壓桿彎曲平衡微分方程的解析解

壓桿彎曲平衡微分方程的解析解

考慮到軸向力效應(yīng)和附加曲線幾何非線性分析，國內(nèi)外主要采用“精確法”。在桿系統(tǒng)非線性方程的基礎(chǔ)上，基于漸進(jìn)法的基本思想，考慮了各桿單元在各級(jí)負(fù)荷范圍內(nèi)的幾何非線性變化的概率分析。許多科學(xué)家基于金元模型進(jìn)行了大量的研究。在三個(gè)插值單元?jiǎng)偩仃嚨幕A(chǔ)上，增加了幾何剛矩陣。在模型中，當(dāng)組件被劃分為幾個(gè)單元時(shí)，模型需要按照三個(gè)單元的方法將組件劃分為幾個(gè)單元，以獲得所需的精度。kondoh和atuli發(fā)展了基于單元模擬的混合單元，不直接考慮位移場，使用剩余能量原理建立了可變場的平衡方程。bahe和ziech提出了基于數(shù)值積分的隱式收斂矩陣。chunu提出了基于五種插值點(diǎn)的聯(lián)合潘基文。雖然精度很高，但僅適用于軸向力小的結(jié)構(gòu)。chen和其他科學(xué)家使用穩(wěn)定函數(shù)研究了平面支架的問題。ekhand等人提出了穩(wěn)定函數(shù)表示的空間支柱單元的剛致角矩陣，并考慮了這兩個(gè)軸向彎曲之間的耦合效應(yīng)，以獲得更精確的邊界問題矩陣。然而，當(dāng)軸向力成為零時(shí)，當(dāng)軸向力成為零時(shí)，數(shù)值不穩(wěn)定。上述分析所采用的數(shù)值方法,由于單元模型考慮得不全面,導(dǎo)致了對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的模擬存在很多問題;而且對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu),計(jì)算量較大,不便于實(shí)際工程應(yīng)用.而傳統(tǒng)的求解壓桿彎曲問題是根據(jù)邊界條件確定方程的積分常數(shù),使問題轉(zhuǎn)變?yōu)榧償?shù)學(xué)上的復(fù)雜微分方程求解.但積分常數(shù)的物理意義不明確,對(duì)于復(fù)雜的問題難以求解.筆者通過對(duì)壓桿的特定受力平衡狀態(tài)分析,把求解壓桿彎曲微分方程問題,轉(zhuǎn)化為根據(jù)壓桿的邊界條件和平衡條件確定撓曲線方程的待定幾何參數(shù)問題,建立起考慮P-Δ效應(yīng)(軸力二階效應(yīng))的撓度理論計(jì)算公式,使得物理意義明確,概念清晰.最后,對(duì)考慮P-Δ效應(yīng)的體外預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)變形進(jìn)行了計(jì)算分析,計(jì)算結(jié)果證明,該方法具有較高的可靠性和適用性,對(duì)實(shí)際工程具有一定的指導(dǎo)意義.1定常態(tài)變化的撓曲線方程本文采用劉晚成提出的求解壓桿彎曲問題的解析法.其基本原理是:建立壓桿彎曲平衡的微分方程,將其解(撓曲線方程)轉(zhuǎn)換成以待定幾何參數(shù)表達(dá)的形式.該撓曲線表達(dá)式由一正弦曲線與一多次曲線(多次曲線的次數(shù)根據(jù)壓桿所承受的橫向荷載為零,均布荷載或線性變化分布荷載分別為一、二或三而定)疊加而成.通過對(duì)正弦曲線和多次曲線相對(duì)應(yīng)壓桿的特定受力平衡狀態(tài)分析,把求解壓桿微分方程問題,轉(zhuǎn)化為根據(jù)壓桿的邊界條件和平衡條件確定撓曲線方程的待定幾何參數(shù)問題.1.1壓桿撓曲方程的特征如圖1所示,一等截面受壓直桿,兩端有任意約束,端截面上作用著軸力、剪力及彎矩.