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2023學(xué)年第一學(xué)期浙大附中期中考試高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分,每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,不選、多選、錯(cuò)選均不得分.)1.直線的傾斜角是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率,利用直線傾斜角的正切等于直線的斜率可算出所求直線的傾斜角.【詳解】直線化為所以斜率,設(shè)直線的傾斜角為,則,結(jié)合,可得,故選A.【點(diǎn)睛】本題給出直線的方程,求直線的傾斜角,著重考查了直線的基本量與基本形式等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.2.已知平面向量,則在方向上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量數(shù)量積求出在方向上的投影為,再結(jié)合投影向量的定義求解.【詳解】在方向上的投影為,又方向上的單位向量為,故在方向上的投影向量是.故選:B.3.設(shè)?是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面,下列四個(gè)命題中正確的序號(hào)是()①若,則②若,則③若,則④若,則A.①和② B.①和④ C.③和④ D.②和③【答案】B【解析】【分析】①運(yùn)用線面平行、垂直的性質(zhì)定理即可判斷①;②運(yùn)用面面垂直的判定和性質(zhì)定理,即可判斷②;③運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理,即可判斷m,n的位置關(guān)系;④運(yùn)用面面平行的傳遞性和線面垂直的性質(zhì)定理,即可判斷④.【詳解】①由于n∥α,由線面平行的性質(zhì)定理得,n平行于過n的平面與α的交線l,又m⊥α,故m⊥l,即m⊥n,故①正確;②若α⊥γ,β⊥γ,則α與β可能相交,也可能平行,故②錯(cuò);③若m∥α,n∥α,由線面平行的性質(zhì)定理,即得m,n平行、相交或異面,故③錯(cuò);④若α∥β,β∥γ,m⊥α,則面面平行的傳遞性得α∥γ,由線面垂直的性質(zhì)定理得,m⊥γ,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系,考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理,考查面面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理的運(yùn)用,是一道基礎(chǔ)題.4.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色?綠色和藍(lán)色小球各2個(gè),一次任意摸出2個(gè)小球,則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有()A.2個(gè)小球不全為紅色 B.2個(gè)小球恰有一個(gè)紅色C.2個(gè)小球至少有一個(gè)紅色 D.2個(gè)小球不全為綠色【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A兩個(gè)事件是對(duì)立的事件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立的,故B正確;對(duì)于C,兩個(gè)事件不是互斥事件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生,不互斥,故D也錯(cuò)誤.【詳解】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個(gè),一次任意取出2個(gè)小球,對(duì)于A,2個(gè)小球不全為紅球與事件“2個(gè)小球都為紅色”是對(duì)立的事件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件,故B正確;對(duì)于C,2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球與事件“2個(gè)小球都為紅色”能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,2個(gè)小球不全為綠球與事件“2個(gè)小球都為紅色”是可以同時(shí)發(fā)生的事件,不是互斥事件,故D錯(cuò)誤.故選:B.5.已知四棱錐,底面為平行四邊形,M,N分別為棱BC,PD上的點(diǎn),,,設(shè),,,則向量用為基底表示為()A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由圖形可得,根據(jù)比例關(guān)系可得,,再根據(jù)向量減法,代入整理并代換為基底向量.【詳解】即故選:D.6.某高校在2019年新增設(shè)的“人工智能”專業(yè),共招收了兩個(gè)班,其中甲班30人,乙班40人,在2019屆高考中,甲班學(xué)生的平均分為665分,方差為131,乙班學(xué)生平均分為658分,方差為208.則該專業(yè)所有學(xué)生在2019年高考中的平均分和方差分別為()A., B.661,187 C.661,175 D.660,180【答案】B【解析】【分析】先求出總體均值,再利用分層抽樣的方差公式即可得解.【詳解】由題意甲的平均值為,方差為,乙的平均值是,方差為,則總體平均值為,方差為.故選:B.7.圓與圓的公切線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】【分析】分別求兩圓的圓心和半徑,進(jìn)而確定兩圓的位置關(guān)系,分析判斷.