拋物線及其標準方程導學案

第7課時拋物線及其標準方程1.掌握拋物線定義、標準方程及其幾何圖形.能用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程.2.理解標準方程中“p”與拋物線的開口方向、焦點位置的關系.3.親自體驗由具體的演示實驗探尋出一般數(shù)學結論的過程,體會探究的樂趣,激發(fā)學生的學習熱情.學習運用類比的思想探尋另三種標準方程.如圖,把一根直尺固定在畫圖板內直尺l的位置上,截取一根繩子的長度等于AC的長度,現(xiàn)將繩子的一端固定在三角板的頂點A處,另一端用圖釘固定在F處;用一支粉筆扣著繩子,緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊,然后使三角板緊靠著直尺上下滑動,這樣粉筆就描出一條曲線.問題1:在上述情境中,點M到點F與點M到直線l的距離.(填相等或不相等),理由是.

問題2:平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過F)的距離的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的,定直線l叫作拋物線的準線.如果定義中不加上條件“l(fā)不經過F”,即若點F在直線l上,滿足條件的動點P的軌跡是,而不是拋物線.

問題3:拋物線的標準方程的四種形式:標準方程圖象焦點F坐標準線l方程y2=2px(p>0)

x=-p(續(xù)表)標準方程圖象焦點F坐標準線l方程y2=-2px(p>0)

x=p

(0,p2y=-p

(0,-p2y=p問題4:已知拋物線的標準方程,如何得到焦點坐標?先觀察方程的結構,一次項變量為x(或y),則焦點在(或y)軸上;若系數(shù)為正,則焦點在半軸上;系數(shù)為負,則焦點在半軸上;若一次項變量為x,則焦點的橫坐標是一次項系數(shù)的,縱坐標為;若一次項變量為y,則焦點的縱坐標是一次項系數(shù)的,橫坐標為0.

1.拋物線y2=-8x的焦點坐標是().A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0)2.拋物線y2=8px(p>0),F是焦點,則p表示().到準線的距離 到準線距離的1到準線距離的18 到y(tǒng)3.拋物線y=4x2的焦點坐標為,準線方程為.

4.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程:(1)準線方程是y=3;(2)過點P(-22,4);(3)焦點到準線的距離為2.求拋物線的焦點坐標和準線方程求下列拋物線的焦點坐標和準線方程:(1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).求拋物線的標準方程(1)已知拋物線的焦點在y軸上,并且經過點M(3,-23),求拋物線的標準方程;(2)已知拋物線的焦點在坐標軸上,且拋物線過點(-3,2),求它的標準方程.求動點的軌跡方程動點M(x,y)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(2,0)的距離小2,求動點M(x,y)的軌跡方程.已知拋物線的標準方程如下,分別求其焦點和準線方程:(1)y2=6x;(2)2y2+5x=0;(3)x=ay2(a≠0).如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為60°的直線l,交拋物線于A、B兩點,且|FA|=3,則拋物線的方程是.

已知點A(0,-2),B(0,4),動點P(x,y)滿足PA·PB=y2-8.(1)求動點P的軌跡方程;(2)設(1)中所求軌跡與直線y=x+2交于C、D兩點.求證:OC⊥OD(O為原點).1.在直角坐標平面內,到點(1,1)和直線x+2y=3距離相等的點的軌跡是().A.直線 B.拋物線 C.圓 D.雙曲線2.拋物線y=ax2的準線方程是y=2,則a的值為().A.18 183.已知圓x2+y2+6x+8=0與拋物線y2=2px(p>0)的準線相切,則p=.

4.已知拋物線的方程是y=ax2,求它的焦點坐標和準線方程.(2013年·江西卷)已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,則|FM|∶|MN|=().∶5 ∶2 ∶5 ∶3考題變式(我來改編):

