測(cè)控系統(tǒng)仿真技術(shù)課件

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1微分方程控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通常是指動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。最基本、最重要的數(shù)學(xué)模型是微分方程，它反映了元部件或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)運(yùn)行的規(guī)律。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，一般是根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)、參數(shù)及計(jì)算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型既能準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)本質(zhì)，又能簡(jiǎn)化分析計(jì)算的工作。建立數(shù)學(xué)模型比較常見的方法是解析法和實(shí)驗(yàn)法。

解析法是根據(jù)系統(tǒng)及元部件中各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出系統(tǒng)各變量之間數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；實(shí)驗(yàn)法是采用某些檢測(cè)儀器，在現(xiàn)場(chǎng)對(duì)控制系統(tǒng)加入特定信號(hào)，對(duì)輸出響應(yīng)進(jìn)行測(cè)量和分析，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2.1.1微分方程的建立1.微分方程建立的一般步驟采用解析法來(lái)建立系統(tǒng)或元部件的微分方程所遵循的一般步驟是：（1）確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量。（2）根據(jù)物理和化學(xué)定律（比如：牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律、克?；舴蚨傻龋┝谐鱿到y(tǒng)或元部件的原始方程式，按照工作條件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系式。（4）消去原始方程式的中間變量，得到一個(gè)關(guān)于輸入、輸出的微分方程式。（5）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將輸出各項(xiàng)放在等號(hào)左端，輸入各項(xiàng)放在等號(hào)右端，并且按照微分方程的階次降冪排列，同時(shí)將各系數(shù)化為具有一定物理意義的形式。例2.1

R—L—C串聯(lián)電路，建立該系統(tǒng)的微分方程。

解：在R—L—C串聯(lián)電路中，輸入電壓Ur為系統(tǒng)的輸入量，輸出電壓Ｕc為系統(tǒng)的輸出量。根據(jù)克?；舴蚨?，可以得到回路的電壓方程如下：電容Ｃ兩端的電壓為：中間變量為：

帶入原始方程中，消去中間變量，并移項(xiàng)整理得：

該式即為R—L—C串聯(lián)電路的微分方程。

2.1.2線性微分方程的求解采用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟（1）將系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到以S為變量的代數(shù)方程，也稱為變換方程。（2）求解變換方程，得到系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表達(dá)式。（3）將輸出的象函數(shù)表達(dá)式展開成部分分式。（4）對(duì)部分分式進(jìn)行拉普拉斯反變換，即可得到系統(tǒng)微分方程的解。2.1.3非線性數(shù)學(xué)模型的線性化處理

1.線性化的基本概念所謂非線性數(shù)學(xué)模型的線性化就是對(duì)一個(gè)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型找出其穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，如果在工作過(guò)程中，代表系統(tǒng)屬性的各物理量只在該平衡點(diǎn)附近產(chǎn)生微小的變化，非線性系統(tǒng)模型就能夠以此平衡點(diǎn)為基礎(chǔ)，表示成一個(gè)線性模型，關(guān)于線性系統(tǒng)的控制理論都能適用于該模型。這便是自動(dòng)控制理論里關(guān)于小偏差線性化方法或稱增量線性化方法的概念。2.非線性數(shù)學(xué)模型的線性化的基本方法對(duì)于非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)變量偏離工作點(diǎn)的偏差值很小時(shí)，由級(jí)數(shù)理論可知，若變量在給定的工作區(qū)間內(nèi)其各階導(dǎo)數(shù)存在，便可在給定工作點(diǎn)的鄰域內(nèi)將非線性特性展開為泰勒級(jí)數(shù)，當(dāng)偏差的范圍很小時(shí)，可以忽略級(jí)數(shù)中偏差的高次項(xiàng)，得到只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程。3.求線性化微分方程的步驟（1）按物理和化學(xué)定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點(diǎn)處各變量的數(shù)值。（2）找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系，若為非線性函數(shù)，在原平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)，各階導(dǎo)數(shù)存在并且是唯一的，則可進(jìn)行線性化處理。（3）將非線性特性展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略偏差量的高次項(xiàng)，留下一次項(xiàng)，求出它的系數(shù)值。（4）消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點(diǎn)的值加偏差量來(lái)表示。

2.2傳遞函數(shù)

