高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題8.5 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題8.5簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（重難點(diǎn)題型精講）1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積3．空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，再相加或相減.4．球的截面(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.5．幾何體與球的切、接問題常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：【題型1多面體的表面積與體積】【方法點(diǎn)撥】求解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積時(shí)，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體積計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個(gè)正四棱錐，如圖2，已知正四棱錐P?ABCD的高為4.87m，其側(cè)棱與高的夾角為45°，則該正四棱錐的體積約為（

）4.87A．231m3 B．179m3 C．【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在CCA．V28 B．V21 C．3V28【變式1-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面的面積為10，該側(cè)面與其相對(duì)側(cè)棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（

）A．30 B．15 C．10 D．60【變式1-3】（2023秋·江西上饒·高二期末）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù).商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即一個(gè)長方體沿對(duì)角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個(gè)塹堵，再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖2），得一個(gè)四棱錐稱為陽馬（圖3），一個(gè)三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若某長方體的長為4，寬為2，高為2，記該長方體的體積為V，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1，V2，V3，則下列選項(xiàng)不正確A．V=16 B．VC．V2=16【題型2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積】【方法點(diǎn)撥】求解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積時(shí)，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體積計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例2】已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，弧長為4π的扇形，則該圓錐的表面積為（

A．4π B．8π C．12π【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓柱體積為π，底面半徑為3，則與此圓柱同底且體積相同的圓錐的側(cè)面積為（

）A．3π B．23π C．3【變式2-2】（2022春·河南·高一期中）圓臺(tái)上?下底面半徑分別是1?2，高為3，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（A．733π B．23π 【變式2-3】（2023春·河南·高三開學(xué)考試）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知AB=9cm,CD=3cmA．363+81πC．243+81π【題型3球的表面積與體積】【方法點(diǎn)撥】計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵都是確定球的半徑，要注意把握球的表面積公式和體積公式中系數(shù)的特征和半徑次數(shù)的區(qū)別.必要時(shí)需逆用表面積公式和體積公式得到球的半徑.【例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若球的表面積擴(kuò)大為原來的n倍，則它的半徑比原來增加的倍數(shù)為（

）A．n?1 B．n+1 C．n+2【變式3-1】（2022秋·上海徐匯·高二期末）如果兩個(gè)球的表面積之比為4：9，那么這兩個(gè)球的體積之比為（

）A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9【變式3-2】（2022春·湖南株洲·高一期中）已知球O的表面積為12π，則它的體積為（

）A．43π B．43 C．8【變式3-3】（2023秋·河南安陽·高三期末）圓錐的母線長為2，側(cè)面積為2π，若球O的表面積與該圓錐的表面積相等，則球O的體積為（

A．2π3 B．2π3 C．【題型4球的截面問題】【方法點(diǎn)撥】利用球的半徑、截面的半徑、球心與截面圓心的連線構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為A．8π3 B．C．8π D．8【變式4-1】（2022秋·福建泉州·高二開學(xué)考試）已知AB為球O的一條直徑，過OB的中點(diǎn)M作垂直于AB的截面，則所得截面和點(diǎn)A構(gòu)成的圓錐的表面積與球的表面積的比值為（）A．316 B．916 C．38【變式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）過半徑為2的球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比為（

）A．932 B．916 C．38【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）體積為183的正三棱錐A?BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R:BC=2:3，點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

A．[4π,12π] B．[8π,16π] C．[8π,12π] D．[12π,16π]【題型5幾何體與球的切、接問題】【方法點(diǎn)撥】1.球外接于幾何體，則幾何體的各頂點(diǎn)均在球面上.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，一般需依據(jù)球和幾何體的對(duì)稱性，明確接點(diǎn)的位置，根據(jù)球心與幾何體特殊點(diǎn)間的關(guān)系，確定相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面進(jìn)行求解.2.解決幾何體的內(nèi)切球問題，應(yīng)先作出一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?一般作出多面體的對(duì)角面所在的截面)，這個(gè)截面應(yīng)包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.【例5】（2022秋·江蘇淮安·高三階段練習(xí)）如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1A．814π,24C．24316π,24【變式5-1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，∠ABC=60°，將△ACD沿邊AC翻折，使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn)，且PB=22，則三棱錐P?ABCA．15π B．25π C．55【變式5-2】如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=4，A．46π B．83π C．【變式5-3】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的各邊長為2，∠B=60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐P?ACD，如圖所示，當(dāng)三棱錐P?ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P?ACD的外接球體積為（A．523π B．433π【題型6實(shí)際應(yīng)用問題】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是正確建立數(shù)學(xué)模型，然后利用表(側(cè))面積或體積公式即可求解.另外，正確作出截面圖，找出其中的等量關(guān)系也是常用的方法.與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題一般涉及容積問題，解題的關(guān)健是正確作出截面圖，找出其中的等量關(guān)系.另外，利用總體積不變，正確建立等量關(guān)系，也是常用的方法.【例6】（2022秋·上海浦東新·高二期末）如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm．(1)這種“浮球”的體積是多少cm3(2)要在這樣2500個(gè)“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少克？（精確到克）【變式6-1】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個(gè)帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計(jì)損失）.(1)若釘身長度是釘帽高度的3倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；(2)若每塊鋼板的厚度為10mm，求釘身的長度（結(jié)果精確到1mm）.【變式6-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高10cm，為了測(cè)得某個(gè)球的體積，小明將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為8cm，如果不計(jì)容器