第6課時雙曲線的簡單幾何性質的應用知識體系梳理問題1:xa±yb=0接近0問題2:2a2b2a2be=ca(0<e<1)e=ca(e>y=±ba問題3:(1)mx2+ny2=1(mn<0)(2)x2a2-y2b2(3)m2x2-n2y2=λ(λ≠0)問題4:①無公共點②一個③一支④兩支基礎學習交流∵ba=43,∴b2a2=169=c2-a2a2=c2a2-1,∴(設雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>∵△MF1F2為等腰三角形,∠F1MF2=120°,∴∠MF1F2=30°,∴tan30°=bc=33,b2c2-a2c2=1-(ac)2=13,(c3.5雙曲線的漸近線為y=±bax.直線x+2y-1=0的斜率為-12.因為y=bax與直線x+2y-1=0垂直,所以ba·(-12)=-1,即b=2a.所以c2=a2+b2=5a2,即e2=4.解:橢圓的焦點F1(-7,0),F2(7,0),即為雙曲線的頂點.∵雙曲線的頂點和焦點在同一直線上,∴雙曲線的焦點應為橢圓長軸的端點A1(-4,0),A2(4,0),∴c=4,a=7,∴b=c2-a故所求雙曲線的方程為x27-y2實軸長為2a=27,虛軸長為2b=6,離心率e=ca=477,漸近線方程為重點難點探究探究一:【解析】由雙曲線的方程,知a=3,b=4,所以c=5.由雙曲線的定義得,||PF1|-|PF2||=2a=6.上式兩邊平方得,|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=100,由余弦定理得,cos∠F1PF2=|=100-1002所以∠F1PF2=90°.【小結】在雙曲線的焦點三角形中,經常運用正弦定理、余弦定理、雙曲線定義來解題,解題過程中,常對定義式兩邊平方探求關系.探究二:【解析】由聲速為340m/s可知,F1、F2兩處與爆炸點的距離差為340×30017=6000(m),因此爆炸點在以F1、F2為焦點的雙曲線上設爆炸點P的坐標為(x,y),則|PF1|-|PF2|=6000,即2a=6000,∴a=3000,而c=5000,∴b2=50002-30002=40002.∵|PF1|-|PF2|=6000>0,∴x>0,∴所以所求雙曲線的方程為x230002-y24000【小結】在F1處聽到爆炸聲的時間比在F2處晚30017s,相當于爆炸點離F1的距離比F2遠6000m,這是解應用題的第一關——審題關;根據(jù)審題結合數(shù)學知識知爆炸點所在的曲線是雙曲線,這是解應用題的第二關——文化關(用數(shù)學文化反映實際問題);借助雙曲線的標準方程寫出爆炸點的軌跡方程是解決應用題的第三關——數(shù)學關(用數(shù)學知識解決第二關提出的問題)探究三:【解析】由題意知a=1,b=3,c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),又直線AB方程為y=x+2,且A(x1,y1),B(x2,y2),如圖,由y=x+2,x2-y23=1,得2x2-4x-7=0,∴x1(1)|AB|=1+k2·(x1+x2(2)由雙曲線的定義:|AF2|-|AF1|=2,|BF2|-|BF1|=2,兩式相加得:|AF2|+|BF2|=4+|AF1|+|BF1|=4+|AB|=10.∴△F2AB的周長是|AB|+|AF2|+|BF2|=16.[問題]弦AB在雙曲線的一支上?還是在雙曲線的兩支上?還是兩種情況都有可能?[結論]由于思路不暢,上面的解法誤認為弦AB在雙曲線的一支上,實際上由x1x2=-72<0知,A,B兩點不在同一支上,也可根據(jù)雙曲線的漸近線的斜率為±3,而直線AB斜率為1,∵1<3,故直線AB應與左,右兩支均相交于是,正確解答為:(1)同錯解部分.(2)x1x2=-72<0知,弦AB與雙曲線左,右兩支均相交,如圖,由2x2-4x-7=0得x1=2-322,x2=2+322,所以A(2-32|AF2|=(2-322-2)|BF2|=(2+322-2)2+∴△F2AB的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=6+62.【小結】解決直線與圓錐曲線的弦長問題,常將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,利用兩點間距離公式得到弦長公式|AB|=1+k2·(x1+x2思維拓展應用應用一:由題意知:c=13,設橢圓的長半軸長為a,雙曲線的實半軸長為a1,則a-a由余弦定理、橢圓、雙曲線的定義,得|?|?cos∠F1PF2=45應用二:設M是界線上的任意一點,則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值),∴所求界線是以A、B為焦點的雙曲線的一支.若以直線AB為x軸,線段AB的中點O為坐標原點,建立直角坐標系,則所求雙曲線為x2a2-y2b2=2c=|AB|=10=507,∴c=257,b2=c2-a2=3750.故雙曲線方程為x2625-y23750=1(25≤x≤35,y≥應用三:(1)y=±2x(2)x24-y25=1(1)根據(jù)已知|PF1|=2b2a且|PF2|=b2a,故2b2a-b2∴其漸近線方程為y=±2x.(2)設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(由題意知c=3,a2+b2=9,設A(x1,y1),B(x2,y2),則有:x兩式作差得:y1-y2x1-又直線AB的斜率是-15-0所以將4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5.