圖中的虛線表示受荷前的原有位置,實(shí)線為加載變形后新的平衡位置.彎曲平衡的微分方程為EId2ydx2+P(y?y0)=M0+Q0x(1)EΙd2ydx2+Ρ(y-y0)=Μ0+Q0x(1)式中:P為軸向力;M0,Q0分別為約束在截面x=0上所產(chǎn)生的彎矩及水平反力;y0為截面x=0處的水平位移;E為彈性模量;I為截面慣性矩.設(shè)式(1)的通解為y=A1coskx+A2sinkx+A3x+A4(2)y=A1coskx+A2sinkx+A3x+A4(2)式中:k=P/EI?????√k=Ρ/EΙ;Ai(i=1,2,3,4)為待定的積分常數(shù),可由邊界條件確定.引入一個(gè)參數(shù)φ,令tanφ=?A1/A2(3)?A1sinφ=A2cosφ=A(4)tanφ=-A1/A2(3)-A1sinφ=A2cosφ=A(4)將式(3),(4)代入(式2),可得y=Asin(kx?φ)+A3x+A4(5)y=Asin(kx-φ)+A3x+A4(5)由式(5)可知,壓桿撓曲線由兩部分組成:正弦曲線Asin(kx-φ)和斜直線A3x+A4.由于壓桿的大變形彎曲屬于非線性問題,故不能直接用疊加方法求解.上述兩個(gè)側(cè)移表達(dá)式疊加的條件是它們都承受垂直荷載P的作用.如圖2所示,壓桿側(cè)移的撓曲線圖可以分解為兩部分:在P和彎矩M0(ML)作用下壓桿的正弦變形撓曲線,在P和水平剪力Q0(QL)作用下壓桿側(cè)移的傾斜直線.在圖2c中,μ為壓桿的有效長度系數(shù),ζ為反彎點(diǎn)位置系數(shù),μL表示正弦曲線的兩個(gè)反彎點(diǎn)之間的距離,ζL表示x軸正方向第一個(gè)反彎點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.兩個(gè)反彎點(diǎn)之間的桿段是一個(gè)典型的二力桿的歐拉彎曲模型,故有P=π2EI/(μL)2(6)Ρ=π2EΙ/(μL)2(6)將式6)代入k的表達(dá)式,可得k=π/μL(7)k=π/μL(7)由圖2b可知,壓桿任意截面的彎矩表達(dá)式為M=PAsin(kx?φ)(8)Μ=ΡAsin(kx-φ)(8)在反彎點(diǎn)處,由于x=ζL,M=0,可得φ=ζπ/μ(9)φ=ζπ/μ(9)把式(7),(9)代入式(5),得到用幾何參數(shù)所表達(dá)的壓桿彎曲的撓曲線方程y=Asin(xμL?ζμ)π+A3x+A4(10)y=Asin(xμL-ζμ)π+A3x+A4(10)式(10)即為撓曲線微分方程(1)的通解,適用于任意邊界條件的壓桿.對(duì)于給定邊界條件的壓桿,可將求特解問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)桿端的變形連續(xù)條件和力的平衡條件確定撓曲線方程的幾何參數(shù)問題.由式(10)可以得出壓桿撓曲線上任意一點(diǎn)的切線方向?yàn)閠anθ=AπμLcos[(xμL?ζμ)π]+A3(11)tanθ=AπμLcos[(xμL-ζμ)π]+A3(11)壓桿撓曲線上任意一點(diǎn)的彎矩為M=PAsin[(x/μL?ζ/μ)π](12)Μ=ΡAsin[(x/μL-ζ/μ)π](12)現(xiàn)分析式(10)的組成.可知,Asin[(x/μL-ζ/μ)π]是以x軸為基線的正弦曲線,曲線的兩個(gè)反彎點(diǎn)間距為μL,正方向最近的反彎點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為ζL;A3x+A4是在桿的兩端同時(shí)作用有P和Q0(QL)的情況下,保持平衡狀態(tài)的傾斜直線,A3的幾何意義為斜直線與x軸夾角的正切,即桿0端P和Q0的合力作用線與x軸夾角的正切,其值為A3=Q0/P;A4的幾何意義為斜直線在y軸上的截距.