第03講角（原卷版）

第03講角課程標準學習目標①角的認識②角的單位與換算③角的度量與大小比較④角的計算⑤余角和補角掌握角的定義及其表示方法，能夠熟練的表示角，判斷角。掌握角單位及其換算，能夠熟練的進行換算。掌握角的度量方法，并能夠正確的進行大小比較。掌握角的計算，并能夠熟練的進行有關計算。掌握余角與補角的概念及其性質，并能夠熟練的對其應用。知識點01角的認識與表示角的定義：靜態(tài)定義：有端點的兩條射線組成的圖形叫做角。動態(tài)定義：把一條射線繞著它的旋轉而形成的圖形。角的圖示與組成：角的頂點：兩條射線的叫做角的頂點。角的邊：組成角的是角的邊。角的表示方法：圖1圖2角的符號：∠表示方法1：如圖1：用表示頂點的大寫字母表示。即表示為。（此方法只能用于表示該頂點只有一個角的情況）表示方法2：如圖1,：用三個大寫字母表示。即表示為。表示方法3：如圖2：用希臘字母或阿拉伯數字表示。即表示為。（方法2與方法3適用于任意角）題型考點：①角的表示。②確定角的數量。【即學即練1】1．下列圖形中，能用∠O和∠1表示同一個角的是（）A．B． C． D．【即學即練2】2．下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的是（）A．B． C． D．【即學即練3】3．如圖，從點O出發(fā)的五條射線，可以組成的角有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．10個【即學即練4】4．在銳角∠AOB內部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數為（）A．165 B．186 C．199 D．210知識點02角的單位與換算角的單位：角的單位有；；。把周角360份等分，平均一份就是度，記作：，把1°的角進行60份等分，其中一份就是，記作：，把1′角按60份等分，其中一份就是，記作：。角的單位換算：1周角＝°＝平角，1平角＝°＝直角，1直角＝°，1°＝，1′＝。若把以“度”為單位的角化成以“度分秒”來表示，先把不足的部分化成分，在把不足的部分化成秒。若把“度分秒”為單位的角化為以“度”為單位，先把秒為單位的部分化作分，加上以分為單位的部分，再把他們的和化成以度為單位，加上以度為單位的部分即可。題型考點：①單位的換算?！炯磳W即練1】5．把40°12′36″化為用度表示，下列正確的是（）A．40.11° B．40.21° C．40.16° D．40.26°【即學即練2】6．把7.26°用度、分、秒表示正確的是（）A．7°2′12″ B．7°2′6″ C．7°15′36″ D．7°15′6″【即學即練3】7．35.15°＝°′″；12°15′36″＝°．知識點03角的度量與大小比較量角器的認識：如圖：測量角度數的工具是。它是由一個和兩條以及刻度組成。角度量方法：把量角器的中心與角的重合，其中一條0刻度線與重合，另一條邊所在刻度即為角的度數。從重合的0刻度線讀起。題型考點：①有實際問題抽象出方程。②方程的實際應用?！炯磳W即練1】8．用量角器度量∠MON，下列操作正確的是（）A． B． C． D．【即學即練2】9．數學課上，小明和小杰想用量角器測量∠AOB的度數，圖①和圖②分別是小明和小杰的測量方式，其中操作正確的是（）A．小明 B．小杰 C．小明和小杰 D．都不正確角的大小比較方法1：疊合法：把角的和重合，角的另一邊放在重合邊的同一側，離重合邊越遠角度越大，反之越小。方法2：度量法：直角用量角器度量比較。注意：角的大小只與角兩邊的張開程度有關，與兩邊的長度無關。題型考點：①角的大小比較?！炯磳W即練1】10．用“疊合法”比較∠1與∠2的大小，正確的是（）A． B． C． D．【即學即練2】11．如圖，射線OC，OD分別在∠AOB的內部、外部，下列結論錯誤的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC知識點04角的計算鐘面角的計算：鐘面上一大格表示，一小格表示。題型考點：①求鐘面時針與分針夾角。【即學即練1】12．已知本學期某學校下午上課的時間為14時20分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【即學即練2】13．實驗中學上午10：10時通常準時上第三節(jié)課，此時時針與分針所夾的角是（）A．105° B．110° C．115° D．120°方向角：方向角通常用多少度，多少度，多少度，多少度來表示。題型考點：①方向角的表示【即學即練1】14．如圖，下列說法中錯誤的是（）A．OA方向是北偏東30° B．OB方向是北偏西15° C．OC方向是南偏西25° D．OD方向是東南方向【即學即練2】15．如圖，下面說法正確的是（）①書店在商場的南偏西45°方向400米處；②商場在小玲家西偏北30°方向1000米處；③小玲家在商場東偏南30°方向1000米處；④小玲家到商場的距離是書店到商場距離的．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④角的等分線：①角平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成的兩個角的射線叫做這個角的平分線。如圖：若∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，則OC是角∠AOB的平分線。