浙江省杭州市六縣九校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期六縣九校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線的方程易得斜率，進(jìn)而可得傾斜角．【詳解】解：由題意可得直線的斜率，即，故，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，由直線方程得出斜率是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．2.已知平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出．【詳解】∵，∴，又平面的一個(gè)法向量為，∴點(diǎn)A到平面的距離為故選：B3.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義，結(jié)合投影向量進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以向量在向量上的投影向量為：

，故選：C4.已知兩條直線和，下列不正確的是（）A.“a＝1”是“”的充要條件B.當(dāng)時(shí)，兩條直線間的距離為C.當(dāng)斜率存在時(shí)，兩條直線不可能垂直D.直線橫截距為1【答案】D【解析】【分析】由直線平行關(guān)系可以判斷A正確；利用平行線間距離公式可以判斷B正確；利用垂直關(guān)系可以判斷C正確；令可以求出直線得橫截距.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，直線與重合，故舍去，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，和間的距離為，所以B正確；若，則，則，又當(dāng)斜率存在時(shí)，，所以C正確；，令得，所以直線橫截距為1，所以D錯(cuò)誤.故選：D.5.從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由古典概型的概率公式即可求解.【詳解】記三件正品為、一件次品為，隨機(jī)取出兩件的基本事件為，共個(gè)，其中取出的產(chǎn)品全是正品的基本事件有共個(gè)，故所求概率.故選：B.6.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓定義和勾股定理即可求解.【詳解】如圖依題意，，，，則，，由橢圓定義可得，，所以離心率.故選：D.7.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線所過(guò)的定點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的切線性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】直線即，恒過(guò)定點(diǎn)，曲線即表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線上方的半圓（包括點(diǎn)，），當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，直線記為；當(dāng)與半圓相切時(shí)，由，得，切線記為，分析可知當(dāng)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：B.8.已知，，則的最小值為（）A.8 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式得，，，，再利用不等式的性質(zhì)兩邊分別相加可得答案【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以兩邊分別相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，故選：D二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量的，則平面的一個(gè)法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】設(shè)平面的法向量為，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求解可得答案.【詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)橄蛄?，所以，取，得，取，?故選：BC.10.已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）A.的一個(gè)方向向量為B.直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為C.與直線垂直D.與直線平行【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程，結(jié)合直線的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線重合，D錯(cuò)誤；，因此是直線的一個(gè)方向向量，A正確；在直線方程中令得，令得，直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為，B錯(cuò)誤；由于，C正確故選：AC11.下列說(shuō)法正確是（）A.甲乙兩人獨(dú)立地解題，已知各人能解出的概率分別是，，則題被解出的概率是B.若，是互斥事件，則C.某校200名教師的職稱分布情況如下：高級(jí)占比20%，中級(jí)占比50%，初級(jí)占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則初級(jí)教師應(yīng)抽取15人D.一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是【答案】AC【解析】【分析】先求此題不能解出的概率，再利用對(duì)立事件可得此題能解出的概率可判斷A；由，可判斷B；計(jì)算出初級(jí)教師應(yīng)抽取的人數(shù)可判斷C；由列舉法得出兩位女生相鄰的概率可判斷D.【詳解】對(duì)于A，∵他們各自解出的概率分別是，，則此題不能解出的概率為，則此題能解出的概率為，故A對(duì)；對(duì)于B，若，是互斥事件，則，，故B錯(cuò)；對(duì)于C，初級(jí)教師應(yīng)抽取人，故C正確；對(duì)于D，由列舉法可知，用1、2表示兩名女生，表示男生，則樣本空間兩位女生相鄰的概率是，故D錯(cuò).故選：AC.12.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）.把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A.B.若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為2C.點(diǎn)到直線的距離是D.異面直線與所成角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則判斷A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算B、C、D.【詳解】因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，對(duì)于B：因?yàn)闉榫€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，故B正確；對(duì)于C：，，所以點(diǎn)到直線的距離，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，即異面直線與所成角的正切值為，故D正確；故選：BCD非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，共分）13.某地一年之內(nèi)個(gè)月的降水量分別為：，，，，，，，，，，，，則該地區(qū)的月降水量分位數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】將該地這個(gè)月的降降水量從小到大排列得：，，，，，，，，，，，，又，所以該地區(qū)的月降水量分位數(shù)為.故答案為：.14.已知，及軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則為所求最小值，從而得解.