2.2.1.傳遞函數(shù)的概念1.傳遞函數(shù)的定義對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，在初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。表示為：2.傳遞函數(shù)的求取按照傳遞函數(shù)的定義，利用系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行相應(yīng)的拉氏變換，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例LRC電路的傳函：3.傳遞函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式的分析，傳遞函數(shù)具備下列性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)或元部件動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，在形式上與系統(tǒng)的微分方程一一對(duì)應(yīng)。（2）傳遞函數(shù)只表明輸入變量與輸出變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，不能夠反映出系統(tǒng)內(nèi)部的信息。（3）傳遞函數(shù)只能直接反映系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)在給定工作點(diǎn)處是相對(duì)靜止的；若系統(tǒng)處于非零初始狀態(tài)下，則傳遞函數(shù)無(wú)法反映系統(tǒng)的特性和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，需要作其它方面的處理。（4）傳遞函數(shù)完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)確定，而與輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)，它反映了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特點(diǎn)。對(duì)于同一系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量和輸出量時(shí)其傳遞函數(shù)是不同的。（5）同一個(gè)系統(tǒng)，對(duì)于不同作用點(diǎn)的輸入信號(hào)和不同觀測(cè)點(diǎn)的輸出信號(hào)之間，傳遞函數(shù)具有相同的分母多項(xiàng)式，所不同的是分子多項(xiàng)式。在分析系統(tǒng)性能時(shí)，常將傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，它決定著系統(tǒng)響應(yīng)的基本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)。（6）實(shí)際系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式階次n總是大于分子多項(xiàng)式階次m，這是因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)總是存在“慣性”，且外部提供的能量是有限的。（7）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象，無(wú)法直接由它看出實(shí)際系統(tǒng)的物理構(gòu)造，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，完全可以有相同的傳遞函數(shù)表示。

2.2.2典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)通常，控制系統(tǒng)是由若干元部件有機(jī)組合而成的，從結(jié)構(gòu)和作用原理來(lái)看，可以有各種各樣的不同元部件，但是從動(dòng)態(tài)性能和數(shù)學(xué)模型來(lái)看，可以分為幾個(gè)基本的典型環(huán)節(jié)。不管元部件是機(jī)械式、電氣式、液壓式等，只要其數(shù)學(xué)模型一樣，它們就可以歸納為同一個(gè)環(huán)節(jié)，這樣給分析、研究系統(tǒng)性能帶來(lái)很多方便。常用的典型環(huán)節(jié)主要有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等6種形式。1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)也稱為放大環(huán)節(jié)，其特點(diǎn)是環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成正比。傳遞函數(shù)為：

其中k為放大系數(shù)。2.慣性環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為：

k為傳遞系數(shù)；T為慣性時(shí)間常數(shù)

3.一階微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為：

為微分時(shí)間常數(shù)

理想的微分環(huán)節(jié)(純微分)傳遞函數(shù)為：4.積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：式中，稱為積分時(shí)間常數(shù)。

5.振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：其中T為時(shí)間常數(shù)，為阻尼系數(shù)，也稱為阻尼比，稱為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。

6.延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是具有時(shí)間上的延遲效應(yīng)，當(dāng)輸入量作用后，在給定一段時(shí)間之前，延遲環(huán)節(jié)的輸出量一直未變化，只有到達(dá)延遲時(shí)間以后，環(huán)節(jié)的輸出量才無(wú)偏差的復(fù)現(xiàn)原信號(hào)。延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

通過(guò)上述分析，我們要明確以下幾點(diǎn)：（1）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按照數(shù)學(xué)模型的共性來(lái)建立的，它與系統(tǒng)中使用的元部件不是一一對(duì)應(yīng)的，一個(gè)系統(tǒng)可能是一個(gè)典型環(huán)節(jié)，也可能由幾個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成。（2）按照數(shù)學(xué)模型對(duì)元部件和系統(tǒng)進(jìn)行分類，產(chǎn)生出若干典型環(huán)節(jié)，將有助于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究和分析。（3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常系統(tǒng)來(lái)描述的場(chǎng)合。

2.2.3自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

如下圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，采用疊加原理可分別求出在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用下的系統(tǒng)各類傳遞函數(shù)。

其中各類信號(hào)和裝置分別定義為：輸入信號(hào)：R（S）輸出信號(hào)：C（S）主反饋信號(hào)：B（S）偏差信號(hào)：E（S）干擾信號(hào)：N（S）控制器：G1（S）被控對(duì)象：G2（S）反饋環(huán)節(jié)：H（S）輸入信號(hào)主反饋信號(hào)干擾信號(hào)被控對(duì)象輸出信號(hào)偏差信號(hào)控制器反饋環(huán)節(jié)1.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這是指當(dāng)系統(tǒng)主反饋通路斷開以后，反饋信號(hào)與輸入信號(hào)之間的傳遞函數(shù)。表示為：

從上式可以看出，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。輸入信號(hào)作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

令干擾信號(hào)為0，系統(tǒng)輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號(hào)作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。表示為：

3.干擾信號(hào)作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)令輸入信號(hào)為0，系統(tǒng)輸出信號(hào)與干擾信號(hào)之間的傳遞函數(shù)即為干擾信號(hào)作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。