【詳解】,即,則圓心,半徑,,即,則圓心,半徑,∵,即,則圓與圓外切,故兩圓的公切線有3條.故選:C.8.在三棱錐,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,為等邊三角形,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定底面三角形外接圓圓心,過圓心且垂直底面的直線為,在直線上找球心,由于為等邊三角形,所以球心為外接圓圓心,由正弦定理求外接圓半徑即為外接球半徑.【詳解】取中點(diǎn),連結(jié)根據(jù)題意,因?yàn)闉榈妊苯侨切?,所以的外心為斜邊的中點(diǎn),;又因?yàn)?,所以的外接圓半徑為;因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平?為等邊三角形,所以,所以平面,所以外接球球心在直線上,且,為的外心,因?yàn)闉榈冗吶切?,所?,所以由正弦定理有,所以三棱錐的外接球的表面積為.故選:C二.多選題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.)9.下列說法正確的有()A.從40個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本,則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是5C.數(shù)據(jù)26,11,14,31,15,17,19,23的50%分位數(shù)是18D.若樣本數(shù)據(jù),,…,的標(biāo)準(zhǔn)差為4,則數(shù)據(jù),,…,的標(biāo)準(zhǔn)差為16【答案】AC【解析】【分析】A:根據(jù)古典概型概率計(jì)算方法即可計(jì)算;B:根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法求出m的值,在根據(jù)方差計(jì)算公式即可求解;C:根據(jù)50%分位數(shù)的求法求解即可;D:根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)于A:從40個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本,則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是,故A正確;對(duì)于B:已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,6,7的平均數(shù)為4,則,這組數(shù)據(jù)的方差為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:這組數(shù)據(jù)從小到大排列為:11,14,15,17,19,23,26,31,共8個(gè),故其50%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)17和第5個(gè)數(shù)19的平均數(shù),為18,故C正確;對(duì)于D:若樣本數(shù)據(jù),,…,的標(biāo)準(zhǔn)差為4,則方差為16,故數(shù)據(jù),,…,的方差為,標(biāo)準(zhǔn)差為8.故D錯(cuò)誤.故選:AC10.如圖,一個(gè)正方體密封容器中裝有一半的水量,若將正方體隨意旋轉(zhuǎn)放置,則容器中水的上表面形狀可能是()A.三角形 B.矩形 C.非矩形的平行四邊形 D.六邊形【答案】BCD【解析】【分析】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水,無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),其水面總是過正方體的中心,結(jié)合正方體截面圖形的特征判斷即可.【詳解】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水,無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),其水面總是過正方體的中心.過正方體的一條棱和中心可作一截面,截面形狀為矩形,如圖(1),故B正確;過正方體一面上一邊的任意一點(diǎn)(非頂點(diǎn))和此邊外的頂點(diǎn)以及正方體的中心作一截面,其截面形狀為非矩形的平行四邊形,如圖(2),故C正確;在正方體一面上相鄰兩邊各取一點(diǎn)(非頂點(diǎn)),過這兩點(diǎn)以及正方體的中心作一截面,得截面形狀為六邊形,如圖(3),故D正確;至于截面三角形,過正方體的中心不可能作出截面為三角形的圖形,故選:BCD11.已知,圓,為圓上動(dòng)點(diǎn),下列正確的是()A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.最大時(shí),【答案】ABC【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合法,轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線時(shí),取得最大值,可判定A正確;取的中點(diǎn)為,轉(zhuǎn)化為,結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,可判定B正確;利用直線與圓相切時(shí),求得的最小值,可判定C正確;根據(jù)圓的切線的性質(zhì),結(jié)合圓切線長(zhǎng)公式,可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中,因?yàn)?,可得,如圖所示,可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,所以的最大值為,所以A正確.