在一般情況下,A3≠0,ζ≠0,可將直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)在桿變形前的一個(gè)端點(diǎn),直角坐標(biāo)系的x軸與桿軸重合,桿的另一端為x軸的正方向,y軸方向與桿0端撓曲方向一致.此時(shí),A4=A3ζL;如果A3或ζ為零,則A4必須由邊界條件確定.在特殊條件下,如桿的某一端彎矩為零,可將直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)在該桿端.此時(shí),A4=0,ζ=0,計(jì)算簡化.1.2實(shí)用公式根據(jù)上面提出的壓桿彎曲問題的解析法,分別推導(dǎo)出不同受力情況的實(shí)用公式.(1)橫向集中荷載作用于跨中的yl/lymax=QP[(μL/π)sin(xπ/μL)cos(aπ/μL)?sin(aπ/μL)?cot[(a/μL?1/μ)π]?bLx](0≤x≤a)(13)ymax=QΡ[(μL/π)sin(xπ/μL)cos(aπ/μL)-sin(aπ/μL)?cot[(a/μL-1/μ)π]-bLx](0≤x≤a)(13)若橫向集中荷載作用于跨中,可得跨中最大側(cè)移為yL/?2=QLP(μ2π?tanπ2μ?14)(14)yL/?2=QLΡ(μ2π?tanπ2μ-14)(14)(2)桿端有一個(gè)與曲線一樣作用的簡支壓桿ymax=yL/2=MP(1cos(π/2μ)?1)(15)ymax=yL/2=ΜΡ(1cos(π/2μ)-1)(15)(3)ql28p16y干部y干部ymaymax=yL/2=EIqP2(1cos(π/2μ)?1)?qL28P(16)ymax=yL/2=EΙqΡ2(1cos(π/2μ)-1)-qL28Ρ(16)2梁的變形分析一根跨徑24.0m的后張預(yù)應(yīng)力混凝土T形受彎構(gòu)件,截面尺寸及布置如圖3所示.在跨中承受的集中力Q=404kN,混凝土采用C50級(jí),彈性模量Ec=34.5GPa.通過對(duì)10根模擬梁分別施加預(yù)加軸向力,扣除全部預(yù)應(yīng)力損失后,有效預(yù)加力為Npc;分別對(duì)Npe為1769kN,1869kN,1969kN,2069kN,2169kN,2269kN,2369kN,2469kN,2569kN,2669kN時(shí)的梁進(jìn)行分析.程序設(shè)計(jì)時(shí),一種情況是考慮軸向力影響的變形f1,按規(guī)范計(jì)算;另一種情況是不考慮軸向力影響的變形f2,按幾何非線性問題計(jì)算.圖3a中,梁的變形由兩部分疊加而成,第一部分如圖3b所示,為跨中作用集中力的簡支梁的變形(按式(14)計(jì)算);另一部分如圖3c所示,為兩端作用等彎矩的簡支梁的變形(按式(15)計(jì)算).通過分析、計(jì)算、整理,結(jié)果如表1所示.從表中可以看出,對(duì)體外預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)考慮幾何非線性的計(jì)算結(jié)果,與按規(guī)范計(jì)算變形的結(jié)果存在一定的差異,這種差異隨著預(yù)加軸向力的增大而增大,已經(jīng)超出了工程上所允許的范圍.所以,在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中,當(dāng)預(yù)加軸向力較大時(shí),應(yīng)考慮P-Δ效應(yīng)的幾何非線性影響,按本文推導(dǎo)的壓桿彎曲問題的求解公式進(jìn)行計(jì)算是必要的.3結(jié)