表示為：

4.閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

輸入信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)：令干擾信號(hào)，誤差信號(hào)與輸入信號(hào)之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號(hào)作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。表示為：

2.3動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成及繪制1.結(jié)構(gòu)圖的組成符號(hào)、名稱及功能系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成符號(hào)主要有以下4種：（1）信號(hào)線：表示系統(tǒng)中信號(hào)的流通方向，并標(biāo)明信號(hào)對(duì)應(yīng)的變量。（2）引出點(diǎn)：表示信號(hào)從該點(diǎn)取出，從同一信號(hào)線上取出的信號(hào)，其大小、性質(zhì)完全相同。（3）比較點(diǎn)：表示兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)在該點(diǎn)進(jìn)行疊加。（4）方框：表示輸入、輸出信號(hào)之間的動(dòng)態(tài)傳遞關(guān)系。

結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟（1）列出系統(tǒng)中各元部件的微分方程，確定輸入、輸出變量。（2）以典型環(huán)節(jié)或典型環(huán)節(jié)的組合來(lái)取代系統(tǒng)中的具體元部件，將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填入方框中，標(biāo)出信號(hào)及其流向。（3）按系統(tǒng)中信號(hào)的流向，把代表各環(huán)節(jié)的方框連接起來(lái)，即構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。方框圖中給出了信息傳遞的方向，又標(biāo)出了輸入、輸出的定量關(guān)系。2.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換控制系統(tǒng)通常是由不同的典型環(huán)節(jié)按照各自相互關(guān)系有機(jī)地連接起來(lái)，這種連接可以分為以下3種形式：1.串聯(lián)連接環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的特點(diǎn)是：前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量。一般情況下，當(dāng)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，忽略負(fù)載效應(yīng)后，其等效傳遞函數(shù)為：

可見，串聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。

并聯(lián)連接其特點(diǎn)是：各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)相同，輸出在相加點(diǎn)進(jìn)行疊加。一般情況下，當(dāng)n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)，其等效傳遞函數(shù)為：

可見，并聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。3.反饋連接反饋連接的特點(diǎn)是：環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)反饋到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行比較。則負(fù)反饋連接的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

若稱為單位負(fù)反饋系統(tǒng)。

2.4狀態(tài)空間描述

狀態(tài)空間表達(dá)式：根據(jù)分析，對(duì)于某一特定系統(tǒng)（可以是線性或非線性的、定?；驎r(shí)變的），當(dāng)引入n個(gè)狀態(tài)變量(系統(tǒng)的內(nèi)部變量)，將其化為n個(gè)一階微分方程組的形式，再對(duì)其采用矩陣描述，可以得到如下表達(dá)式：

.X=AX+BU,狀態(tài)方程，描述狀態(tài)變量與輸入量間的一階微分方程

Y=CX

,輸出方程，輸出量與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式

其中：

A——狀態(tài)變量系數(shù)矩陣,系統(tǒng)矩陣

B——輸入變量系數(shù)矩陣，控制矩陣

C——輸出變量系數(shù)矩陣，輸出矩陣

例，對(duì)于RLC電路通常取儲(chǔ)能元件上的參數(shù)為狀態(tài)變量：

X1=Uc,X2=i

代入上式就可得：通常輸出信號(hào)記為y,有y=Uc=X1,寫成向量矩陣形式：2.5數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換

在實(shí)際工程中，由于要解決自動(dòng)控制問(wèn)題所需要的數(shù)學(xué)模型與該問(wèn)題所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的，也可能是要解決問(wèn)題最簡(jiǎn)單而又最方便的方法所用到的數(shù)學(xué)模型與該問(wèn)題所給定的已知數(shù)學(xué)模型不同，此時(shí)，就需要對(duì)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。另外，在不同的應(yīng)用場(chǎng)合，由于實(shí)際系統(tǒng)所給定的數(shù)學(xué)模型形式各異，在仿真時(shí)要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換，即將給定模型轉(zhuǎn)換為仿真程序能夠處理的模型形式。通常，系統(tǒng)的微分方程作為描述動(dòng)態(tài)性能的基本形式，當(dāng)作為共性的內(nèi)容進(jìn)行分析時(shí)，又常常將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，而在計(jì)算機(jī)中，利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述最方便。所以，討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換具有實(shí)際的指導(dǎo)意義。

本章小結(jié)

本章介紹了幾種控制系統(tǒng)中常用的數(shù)學(xué)模型形式，其中，系統(tǒng)的微分方程是最基本、最常用的；通過(guò)拉氏變換得到的傳遞函數(shù)也是表達(dá)系統(tǒng)性能的常見數(shù)學(xué)模型；若系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，又要表示出各變量之間的信號(hào)傳遞關(guān)系，就可以采用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖來(lái)描述；此外，為了反映出系統(tǒng)中變量的初始狀態(tài)，還可以用狀態(tài)變量來(lái)描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。要明確各類數(shù)學(xué)模型的定義、特點(diǎn)、表示方法，掌握數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程，為后面的實(shí)際應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)系統(tǒng)的性能和表達(dá)方式來(lái)合理地選擇數(shù)學(xué)模型的類別，也可以將各種不同模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以得到一個(gè)最適合的模型，用于控制系統(tǒng)的分析和討論。