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)，即為所求最小值，又，，所以，所以.故答案為：.15.已知圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，則圓：的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】借助數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得答案.【詳解】圓：與圓：的方程相減，可得，即直線的方程為.圓：的圓心為，半徑，點(diǎn)到直線的距離，則圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值為，故答案為：.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，若，則橢圓的離心率為_____.【答案】##【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件設(shè)點(diǎn)，，表示出點(diǎn)C坐標(biāo)后直接代入橢圓方程，利用即可得解.【詳解】解：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,將代入橢圓方程可得，可設(shè),由，得，即有，即，得，代入橢圓方程可得，由,即有，解得.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分其中第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問(wèn)50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（2）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，由頻率與概率關(guān)系可得該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為；（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有3人，記為，受訪職工評(píng)分在[40，50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.【詳解】（1）因，所以（2）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即為；受訪職工評(píng)分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即為.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖?概率與頻率關(guān)系?古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時(shí)，注意其表達(dá)的意義，同時(shí)要理解頻率是概率的估計(jì)值這一基礎(chǔ)知識(shí)；在利用古典概型解題時(shí)，要注意列出所有的基本事件，千萬(wàn)不可出現(xiàn)重?漏的情況.18.已知在中，，，.（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）求的外接圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線AB的斜率，進(jìn)而得出線段AB垂直平分線的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；(2)由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出邊AC的垂直平分線方程，聯(lián)立邊AB的垂直平分線方程，求出外接圓圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式求出圓的半徑，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，則，又直線AB的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為2，得其方程為，即；【小問(wèn)2詳解】由可得邊AC的垂直平分線方程為，所以，解得，即的外接圓的圓心為(1，2)，所以圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.19.已知直線過(guò)點(diǎn)，（1）求在坐標(biāo)軸上截距相等直線的方程.（2）若直線與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）利用截距式直線方程解題即可；（2）利用點(diǎn)斜式直線方程以及基本不等式解題即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)截距為零時(shí)，直線方程為，即；當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)，可得，此時(shí)直線方程為；所以在坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程為和【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，由題意可得，令，則；令，則；即，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到最小值12，所以直線方程為，即.20.已知表示圓的方程.（1）求實(shí)數(shù)取值范圍；（2）當(dāng)圓的面積最大時(shí)，求過(guò)點(diǎn)圓的切線方程.（3）為圓上任意一點(diǎn)，已知，在（2）的條件下，求的最小值.【答案】（1）（2）和（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)方程表示圓，列出不等式，從而可的答案；（2）求出圓C的面積取得最大值，的值，即半徑最大時(shí)，的值，再分切線斜率存在和不存在兩種情況討論即可得解；（3）設(shè)，則，設(shè)，則表示圓C上的點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的平方，求出的最小值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：由題可知：，該方程表示圓，則，即，解得.則實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問(wèn)2詳解】解：令，，開口向下，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，圓C的面積取得最大值，此時(shí)圓的方程為，設(shè)切線方程為即.圓心到切線的距離等于半徑長(zhǎng)，即，解得，則另一條切線斜率不存在。即切線方程為，即；另一條切線方程為；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)，則，設(shè)，則表示圓C上的點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的平方，由（2）知，又，則點(diǎn)M在圓C外面，所以，則.則可知的最小值為.21.如圖在四棱錐中，，,，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得半平面與半平面所成二面角的余弦值為，若存在，求，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，證明，借助直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，借助向量運(yùn)算即可解答.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以,且，又因?yàn)?，，所?且，所以四邊形為平行四邊形，所以,而平面，平面，所以平面

.小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，所?，又因?yàn)?所以，所以，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以?、平面，所以平面，以為原點(diǎn)，以方向分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，,,，，，假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，設(shè)