反之，若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC＝∠BOC＝∠AOB。②角的三等分線：把角平均分成相等的三份。③角的四等分線：把角平均分成相等的四份。以此類推。角的和、差、倍、分計算：角的和、差、倍、分與角的計算就是角度的和、差、倍、分與角度的計算。題型考點：①角度的計算?！炯磳W即練1】16．如圖，直線AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分線且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（）°第16題第17題A．80 B．100 C．130 D．150【即學即練2】17．如圖，兩個直角∠AOB，∠COD有相同的頂點O，下列結論：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，則OB平分∠COD；④∠AOD的平分線與∠COB的平分線是同一條射線．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學即練3】18．如圖，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB內任意一條射線，OB，OD分別平分∠COD，∠BOE，下列結論：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正確的有（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④【即學即練4】19．如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數．【即學即練5】20．如圖，OC是∠AOB的平分線，∠COD＝20°．（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度數．（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度數．知識點05余角和補角余角與補角的定義：如果兩個角的和等于，則這兩個角互余。即若∠1＋∠2＝90°，則或或。如果兩個角的和等于，則這兩個角互補。即若∠1＋∠2＝180°，則或或。余角和補角的性質：同角的余角。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，則。同角的補角。即∠1的補角是∠2，∠2的補角是∠3，則。等角的余角。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，則。等角的補角。即若∠1＝∠2，∠1的補角是∠3，∠2的補角是∠4，則。一個角的補角比這個角的余角大。題型考點：①余角與補角有關的計算。【即學即練1】21．若∠α＝54°32'，則∠α的余角的大小是（）A．35°38' B．35°28' C．125°28' D．125°38'【即學即練2】22．若∠α與∠β互余，∠α＝72°30'，則∠β的大小是（）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'【即學即練3】23．一個角的余角和這個角的補角互補，則這個角是（）A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．不能確定【即學即練4】24．下列結論：①互補且相等的兩個角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1+∠2+∠3＝180°，則∠1，∠2，∠3互為補角；④銳角的補角是鈍角；⑤銳角的補角比其余角大80°．其中正確的個數為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型01角的數量規(guī)律【典例1】如圖，從∠AOB的頂點引出兩條射線OC，OD，圖中的角共有（）A．3個 B．4個 C．6個 D．7個【典例2】如圖所示，∠AOB＝90°，則圖中銳角有（）A．12個 B．14個 C．15個 D．16個【典例3】如圖①，若在∠AOB的內部以O為端點做一條射線OA1，得到3個角；如圖②，若在∠AOB的內部以O為端點做兩條射線OA1和OA2，得到6個角……，以此類推，如果在∠AOB的內部以O為端點做n條射線，則圖③中角的個數為（）A．n（n+1） B． C． D．【典例4】如圖，在∠AOB內，從圖（1）的頂點O畫1條射線，圖中共有3個角；從圖（2）頂點O畫2條射線，圖中共有6個角，按這樣規(guī)律繼續(xù)下去，若從頂點O畫29條射線，則圖中共有（）個角．A．465 B．450 C．425 D．300題型02角的換算【典例1】若∠α＝5.15°，則∠α用度、分、秒表示為（）A．5°15' B．5°1′5″ C．5°9′ D．5°30′【典例2】0.25°等于（）A．90′ B．60′ C．15′ D．360′【典例3】20°13'12″化為用度表示是（）A．20.12° B．20.2° C．20.20° D．