控制系統(tǒng)的分析方法3.1典型輸入信號(hào)及其響應(yīng)

3.1.1概述系統(tǒng)的響應(yīng)是指在給定信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出信號(hào)隨時(shí)間變化的狀況，也是系統(tǒng)微分方程的解。我們將系統(tǒng)在穩(wěn)定之前的響應(yīng)稱為暫態(tài)響應(yīng)，它提供系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程中各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)；系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)后的響應(yīng)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，它反映出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，也即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的大小。為了便于研究和分析控制系統(tǒng)，通常選用幾種確定的函數(shù)來(lái)作為典型的外部輸入信號(hào)，其具備的基本特點(diǎn)是：在實(shí)際工作現(xiàn)場(chǎng)或?qū)嶒?yàn)室中，這種外作用信號(hào)容易產(chǎn)生。在典型的外部信號(hào)作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)能夠反映出該控制系統(tǒng)在實(shí)際工作中的確定性能。選擇的外部作用信號(hào)其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，便于進(jìn)行理論計(jì)算。

3.1.2典型輸入信號(hào)

目前，在工程設(shè)計(jì)中比較常見的典型外部作用信號(hào)主要有以下5種：1.階躍函數(shù)信號(hào)階躍函數(shù)信號(hào)是控制系統(tǒng)在實(shí)際工作條件下經(jīng)常遇到的一種外作用信號(hào)，例如，給系統(tǒng)加重和卸載；電源電壓的突然跳動(dòng)，表現(xiàn)出來(lái)的即為階躍函數(shù)信號(hào)。2.斜坡函數(shù)信號(hào)斜坡函數(shù)信號(hào)也稱為速度函數(shù)信號(hào)，例如，運(yùn)算放大器輸入為恒值電壓時(shí)，輸出即為斜坡函數(shù)。3.拋物線函數(shù)信號(hào)拋物線函數(shù)信號(hào)也稱為加速度函數(shù)信號(hào)，在隨動(dòng)系統(tǒng)中是最常見的作用信號(hào)。4.脈沖函數(shù)信號(hào)脈沖函數(shù)信號(hào)也稱為沖擊函數(shù)信號(hào)，單位脈沖函數(shù)信號(hào)為數(shù)學(xué)上的一種抽象，在實(shí)際系統(tǒng)中難以產(chǎn)生。5.正弦函數(shù)信號(hào)正弦函數(shù)信號(hào)是在頻率法中采用的外作用信號(hào)，用正弦函數(shù)作為系統(tǒng)的外作用信號(hào)，可以求得系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱之為頻率響應(yīng)。3.1.3典型信號(hào)的響應(yīng)

對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)來(lái)講，設(shè)其各變量的初始狀態(tài)為零，在輸入典型外作用信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出稱為典型信號(hào)的響應(yīng)。（1）單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)信號(hào)作用下的輸出稱為單位階躍響應(yīng)。（2）單位斜坡響應(yīng)：系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)信號(hào)作用下的輸出稱為單位斜坡響應(yīng)。（3）單位脈沖響應(yīng)：系統(tǒng)在單位脈沖函數(shù)信號(hào)作用下的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)，也稱為脈沖過(guò)渡函數(shù)。3.2時(shí)域分析法控制系統(tǒng)對(duì)非周期性信號(hào)的響應(yīng)稱為時(shí)域響應(yīng)。在經(jīng)典控制理論中，時(shí)域分析法是一種最常見的分析方法，表現(xiàn)出直接、準(zhǔn)確的特點(diǎn)，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。3.2.1一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)可以采用一階微分方程來(lái)描述其暫態(tài)過(guò)程的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的微分方程一般形式為：其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：T為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，下面討論在系統(tǒng)初始條件為零時(shí)，一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)。

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分析對(duì)一階系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)信號(hào)：其拉氏變換為：系統(tǒng)的輸出響應(yīng)：將上式進(jìn)行拉氏反變換，可以得到系統(tǒng)輸出的過(guò)渡過(guò)程表達(dá)式：

在單位階躍輸入信號(hào)作用下，一階系統(tǒng)的輸出量隨時(shí)間變化的規(guī)律是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，響應(yīng)的最終值為1，時(shí)間常數(shù)T是描述響應(yīng)速度的唯一參數(shù)，Ｔ越小，暫態(tài)過(guò)程進(jìn)行得越快，即速度越快。