所以雙曲線的標準方程是x24-y2基礎智能檢測a2-k>0,b2+k>0,所以a2-k+b2+k=a2+b2=c2.所以兩雙曲線有相同的焦點.由題意可設直線l的方程為y=b,代入x24-y2=1得x2=4(1+b2),所以x1=4(1+b2)=21+b2,x2=-21+b2,所以|AB|=|x1-x2|=41+b2,所以|AB|=3.±2雙曲線x2-y2=1的漸近線為y=±x,不妨取y=x,若直線y=x與圓相切,則有圓心(a,0)到直線x-y=0的距離d=|a|2=1,即|a|=2,所以4.解:設MF1的中點為P,在Rt△PMF2中,|PF2|=|MF2|·sin60°=2c·32=3c.又由雙曲線的定義得|PF2|-|PF1|=2a,所以a=3-12c,e=ca=2全新視角拓展根據(jù)雙曲線方程,a2=1,b2=m>0,則c2=1+m,因為雙曲線的離心率大于2,所以ca>2即c2a2>2,所以1+m>2,2.3+1設|F1F2|=2c,則|PF2|=c,|PF1|=3c,|PF1|-|PF2|=2a?3c-c=2a,∴e=ca=23-1=第7課時拋物線及其標準方程知識體系梳理問題1:相等由|AC|=|MC|+|AM|,|AC|=|MF|+|AM|,得|MC|=|MF|問題2:相等焦點過點F且垂直于l的直線問題3:(p2,0)(-p2,0)x2=2py(p>0)x2=-2px(p>問題4:x正負140基礎學習交流依題意,拋物線開口向左,焦點在x軸的負半軸上,由2p=8,得p2=2,故焦點坐標為(-2,0),化為標準形式y(tǒng)2=2×(4p)x(p>0),則4p就是焦點F到準線的距離,所以p表示焦點F到準線的距離的143.(0,116)y=-116將拋物線方程y=4x2化為標準方程x2=14y,易知:拋物線開口向上,焦點在y軸的正半軸上,由2p=14,得p2=116,故焦點坐標為(0,4.解:(1)由準線方程為y=3知,拋物線的焦點在y軸負半軸上,且p2=3,則p=6,故所求拋物線的標準方程為x2=-12(2)∵點P(-22,4)在第二象限,∴設所求拋物線的標準方程為y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),將點P(-22,4)代入y2=-2px,得p=22;代入x2=2py,得p=1.∴所求拋物線的標準方程為y2=-42x或x2=2y.(3)由焦點到準線的距離為2,得p=2,故所求拋物線的標準方程為y2=22x,y2=-22x,x2=22y或x2=-22y.重點難點探究探究一:【解析】(1)因為p=7,所以焦點坐標是(-72,0),準線方程是x=7(2)拋物線方程化為標準形式為x2=25y,因為p=15,所以焦點坐標是(0,110),準線方程是(3)由a>0知,p=a2,所以焦點坐標是(a4,0),準線方程是x=-【小結】1.當拋物線方程不是標準形式時,先轉化為標準形式,第(3)小題規(guī)定“a>0”,如果去掉“a>0”,并不影響結果,表示是一樣的.2.求拋物線焦點、準線方程的方法首先要將拋物線方程化成標準形式,求出p后根據(jù)拋物線的位置寫出焦點和準線方程,注意準線與坐標軸垂直,垂足與焦點關于原點對稱,它們與原點的距離等于一次項系數(shù)的絕對值的14探究二:【解析】(1)∵拋物線的焦點在y軸上,并且經過點M(3,-23),∴可設它的標準方程為x2=-2py(p>0).又∵點M在拋物線上,∴(3)2=-2p(-23),即p=34,∴所求方程是x2=-32y.(2)設所求的拋物線方程為y2=-2px或x2=2py(p>∵拋物線過點(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,得p=23或p=94,故所求拋物線方程為y2=-43x或x2【小結】求拋物線標準方程的步驟:(1)設出拋物線的標準方程;(2)根據(jù)已知條件求得p;(3)得拋物線的標準方程.探究三:【解析】∵動點M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(2,0)的距離小2,∴動點M到定點(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離相等.∴動點M的軌跡是以(2,0)為焦點,x=-2為準線的拋物線,且p=4.∴拋物線的方程為y2=8x,此即為所求動點M的軌跡方程.[問題]上述解答完整嗎?[結論]錯解只考慮了一種情況.在此題中,(2,0)到y(tǒng)軸的距離為2,∴x軸上原點左側的點也滿足題中條件.于是,正確解答為:∵動點M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(2,0)的距離小2,∴動點M到定點(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離相等.∴動點M的軌跡是以(2,0)為焦點,x=-2為準線的拋物線,且p=4.∴拋物線的方程為y2=8x.又∵x軸上(0,0)點左側的點到y(tǒng)軸的距離比它到(2,0)點的距離小2,∴M點的軌跡方程為y=0(x<0).綜上,動點M的軌跡方程為y=0(x<0)或y2=8x.【小結】本題考查拋物線的定義、標準方程,判斷動點M到定點(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離相等是解題的關鍵.思維拓展應用應用一:(1)∵2p=6,∴p=3.又∵開口向右,∴焦點坐標是(32,0準線方程為x=-32(2)將2y2+5x=0變形為y2=-52∴2p=52,p=54,∴焦點為(-58,0),準線方程為x=5(3)∵原拋物線方程為y2=1ax,∴2p=1當a>0時,p2=14a,拋物線開口向右,焦點坐標為(14a,0當a<0時,p2