彎曲變形劉鴻文講解課件

1工程實例§6.1工程中的彎曲變形問題第六章彎曲變形23工程實例4工程實例51.梁的撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。§6.2撓曲線的微分方程B1Fxqqvyx2.梁位移的度量：②撓度：梁橫截面形心的豎向位移w，向下的撓度為正①轉角：梁橫截面繞中性軸轉動的角度q，順時針轉動為正③撓曲線方程：撓度作為軸線坐標的函數(shù)—w=f(x)④轉角方程(小變形下)：轉角與撓度的關系—3.計算位移的目的：剛度校核、解超靜定梁、適當施工措施第六章彎曲變形6撓度、轉角的定義7一、撓曲線近似微分方程1.靜力學關系：2.幾何關系：§6.3用積分法求彎曲變形3.撓曲線近似微分方程：yxyx8二、積分法求梁的撓曲線2.支承條件與連續(xù)條件:

1.式中C1、C2為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。1)支承條件：

2)連續(xù)條件：撓曲線是光滑連續(xù)唯一的lFAB9qmaxwmax解：建立坐標系如圖x處彎矩方程為：

例6.1圖示為鏜刀在工件上鏜孔的示意圖。為保證鏜孔精度，鏜刀桿的彎曲變形不能過大。設徑向切削力F＝200N，鏜刀桿直徑d＝10mm，外伸長度l＝50mm。材料的彈性模量E＝210GPa。試求鏜刀桿上安裝鏜刀頭的截面B的轉角和撓度。

yxFx代入數(shù)據(jù)得10例6.3求圖示梁受集中力F作用時的撓曲線方程。FabClABFAFB解：1、求支反力11§6-4按疊加原理計算彎曲變形疊加原理：梁的變形微小，且梁在線彈性范圍內工作時，梁在幾項荷載（可以是集中力,集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉角，就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加。當每一項荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y軸方向),其轉角是在同一平面內(如均在xy平面內)時,則疊加就是代數(shù)和。這就是疊加原理。

例6.4橋式起重機的大梁的自重為均布載荷，集度為q。作用于跨度中點的吊重為集中力F。試求大梁跨度中點的撓度。

PAqCB解：查表得：

例6.5車床主軸的計算簡圖可簡化成外伸梁，如圖所示。F1為切削力，F(xiàn)2為齒輪傳動力。若近似地把。外伸梁作為等截面梁，試求截面B的轉角和端點C的撓度。ABDCaF2F112ABDCaF2ABDCaF2F1ABDCaF1ABDCaF1ABDCaF1MB=F1a解：將兩個載荷分別作用在原結構上，F(xiàn)2作用查表。由于BC段沒有載荷，故BC段彎矩為零。代人撓曲線微分方程并積分兩次得：由上式看出BC段撓曲線是直線，所以：F1作用時由于沒有現(xiàn)成的表格，所以將其分解：1、將B點看成固定端對BC段的變形沒有影響。直接查表，但B端轉角為零，與原結構不同，原因是AB段的彎矩與原結構不同；2、將F1移到B點并附加力偶MB，查表13習題一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點的撓度wC和支座處橫截面的轉角

A,B

。解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖所示。mABCAqCBmAqCB

例6.6在簡支梁的一部分上作用均布載荷。試求跨度中點的撓度，設b<l/2。ABblqxdxqdx解：dx段力dF＝qdx引起的撓度查表得：按疊加法，積分得：14先從表中查出兩者分別作用時梁的相應位移，然后按疊加原理求出其代數(shù)和，即得所求的位移AqCBmABCAqCBm15習題

試利用疊加法，求圖a所示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點的撓度wC

和兩端截面的轉角

A,

B。解：如圖所示梁可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。ABCqABCAB反對稱荷載作用下，可將AC段和BC段視為受均布線荷載作用且長度為l

/2的簡支梁,因此正對稱荷載作用下，有

將相應的位移進行疊加,即得16習題一抗彎剛度為EI的外伸梁受荷載如圖a所示,

試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉角

B以及A端和BC段中點D的撓度wA和wD解：將外伸梁沿B截面截成兩段，將AB段看成B斷固定的懸臂梁，BC段看成簡支梁。ABCDa2qqa2a2qAB2qaB截面兩側的相互作用力為：2qa,就是B截面的剪力和彎矩。2qaqBCDA簡支梁BC的受力情況與外伸梁AC的BC段的受力情況相同。因此，由簡支梁BC求得的q

B及wD就是外伸梁AC的qB及wD。17BCD求和qBCD2qaqBCD2qa查附錄1V得：由疊加原理得18求wA由于簡支梁上B截面的轉動，代動AB段一起作剛體運動，使A

端產生撓度w1懸臂梁AB本身的彎曲變形，使A端產生撓度w22qAB2qaqBCDA求總的wA因此，A端的總撓度應為由附錄1V查得代入上式得19習題如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數(shù)，求B點轉角和撓度。FqvBqvCqqBFvBPFq1.在F作用下：2.在q作用下：3.在F和q共同作用下：20習題