結(jié)論：一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線是一個(gè)單調(diào)的非周期響應(yīng)，沒有超調(diào)量，系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的快慢是其主要性能指標(biāo)，通常稱之為調(diào)節(jié)時(shí)間。一般有：ts=3T（對(duì)應(yīng)5%的誤差帶）

ts=4T（對(duì)應(yīng)2%的誤差帶）從上式中可以看出，系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)越小，調(diào)節(jié)時(shí)間就越小，系統(tǒng)響應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間就越短，響應(yīng)過(guò)程的快速性就越好。

【例3.1】已知一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求其單位階躍響應(yīng)表達(dá)式，計(jì)算系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程調(diào)節(jié)時(shí)間，分析系統(tǒng)的性能特點(diǎn)。解：（1）將一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)式并找出系統(tǒng)的特征參數(shù)即：；放大系數(shù)K=5，時(shí)間常數(shù)T=0.5按公式可得加入放大器后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為：

（2）計(jì)算系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程調(diào)節(jié)時(shí)間取5%的誤差帶：ts=3T=3×0.5=1.5（秒）取2%的誤差帶：ts=4T=4×0.5=2（秒）（3）從上述計(jì)算結(jié)果分析該系統(tǒng)的性能特點(diǎn)該系統(tǒng)中加入了1個(gè)放大器，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條從零開始，按指數(shù)規(guī)律變化，最終穩(wěn)態(tài)值為5的非周期性曲線，動(dòng)態(tài)過(guò)程無(wú)振蕩；由于時(shí)間常數(shù)為0.5，使得調(diào)節(jié)時(shí)間稍長(zhǎng)，快速性較差；系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

3.2.2二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可采用二階微分方程來(lái)描述，則該系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

T為時(shí)間常數(shù)，為阻尼比，為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為方程的特征根為：當(dāng)方程特征根中的阻尼比取值不同時(shí)，系統(tǒng)的特征根和響應(yīng)狀態(tài)均不相同，其對(duì)應(yīng)關(guān)系見表3-1所示。。

1.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分析下面重點(diǎn)分析在欠阻尼狀態(tài)下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。由于欠阻尼狀態(tài)下，阻尼比取值為0＜＜1，此時(shí)系統(tǒng)的特征根為一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，可變?yōu)椋?/p>

是特征根實(shí)部的模值；稱為阻尼振蕩角頻率，對(duì)二階系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)信號(hào)：拉氏變換為：系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：將上式進(jìn)行拉氏反變換，可以得到系統(tǒng)輸出的過(guò)渡過(guò)程表達(dá)式：

這就是二階系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)下單位階躍響應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程。

2．二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)計(jì)算及其參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系

通常，在欠阻尼狀態(tài)下，如上圖所示，描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有以下5個(gè)方面：

（1）延遲時(shí)間：

這是系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)到達(dá)其穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。增大自然頻率或是減少阻尼比，都可以使系統(tǒng)響應(yīng)的延遲時(shí)間減少，從而使響應(yīng)的初始段時(shí)間短，跟蹤迅速。

（2）上升時(shí)間：其中，這是系統(tǒng)的響應(yīng)從其穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。表征了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，上升時(shí)間越小，響應(yīng)越快。當(dāng)阻尼比不變時(shí)，角就不變，則增大自然頻率會(huì)使上升時(shí)間縮短，可加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度；當(dāng)阻尼振蕩頻率不變時(shí)，阻尼比越小，上升時(shí)間就越短。（3）峰值時(shí)間：這是指系統(tǒng)響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。其值與阻尼振蕩頻率成反比。（4）超調(diào)量：這是系統(tǒng)響應(yīng)在過(guò)渡過(guò)程中，輸出量的最大值與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差。超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)，阻尼比越大，超調(diào)量越小，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)越平穩(wěn)。（5）調(diào)節(jié)時(shí)間：

；對(duì)應(yīng)5%的誤差帶，這是指系統(tǒng)響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的±5%所需的時(shí)間。

；對(duì)應(yīng)2%的誤差帶，這是指系統(tǒng)響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的±2%所需的時(shí)間。

調(diào)節(jié)時(shí)間與阻尼比和阻尼振蕩頻率的乘積成反比。調(diào)節(jié)時(shí)間越短，說(shuō)明系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度越快。上述5個(gè)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)基本上可以體現(xiàn)出控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的總體特征。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常使用的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為系統(tǒng)的上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。3.2.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定的基本概念系統(tǒng)是否穩(wěn)定是決定系統(tǒng)能否正常工作的前提條件，系統(tǒng)的穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過(guò)渡過(guò)程性質(zhì)上。若系統(tǒng)受到擾動(dòng)偏離原來(lái)的平衡狀態(tài)后，去掉擾動(dòng)量，系統(tǒng)能夠按照一定精度恢復(fù)到原始狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)我們稱之為穩(wěn)定的系統(tǒng)。反之，如果去掉擾動(dòng)，系統(tǒng)不能回到原始狀態(tài)，或者偏離量隨時(shí)間增長(zhǎng)而增加，則稱之為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