20.22°【典例4】下列運算正確的是（）A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′ C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°題型03角的大小比較【典例1】若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，則（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B【典例2】如圖，若∠AOB＞∠COD，則∠AOD與∠BOC的大小關系是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能確定【典例3】若∠A＝30.25°，∠B＝30°28″，∠C＝30°18'，則有（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【典例4】如圖1，圖2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，則∠AOB的度數可能（）A．60° B．50° C．40° D．30°題型04角的計算【典例1】如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠AOC的平分線，且∠COD＝25°，則∠AOB等于（）A．50° B．75° C．100° D．120°【典例2】如圖，點O在直線AB上，∠COD＝90°，若∠BOD＝32°，OE平分∠AOC．則∠AOE＝（）A．60° B．61° C．66° D．56°【典例3】如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數；（2）過點O作射線OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度數．【典例4】如圖，OB是∠AOC內部的一條射線，OM是∠AOB內部的一條射線，ON是∠BOC內部的一條射線．（1）如圖1，若∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分別是∠AOB、∠BOC的角平分線，求∠MON的度數；（2）如圖2，若OB平分∠AOC，且∠CON＝2∠AOM，∠BOM：∠AOC＝2：5，則∠BOM和∠BON之間存在怎樣的數量關系？請說明理由．題型05余角與補角【典例1】如果一個角的余角是55°，那么這個角的補角的度數是（）A．145° B．125° C．90° D．35°【典例2】若∠1與∠2互補，∠2與∠3互補，則∠1與∠3的關系滿足（）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3【典例3】已知∠1與∠2互余，若∠2＝29°20'，則∠1的度數等于（）A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20'【典例4】若一個角的余角是它的補角的，則這個角的度數是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【典例5】已知∠α是銳角，∠α與∠β互補，∠α與∠γ互余，則∠β﹣∠γ的度數為（）A．180° B．90° C．45° D．無法確定1．若∠A＝50°，則∠A的補角為（）A．40° B．140° C．130° D．50°2．鐘表上從早上6點30分到早上8點10分時針所走的度數為（）A．45° B．50° C．55° D．60°3．下列說法中正確的有（）①在時刻8：30時，時鐘上的時針與分針的夾角是75°；②線段AB的長度就是A，B兩點間的距離；③若點P使AP＝PB，則P是AB的中點；④1°＝3600′．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，點B，O，D在同一直線上，則∠COD的度數為（）A．75° B．15° C．105° D．165°5．如圖，A處在B處的西北方向，A處在C處的南偏西80°方向，從A處觀測B，C兩處的視角∠BAC的大小是（）A．50° B．55° C．60° D．65°6．如圖，射線OC平分∠AOB，射線OD平分∠BOC，則下列等式中成立的有（）①∠COD＝∠AOD﹣∠BOC；②∠COD＝∠AOD﹣∠BOD；③2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB；④．A．①② B．①③ C．②③ D．②④7．如圖所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則∠1、∠2、∠3三個角的數量關系為（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°8．已知三條射線OA、OB、OC，若其中一條射線平分另兩條射線所組成的角時，我們稱OA、OB、OC組成的圖形為“角分圖形”，如圖（1），當OB平分∠AOC時，圖（1）為角分圖形．如圖（2），點O是直線MN上一點，∠DON＝70°，射線OM繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉至OM1，設時間為t（0≤t≤36），當t為何值時，圖中存在角分圖形．小明認為t＝29s，小亮認為t＝11s，你認為正確的答案為（）A．小明 B．小亮 C．兩人合在一起才正確D．兩人合在一起也不正確9．如圖，已知∠COD＝∠AOB＝75°，當∠COD繞著點O旋轉且OC在∠AOB內部時，∠AOD+∠BOC＝．10．102.43°＝度分秒．11．如圖，O是直線AB上的點，OD是∠COB的平分線，若∠AOC＝40°，則∠BOD＝°．12．一個角的余角比它的補角的多12°，則這個角為