4.3.1等比數(shù)列的概念（第2課時）（教學設計）（人教A版2019選擇性必修第二冊）

.3.1等比數(shù)列的概念第2課時教學設計課時教學內(nèi)容等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式、等比中項，等比數(shù)列與函數(shù)的關系，學習等比數(shù)列的必要性課時教學目標理解復利計算方法，能解決存款利息的有關計算方法.通過建立數(shù)列模型并應用數(shù)列模型解決生活中的實際問題.理解等比數(shù)列的常用性質(zhì).掌握等比數(shù)列的判斷及證明方法．教學重點、難點1、教學重點運用等比數(shù)列的知識解決簡單的實際問題.2、教學難點根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式推出等比數(shù)列的常用性質(zhì)，教學過程設計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，引入課題例4用10000元購買某個理財產(chǎn)品一年．（1）若以月利率的復利計息，12個月能獲得多少利息（精確到1元）?（2）若以季度復利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到)?分析：復利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計算下一期的利息，所以若原始本金為元，每期的利率為，則從第一期開始，各期的本利和，，，…構成等比數(shù)列．解：（1）設這筆錢存?zhèn)€月以后的本利和組成一個數(shù)列，則是等比數(shù)列，首項，公比，所以所以，12個月后的利息為(元)．（2）設季度利率為，這筆錢存?zhèn)€季度以后的本利和組成一個數(shù)列，則也是一個等比數(shù)列，首項，公比為，于是．因此，以季度復利計息，存4個季度后的利息為元．解不等式，得所以，當季度利率不小于時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念例5 已知數(shù)列的首項．（1）若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若為等差數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列．分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對數(shù)的知識進行證明．證明：（1）由，，得的通項公式為設，則．又，所以，是以27為首項，9為公比的等比數(shù)列．（2）由，，得兩邊取以3為底的對數(shù)，得所以又所以，是首項為1，公差為的等差數(shù)列．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念思考：已知且，如果數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列是否一定是等比數(shù)列？如果數(shù)列是各項均為正的等比數(shù)列，那么數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例6某工廠去年12月試產(chǎn)1050個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%．從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品．1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個以內(nèi)?分析：設從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構成數(shù)列，，則各月不合格品的數(shù)量構成數(shù)列．由題意可知，數(shù)列是等比數(shù)列，是等差數(shù)列．由于數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，所以可以先列表觀察規(guī)律，再尋求問題的解決方法．解：設從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構成數(shù)列，．由題意，知，，其中，則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是．由計算工具計算（精確到0.1），并列表（表4.3-1)．表4.3-1n1234567anbn105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314anbn106.4105.5104.2102.6100.698.195.0環(huán)節(jié)五概念應用，鞏固內(nèi)化觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設法證明當時，遞減，且即可．由，得．所以，當時，遞減．又，所以，當時，．所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能控制在100個以內(nèi)．為什么？環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題：請同學們回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學習的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？1．知識清單：(1)等比數(shù)列的實際應用．(2)等比數(shù)列的常用性質(zhì)．(3)等比數(shù)列的判定和證明．2．方法歸納：方程和函數(shù)思想．3．常見誤區(qū)：不注重運用性質(zhì)，使解題過程煩瑣或者性質(zhì)運用不正確而出錯．等差數(shù)列等比數(shù)列不同點(1)強調(diào)每一項與前一項的差；(2)a1和d可以為零；(3)等差中項唯一.(1)強調(diào)每一項與前一項的比；(2)a1與q均不為零；(3)等比中項有兩個值．相同點(1)都強調(diào)每一項與前一項的關系；(2)結(jié)果都必須是常數(shù)；(3)數(shù)列都可以由a1、d或a1、q確定．聯(lián)系(1)若{an}為正項等比數(shù)列，則{logaan}為等差數(shù)列；(2){an}為等差數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則{ban}為等比數(shù)列.環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成教材：第34頁練習第1，2，3,4題練習（第34頁）1．求滿足下列條件的數(shù)：（1）在9與243中間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等比數(shù)列；（2）在160與中間插入4個數(shù)，使這6個數(shù)成等比數(shù)列．1．解析：（1）在9與243中間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等比數(shù)列，設等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以在9與243中間插入2個數(shù)為27、81．（2）在160與中間插入4個數(shù)，使這6個數(shù)成等比數(shù)列，設等比數(shù)列的公比為，則，解得．所以在160與中間插入4個數(shù)為、、、．2．設數(shù)列，都是等比數(shù)列，分別研究下列數(shù)列是否是等比數(shù)列．若是，證明結(jié)論；若不是，請說明理由．（1）數(shù)列，其中； (2)數(shù)列，其中．2．解析：（1）由，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列．（2）由，則．所以數(shù)列為等比數(shù)列．3．某汽車集團計劃大力發(fā)展新能源汽車，2017年全年生產(chǎn)新能源汽車5000輛．如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的，那么2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車多少輛（精確到1）?3．解析：根據(jù)題意，從2017年開始，每一年新能源汽車的產(chǎn)量構成等比數(shù)列，設為，則，公比，所以，則2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車為（輛），故2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車128145輛．4．某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)為105，力爭2年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)達到240．這個城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)的年平均增長率應達