2.控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：——特征方程式的系數(shù)具有相同的符號(hào)，且均不為零，也即特征方程不缺項(xiàng)。控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：——特征根均為負(fù)實(shí)數(shù)或者具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分；或者說(shuō)特征方程所有根均在根平面的左半部分；也可以說(shuō)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于[S]平面的左半部分。

3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)英國(guó)人E.J.勞斯提出一種代數(shù)判據(jù)，它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)來(lái)直接判斷特征根的實(shí)數(shù)部分的符號(hào)，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯穩(wěn)定判據(jù)為：控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯陣列表中第一列所有元素的計(jì)算值均大于零。檢查勞斯陣列表中第一列所有元素的符號(hào)：若第一列各元素均為正值，說(shuō)明特征根具備負(fù)的實(shí)數(shù)部分，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都在[S]平面的左半部分，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果第一列元素值出現(xiàn)負(fù)號(hào)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，符號(hào)改變的次數(shù)等于特征右根的個(gè)數(shù)。

3.2.4系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析前面所討論的系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，這是控制系統(tǒng)的重要特征之一?？刂葡到y(tǒng)的另一個(gè)特征是穩(wěn)態(tài)性能，對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)性能一般是根據(jù)系統(tǒng)在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)等輸入信號(hào)作用下引起的穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量。1.穩(wěn)態(tài)誤差的概念我們將穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，記為：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)（包括系統(tǒng)的類型及參數(shù)）和外部輸入信號(hào)的性質(zhì)。

在典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)型號(hào)、靜態(tài)誤差系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系參見表3-4。

2.穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算我們采用靜態(tài)誤差系數(shù)法來(lái)分析討論系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算，這是給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的一種計(jì)算方法。

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)來(lái)講，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)有直接的關(guān)系。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，靜態(tài)誤差系數(shù)反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，系數(shù)越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小；系統(tǒng)的類型號(hào)越高，則限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力越強(qiáng)。

3.關(guān)于穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算時(shí)的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才能計(jì)算其穩(wěn)態(tài)誤差，否則無(wú)意義，如果系統(tǒng)的穩(wěn)定性事先沒有確定，要按照穩(wěn)定的條件和判斷方法確定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，然后才能計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。（2）前面的分析和計(jì)算公式的推導(dǎo)是在輸入信號(hào)作用下，單位負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差處理，如果是非單位反饋系統(tǒng)，應(yīng)該將其轉(zhuǎn)換為單位反饋，再利用公式處理。（3）公式中的K值，是根據(jù)式（3-19）所表示的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)得到的，如果給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)式不是標(biāo)準(zhǔn)式，則應(yīng)先將其轉(zhuǎn)換為式（3-19）所示的形式。

4.減少穩(wěn)態(tài)誤差的措施（1）組成控制系統(tǒng)的元器件參數(shù)應(yīng)具備相應(yīng)的精度和穩(wěn)定性。（2）提高系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)可以降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，通常是在系統(tǒng)的前向通道中串聯(lián)放大環(huán)節(jié)。但是，單純提高K值會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，解決的辦法是可以進(jìn)行相應(yīng)的校正，如引入局部速度負(fù)反饋等。（3）提高系統(tǒng)的型號(hào)，可以增強(qiáng)系統(tǒng)跟隨輸入信號(hào)的能力，通常是在系統(tǒng)的前向通道中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)增加以后，會(huì)改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點(diǎn)，將使系統(tǒng)穩(wěn)定性下降。3.3頻域分析法