對(duì)于B中,設(shè)的中點(diǎn)為,則,所以,所以B正確;對(duì)于C中,令,當(dāng)直線與圓相切時(shí),取值最值,由圓心到直線的距離,解得,所以的最小值為,所以C正確;對(duì)于D中,當(dāng)與圓相切時(shí),取得最大值,因?yàn)椋瑘A的圓心為,可得,此時(shí),所以D錯(cuò)誤.故選:ABC.12.立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn),故也被稱作阿基米德體.如右圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,共截去八個(gè)三棱錐,則關(guān)于該半多面體的下列說法中正確的有()A.該半正多面體外接球與原正方體外接球半徑相等B.與所成的角是的棱有18條C.與平面所成的角D.直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為【答案】CD【解析】【分析】將半正多面體補(bǔ)成正方體,考慮外接球的球心,可判斷A;由兩直線所成角的定義可判斷B;由線面角的定義可判斷C;建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出直線與直線所成角的余弦值的取值范圍,可判斷D.【詳解】設(shè)該半正多面體棱長(zhǎng)為,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上;將該半正多面體補(bǔ)成正方體,正方體的棱長(zhǎng)為2,可得該半正多面體的外接球與原正方體的外接球的球心重合,所以該半正多面體的外接球半徑為,原正方體的外接球的半徑,故A錯(cuò)誤;與成的棱有和與面相對(duì)的面上的還有和與面相對(duì)的面上的共16條,故B錯(cuò)誤;由平面,可得為與平面所成角,由于為等腰直角三角形,所以,故C正確;建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,所以;又設(shè),則.令則所以故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.故D正確.故選:CD.三、填空題(本大題共4小題,每空5分,共20分)13.已知直線與直線,若,則與之間距離是__________【答案】【解析】【分析】?jī)蓷l平行直線與之間的距離,等于直線上的點(diǎn)到直線的距離.【詳解】直線過點(diǎn),由,與之間距離等于點(diǎn)到直線的距離,故距離.故答案為:.14.在空間直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)A(3,2,0),B(2,1,3),C(3,1,0),則點(diǎn)C到直線AB的距離為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量夾角公式,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】由A(3,2,0),B(2,1,3),C(3,1,0),可得:,,所以可得:,因此,于是點(diǎn)C到直線AB的距離為,故答案為:15.阿波羅尼斯(約公元前262190年)證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為圓,已知分別是圓與直線上的點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),則的最小值為_______【答案】【解析】【分析】由阿波羅尼斯圓的定義,設(shè),,對(duì)比圓C方程求得,則有,最小值為點(diǎn)到直線距離的兩倍.【詳解】設(shè),,設(shè),若,整理得,由圓C方程得,解得,則.圓上任意一點(diǎn),都有,所以,的最小值為點(diǎn)到直線的距離,,所以,即的最小值為.故答案為:16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為.若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上,且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則__________.【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)的對(duì)稱性求出點(diǎn)坐標(biāo),和線段、,從而發(fā)現(xiàn)為直角,再由橢圓標(biāo)準(zhǔn)定義找到關(guān)系,并求出、的長(zhǎng)度,最后在直角三角形中,求出的值.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),由,得,可知,,又知,所以,則為直角,由題意,點(diǎn)恰好在上,根據(jù)橢圓定義,得,,設(shè),則,在直角三角形中,,解得,從而,,所以.故答案為:四、解答題(本大題共6小題,共70分)17.在中,所對(duì)的邊分別為,且,(1)求;(2)若,的面積為,求的周長(zhǎng).【答案】17.18.【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解;(2)根據(jù)面積公式可得,利用余弦定理可得,即可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?,又因?yàn)?,即,則,且,則,可得,因?yàn)?,所?【小問2詳解】因?yàn)榈拿娣e為,可得,由余弦定理可得,即,整理得,可得,所以的周長(zhǎng)為.18.已知直線方程為.