，否則Newton法可能不收斂。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

下面考慮Newton法的誤差估計(jì)，由中值定理有：，當(dāng)充分接近時(shí)，有因此，用Newton法求方程單根的近似根的誤差可用來估計(jì)。

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.8Newton法應(yīng)用舉例1.對(duì)給定的正數(shù)，應(yīng)用Newton法解二次方程可導(dǎo)出求開方值的計(jì)算格式：

可證明公式對(duì)任意函數(shù)初值都是收斂的。這是因?yàn)椋?/p>

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

兩式相除得：

利用此式遞推可得：

（由可知：，則：

）而，故由公式知即迭代法恒收斂。）養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

例4.2.7

求的近似值，要求終止迭代。

解取經(jīng)6次迭代后：，，，故。對(duì)給定正數(shù)，應(yīng)用Newton法求解，由此式可導(dǎo)出求而不用除法的計(jì)算程序：。這個(gè)算法對(duì)于沒有設(shè)置除法操作的電子計(jì)算機(jī)是有用的?？梢宰C明，此算法初值滿足時(shí)是收斂的，這是因?yàn)椋?/p>

即：，令，有遞推公式：，反復(fù)遞推得：。當(dāng)，即時(shí)，有即，從而迭代法收斂。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.9Newton下山法

Newton法收斂性依賴于初值的選取，如果偏離較遠(yuǎn)，則Newton法可能發(fā)散。例如，對(duì)方程。求在附近的一個(gè)根。若取初值，則由Newton法：

計(jì)算得，僅迭代3次即得有6位有效數(shù)字的近似值。但若取初值則由同一Newton公式計(jì)算得，這反而比更遠(yuǎn)離所求根，因此發(fā)散。為防止發(fā)散，對(duì)迭代過程加一下降要求：滿足這項(xiàng)要求的算法稱為下山法。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

將Newton法與下山法結(jié)合，即在下山法保證函數(shù)下降條件下，用Newton法加速收斂。為此，可將Newton計(jì)算結(jié)果與每一步近似值作加權(quán)均：，其中（）稱為下山因子。選擇下山因子以保證下降性。的選擇方法是：由反復(fù)減半的試探法，若能找到使下降性成立，則下山成功，否則下山失敗，改變初值重新開始。

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.10弦截法與拋物法

Newton法每迭代一次計(jì)算函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值各一次，當(dāng)函數(shù)本身比較復(fù)雜時(shí)，求導(dǎo)數(shù)值更加困難。下面方法多利用以前各次計(jì)算的函數(shù)值來回避導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算，導(dǎo)出這種求根方法的基本原理是插值法。設(shè)是的一組近似值，利用對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，構(gòu)造插值多項(xiàng)式，適當(dāng)選取的一個(gè)根作為的新的近似根。這樣就確定了一個(gè)迭代過程，記迭代函數(shù)為，則，下面具體考察（弦截法），（拋物法）兩種情形。

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.11弦截法

設(shè)為的近似根，過點(diǎn)，構(gòu)造一次插值多項(xiàng)式，并用的根作為的新的近似根。由于

則由可得：另外，公式(4.2.9)也可以用導(dǎo)數(shù)的差商近似取代Newton公式中的，同樣得公式。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析弦截法的幾何意義：如圖，曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)分別記為，則弦線的斜率等于差商

。的方程為：

則按求得的近似根實(shí)際上是弦線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此這種算法稱為弦截法，又稱割線法。

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

弦截法與切線法（Newton法）都是線性化方程，但兩者有本質(zhì)區(qū)別。Newton切線法在計(jì)算時(shí)只用到前一步的及，但要計(jì)算，而弦截法在計(jì)算時(shí)要用前面兩步的結(jié)果，而不須計(jì)算導(dǎo)數(shù)。這種方法必須有兩個(gè)啟動(dòng)值。例4.2.8用割線法求解方程在的根。解取初值，則迭代5次后有，。例子表明弦截法仍具有較快的收斂性。

定理4.2.6

假設(shè)在根領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且對(duì)有。又初值，那么當(dāng)鄰域充分小時(shí)，弦截法將按階收斂到根。

(證明略)養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

下面分析弦截法用于求解時(shí)，對(duì)Atken加速算法的幾何解釋：為的近似根，，在曲線上走了兩點(diǎn)，引弦線與直線交于一點(diǎn)，則的橫坐標(biāo)（與縱坐標(biāo)相等）為：此即為Atken加速計(jì)算方法的公式。再看右圖，所求的根是曲線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從圖形上看，盡管迭代值比和更遠(yuǎn)偏離了，但按上式求得的卻明顯地扭轉(zhuǎn)了這種發(fā)散的趨勢(shì)。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.12拋物線法

設(shè)已知的三個(gè)近似根為，以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式，并適當(dāng)選取的一個(gè)零點(diǎn)作為新的近似根。這樣確定的迭代過程稱為拋物線法（亦稱密勒法）。拋物線插值多項(xiàng)式為：有兩個(gè)零點(diǎn)：其中，養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

其幾何意義就是：用拋物線與軸的交點(diǎn)作為所求根的近似值。如右圖。為了由定出一個(gè)值，需討論根式前正負(fù)符號(hào)的取舍問題在三個(gè)近似根中，自然假定以更接近所求的根，這時(shí)為保證精度，選取中較近的一個(gè)值作為新的近似根，為此，只要令根式前的符號(hào)與的符號(hào)相同。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

例4.2.9

用拋物線法求解方程

解取三個(gè)初值，計(jì)算，，，，，，，從而：。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

定理4.2.7

若在根的鄰域內(nèi)有三節(jié)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)，有。又初值，那么當(dāng)領(lǐng)域充分小時(shí)，拋物線法(4.2.8)將按階收斂于根?？梢姃佄锞€法比弦截法的收斂性更接近于Newton法。定理的證明略。養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析4.2.13多項(xiàng)式求值的秦九韶算法

多項(xiàng)式的重要特點(diǎn)之一是求值方便，設(shè)，系數(shù)均為實(shí)數(shù)。用除，記其商為，則其余項(xiàng)顯然為即令代入公式后與比較同項(xiàng)式系數(shù)，可得：養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

從而有：

式提供了計(jì)算函數(shù)值的有效算法稱為秦九韶法。這種算法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小，結(jié)構(gòu)緊湊，易編制計(jì)算機(jī)程序。再看的階Taylor展開式：注意（對(duì)次多項(xiàng)式）更高階導(dǎo)數(shù)為0。將它表示為

養(yǎng)老保險(xiǎn)問題建模分析

可見導(dǎo)數(shù)值又可看作用因子相除得出的余數(shù)，從而有：式中是次多項(xiàng)式。令，那么用秦九韶算法又可求出值。對(duì)應(yīng)于此處的計(jì)算公式為：