頻域分析法采用自動(dòng)控制中的另一種數(shù)學(xué)工具——頻率特性，可以研究系統(tǒng)控制過(guò)程的性能，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)精度。這種方法不必直接求解系統(tǒng)的微分方程，而是間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線，分析閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)，因此它是一種圖解的方法。3.3.1頻率特性的概念頻率特性的定義線性定常系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率變化的特性稱為頻率特性，它等于輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。頻率特性的表達(dá)式為：3.3.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.頻率特性的3種圖示法及其應(yīng)用場(chǎng)合（1）幅頻、相頻特性曲線這種方法主要用于分析系統(tǒng)性能，推算系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和參數(shù)。（2）對(duì)數(shù)幅頻、對(duì)數(shù)相頻特性曲線對(duì)數(shù)頻率特性曲線也稱為伯德圖（Bode圖），主要用于系統(tǒng)性能的分析和討論，包括穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、抗干擾能力和性能的改善等。（3）福相特性曲線畫有福相特性曲線的圖稱為極坐標(biāo)圖，福相特性曲線也稱為奈奎斯特曲線（Nyquist曲線），主要用于判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性在系統(tǒng)頻率特性的表示方法中，采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖表示的伯德圖具有下述特點(diǎn)：可以將頻率特性幅值的乘除化為對(duì)數(shù)坐標(biāo)中的加減運(yùn)算，便于進(jìn)行疊加處理?？梢杂帽容^簡(jiǎn)便的方法來(lái)繪制環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，即漸近線表示。通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)畫成伯德圖，可以方便地確定系統(tǒng)的頻率特性表示式。由于開環(huán)系統(tǒng)是由各種典型環(huán)節(jié)組合而成的，可以通過(guò)典型環(huán)節(jié)的疊加后形成系統(tǒng)的開環(huán)特性。3.3.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為方便討論，我們通過(guò)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性來(lái)分析系統(tǒng)的性能。為此就要繪制出系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線，其基本思路是：（1）將化為標(biāo)準(zhǔn)形式，分解為各典型環(huán)節(jié)的組合。（2）按典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性的特點(diǎn)，從小到大找出系統(tǒng)特性曲線在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的頻率和每段的斜率變化規(guī)律。（3）選定繪制系統(tǒng)特性曲線所采用的坐標(biāo)軸比例尺和頻率范圍。（4）按各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性漸近線，在轉(zhuǎn)折頻率處依次疊加而得到系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。

3.3.4系統(tǒng)性能的分析1.三頻段的定義及其與系統(tǒng)性能的對(duì)應(yīng)關(guān)系在頻率法中，為了分析和討論系統(tǒng)的性能，我們提出開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的三頻段概念。運(yùn)用三頻段的原理，可以分析控制系統(tǒng)的性能、討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)性能的影響、對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。一個(gè)具有較好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)、較高的穩(wěn)態(tài)精度、理想的跟蹤能力、滿意的抗干擾性能的控制系統(tǒng)，其開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線中三頻段的設(shè)置是很明確的。如下圖所示的系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性：（1）低頻段：由比例＋積分環(huán)節(jié)組合而成，，其中的開環(huán)增益K和控制系統(tǒng)的型號(hào)都與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān)。通常，其斜率應(yīng)取，而且其曲線要保持足夠的高度，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求。（2）中頻段：在系統(tǒng)開環(huán)截止頻率的兩端區(qū)間內(nèi)，主要與微分、慣性等環(huán)節(jié)有關(guān)，反映出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。此段中的開環(huán)截止頻率不能過(guò)低，而且其附近應(yīng)該具備的斜率段，以便滿足系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性的要求。斜率段所占的頻帶寬度越大，則系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的震蕩傾向和超調(diào)量越小，平穩(wěn)性越好；越大，系統(tǒng)的快速性越好。

（3）高頻段：系統(tǒng)最后1個(gè)轉(zhuǎn)折頻率以后的區(qū)域，反映出控制系統(tǒng)工作在高頻區(qū)域時(shí)的特點(diǎn)，與系統(tǒng)的抗干擾能力相對(duì)應(yīng)。要求高頻段的幅頻特性斜率盡量低，衰減幅值大，這樣可保證系統(tǒng)的抗高頻干擾性好。

4.穩(wěn)定性分析

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)由由變化時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)角，系統(tǒng)則穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。其中，P是系統(tǒng)開環(huán)特征右根的個(gè)數(shù)。若P=0，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，曲線不包圍點(diǎn)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。若P≠0，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，當(dāng)曲線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。在繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線時(shí)，規(guī)定逆時(shí)針?lè)较虬鼑鸀檎?，順時(shí)針?lè)较虬鼑鸀樨?fù)。