(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等,求直線的方程;(2)若直線不經(jīng)過第三象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),直線在軸和軸上的截距為零,將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求解,當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),截距存在且均不為零.由求解.(2)根據(jù)直線經(jīng)過定點(diǎn),方程化為,由求解.【詳解】(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),該直線在軸和軸上的截距為零,,方程即為當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),截距存在且均不為零,,即,方程即為綜上,直線的方程為或(2)因?yàn)橹本€的方程為.可化為:令,解得所以直線經(jīng)過定點(diǎn),方程化為如圖所示:若直線不經(jīng)過第三象限則所以的取值范圍是:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程和直線在坐標(biāo)軸上的截距和在坐標(biāo)系中的位置,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想法,屬于中檔題.19.在高考結(jié)束后,省考試院會(huì)根據(jù)所有考生的成績(jī)劃分出特控線和本科線.考生們可以將自己的成績(jī)與劃線的對(duì)比作為高考志愿填報(bào)的決策依據(jù).每一個(gè)學(xué)科的評(píng)價(jià)都有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.以數(shù)學(xué)學(xué)科為例,在一次考試中,將考生的成績(jī)由高到低排列,分為一、二、三檔,前22%定為一檔,前58%到前22%定為二檔,后42%定為三檔.在一次全市的模擬考考生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,根據(jù)直方圖的信息可知第三檔的分?jǐn)?shù)段為.(1)求成績(jī)位于時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率,并估計(jì)第二檔和第一檔的分?jǐn)?shù)段;(2)在歷年的統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)橐粰n的考生其總分過特控線的概率為,數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)槎n的考生其總分過特控線的概率為,數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)槿龣n的考生其總分過特控線的概率為.在此次模擬考試中.甲、乙、丙三位考生的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為65,94,122.請(qǐng)結(jié)合第(1)問中的分?jǐn)?shù)段,求這三位考生總分過特控線的人數(shù)的概率.【答案】(1),第一檔分?jǐn)?shù)段為,第二檔的分?jǐn)?shù)段為(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)小矩形面積之和為1,求出成績(jī)?cè)谒鶎?duì)應(yīng)的頻率為,結(jié)合題干條件求出一檔、二檔的分?jǐn)?shù)段;(2)首先判斷出甲、乙、丙的成績(jī)屬于哪一檔,再根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得.小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖的信息,成績(jī)?cè)?,?duì)應(yīng)的頻率分別為.根據(jù)總的頻率和為1,即,解得,即成績(jī)?cè)谒鶎?duì)應(yīng)的頻率為.因?yàn)椋?,可知成?jī)?cè)趦?nèi)的前也屬于第一檔,即可知第一檔的分?jǐn)?shù)段為,且,故成績(jī)?cè)趦?nèi)的前也屬于第二檔,所以二檔的分?jǐn)?shù)段為.【小問2詳解】根據(jù)第(1)問的結(jié)論可知,甲的數(shù)學(xué)成績(jī)屬于第三檔,乙的數(shù)學(xué)成績(jī)屬于第二檔,丙的數(shù)學(xué)成績(jī)屬于第一檔,則.20.如圖,四面體ABCD中,,,設(shè)為的中點(diǎn).(1)求證:平面AED⊥平面BCD;(2)若∠BAC=60°,AD=3,求二面角BADC的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可;(2)作出二面角的平面角,結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解.【小問1詳解】證明:因?yàn)椋?,且為的中點(diǎn),所以AE⊥BC,DE⊥BC.又因平面,,所以BC⊥平面AED;因?yàn)槠矫?,所以平面AED⊥平面BCD;.【小問2詳解】作BF⊥AD,連接CF,由題知,,所以CF⊥AD,所以∠BCF為二面角BADC的平面角.因?yàn)?,∠BAC=60°,所以為正三角形,.由于AB=BD,且BF⊥AD,所以F為AD中點(diǎn),故.同理,所以,即二面角BADC的余弦值為.21.小明同學(xué)某天發(fā)現(xiàn),在陽光下的照射下,籃球在地面留下的影子如圖所示,設(shè)過籃球的中心且與太陽平行光線垂直的平面為,地面所在平面為,籃球與地面的切點(diǎn)為,球心為,球心在地面的影子為點(diǎn);已知太陽光線與地面的夾角
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