已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC和轉角

C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解213）將結果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角。22ABalFCFABalCFaFaBC+1）考慮AB段(BC段看作剛體)F作用在支座上，不產生變形。Fa使AB梁產生向上凸的變形。查表得：則

習題怎樣用疊加法確定wC?232）考慮BC段(AB段看作剛體)AFaBC所以ABalCFa24習題圖示，一受載荷的懸臂梁，求自由端A點處的撓度和轉角解：在分析這種梁的時候，我們把它分成兩段來考慮：由附錄中，我們可查得：

由CA段上無載荷，CA段又是自由端，所以CA段梁變形后仍保持直桿，如圖所示，由桿件的變形連續(xù)條件可知：25習題

按疊加原理求C點撓度。解：

載荷無限分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。

疊加q00.5L0.5LxdxbxwC26ABq

I、超靜定梁的解法（1）將可動鉸鏈支座作看多余約束解除多余約束，代之以約束反力RB。得到原超靜定梁的基本靜定系。qAB圖示為抗彎剛度為EI的一次超靜定梁說明超靜定梁的解法?！?/p>

6-5

簡單超靜定梁（2）超靜定梁在多余約束處的約束條件，梁的變形相容條件。

（3）根據(jù)變形相容條件得變形幾何方程變形幾何方程為27（4）將力與變形的關系代入變形幾何方程得補充方程查表得qABqABBA

補充方程為由該式解得求出該梁固定端的兩個支反力28ABq代以與其相應的多余反力偶mA得基本靜定系。變形相容條件為請同學們自行完成！方法二取支座A處阻止梁轉動的約束為多余約束。ABq29例題6－7：梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接,在梁受荷載作用前,桿AD內沒有內力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見圖,試求鋼桿AD內的拉力N。a2aABCq2qD解：這是一次超靜定問題。將AD桿與梁AC之間的連結絞看作多于約束。拉力N為多余反力?；眷o定系如圖BCq2qANADNA點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于A點。即30ADBCq2qA點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于A點。即NN變形幾何方程為根據(jù)疊加法A端的撓度為可算出31拉桿AD的伸長為補充方程為由此解得32例題6－8：求圖示梁的支反力，并繪梁的剪力圖和彎矩圖。已知EI=5103KN.m3。4m3m2mABDC30KN解：這是一次超靜定問題取支座B截面上的相對轉動約束為多余約束。基本靜定系為在B支座截面上安置鉸的靜定梁，如圖所示。DCAB30KN多余反力為分別作用于簡支梁AB和BC的B端處的一對彎矩MB變形相容條件為，簡支梁AB的B截面轉角和BC梁B截面的轉角相等。33由表中查得補充方程為解得負號表示B截面彎矩與假設相反。34++--32.0547.9518.4011.64++-25.6831.8023.281.603m由基本靜定系的平衡方程可求得其余反力在基本靜定系上繪出剪力圖和彎矩圖。CADB30KN35習題兩根鋼制懸臂梁AB和CD與長為4m的一繃緊的鋼絲BC，在無初載荷的情況下相連接，如圖所示。連接后鋼絲溫度下降500C，試求鋼絲內產生的應力。已知梁AB，CD和鋼絲BC的彈性模量E＝200GPa，梁的慣性矩I＝10×106mm4，鋼絲橫截面面積A＝60mm2；鋼絲線膨脹系數(shù)a＝12×10－6/0C。4m1.5m1.5mBACD36習題圖示為水平放置的兩個懸臂梁，兩梁在自由端處疊加在一起，梁的長度及梁上荷載如圖所示，已知兩梁的彎曲剛度相同。試分別畫出兩梁的彎矩圖。2aaCBAEIEIF習題如圖所示懸臂梁AD和BE的抗彎剛度同為EI=24×106N·m2，由鋼桿CD相連接。CD桿的l=5m,A=3×10—4m2，E＝200GPa。若P=50kN，試求懸臂AD在D點的撓度。2m2mPECDAB37§6-6提高彎曲剛度的一些措施I、梁的剛度校核（書中無這部分內容）

對于梁的撓度,其許可值通常用許可的撓度與梁跨長的比值作為標準。梁的剛度條件可表示為在土建結構中，通常對梁的撓度加以限制，例如橋梁的撓度過大，則在機車通過時將發(fā)生很大的振動。在機械制造中，往往對撓度和轉角都有一定的限制，例如機床主軸的撓度過大，將影響其加工精度；傳動軸在支座處轉角過大，將使軸發(fā)生嚴重的磨損等等。在土建工程中在機械工程中381.調整跨長和改變結構；減小彎矩的數(shù)值縮短跨長：如將簡支梁改為外伸梁；或增加支座等。2.選擇合理的截面形狀；增大梁的抗彎剛度EI；主要增大I值，在截面面積不變的情況下，采用適當形狀，盡量使面積分布在距中性軸較遠的地方。例如：工字形、箱形等。qlABqlABqABII、提高梁的剛度的措施39純彎曲時梁的彎曲應變能為：橫力彎曲時梁的彎曲應變能為：F

例五計算圖示懸臂梁的彎曲應變能，并計