數(shù)值積分法仿真

4.1數(shù)值積分法

4.1.1概述數(shù)字仿真模型、算法及仿真工具控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真是利用數(shù)字計(jì)算機(jī)作為仿真工具，采用數(shù)學(xué)上的各種數(shù)值算法求解控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程，得到被控物理量的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。通常，計(jì)算機(jī)模擬被控對(duì)象是用一定的仿真算法來(lái)實(shí)現(xiàn)被控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這是基于被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型來(lái)完成的。控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)合理的近似及簡(jiǎn)化，大多數(shù)建立為常微分方程的表達(dá)形式。由于數(shù)學(xué)計(jì)算的難度和實(shí)際系統(tǒng)的復(fù)雜程度，在實(shí)際中遇到的大部分微分方程難以得到其解析解，通常都是通過(guò)數(shù)字計(jì)算機(jī)采用數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)求取其數(shù)值解。在高級(jí)仿真軟件（例如MATLAB）環(huán)境下，已提供了功能十分強(qiáng)大、且能保證相應(yīng)精度的數(shù)值求解的功能函數(shù)或程序段，使用者僅需要按規(guī)定的語(yǔ)言規(guī)格調(diào)用即可，而無(wú)需從數(shù)值算法的底層考慮其編程實(shí)現(xiàn)過(guò)程。4.1.2離散化原理在數(shù)字計(jì)算機(jī)上對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行仿真時(shí)，首先遇到的問(wèn)題是，數(shù)字計(jì)算機(jī)的數(shù)值及時(shí)間都是離散的（計(jì)算精度，指令執(zhí)行時(shí)間），而被仿真系統(tǒng)的數(shù)值和時(shí)間是連續(xù)的，后者如何用前者來(lái)實(shí)現(xiàn)？設(shè)系統(tǒng)模型為：,共中u(t)為輸入變量，y(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量。令仿真時(shí)間間隔為h,離散化后的輸入變量為u’(tk),其中tk表示t=kh。如果u’(tk)≈u(tk),y’(tk)≈y(tk)，則認(rèn)為兩模型等價(jià)，稱為相似原理。對(duì)仿真建模方法有三個(gè)基本要求：

1、穩(wěn)定性，若原系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化后的仿真模型也得是穩(wěn)定的2、準(zhǔn)確性，絕對(duì)或相對(duì)誤差小于規(guī)定誤差3、快速性，數(shù)字仿真是一步步推進(jìn)的，由某個(gè)初始值y0出發(fā)，依次計(jì)算出y1、y2…yk，每一步計(jì)算所需時(shí)間決定了仿真速度。

4.1.3數(shù)值積分法一般情況下，在控制系統(tǒng)仿真中最常用、最基本的求解常微分方程數(shù)值解的方法主要是數(shù)值積分法。對(duì)于形如的系統(tǒng)，已知系統(tǒng)狀態(tài)變量y的初值y0,現(xiàn)要計(jì)算y隨時(shí)間變化的過(guò)程y(t)，對(duì)微分方程的積分可以寫作：右圖所示曲線下的面積就是y(t),由于難以得到積分的數(shù)值表達(dá)式，所以采用近似的方法，常用有三種形式：歐拉法梯形法龍格一庫(kù)塔法歐拉公式,采用矩形面積近似積分結(jié)果，即當(dāng)t=tk+1時(shí)hk=tk+1-tk,若步距不變，則hk=h.為了提高精度，人們提出了“梯形法”，其中最簡(jiǎn)單的是亞當(dāng)姆斯預(yù)報(bào)—校正公式，先用歐拉法估計(jì)近似值，然后用梯形法進(jìn)行校正：龍格-庫(kù)塔法的基本原理在連續(xù)系統(tǒng)仿真中，主要的數(shù)值計(jì)算工作是求解一階微分方程：若已知y的初值y0,再按離散化原理，對(duì)上式我們可以寫成：再對(duì)上式的右端函數(shù)f(t,y)(為任意非線性函數(shù))在tk附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，依照展開的階次不同我們就構(gòu)成了不同的龍格-庫(kù)塔公式。二階龍格—庫(kù)塔公式,記在tk時(shí)刻的狀態(tài)變量為yk,并定義兩個(gè)附加向量型變量

:四階龍格—庫(kù)塔公式：不論幾階RK法，它們的計(jì)算公式都是由兩部分組成，即上一步的結(jié)果yk和步長(zhǎng)h乖以tk至tk+1時(shí)間間隔間各外推點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)ki的加權(quán)平均和·有了上面的數(shù)學(xué)算法，就可以用MATLA編寫出該算法的函數(shù)：

function[tout,yout]=rk4(odefile,tspan,y0)t0=tspan(1);th=tspan(2);iflength(tspan)<=3,h=tspan(3)else,h=tspan(2)-tspan(1);th=tspan(2);endtout=[t0:h:th]’;yout=[];fort=tout’k1=eval([odefile’(t,y0)’]);k2=eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k1)’]);k3=eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k2)’]);k4=eval([odefile’t+h,y0+k3’]);yout=[yout;y0’];end其中，tspan可以有兩種構(gòu)成方法：一是可以是一個(gè)等間距的時(shí)間向量；二是tspan=[t0,th,h],t0和th為計(jì)算的初始及終止值，h為計(jì)算步長(zhǎng)，odefile是一個(gè)字符串變量，表示微分方程的文件名，y0是初值列向量，函數(shù)調(diào)用完成后，時(shí)間向量與各個(gè)時(shí)刻狀態(tài)變量構(gòu)成的矩陣分別由tout和yout返回.MATLAB提供了兩個(gè)RK法函數(shù)ode23()和ode45()，一個(gè)采用二階三級(jí)公式，一個(gè)采用四階五級(jí)RK法，并采用了自適應(yīng)變步長(zhǎng)的求解方法，即當(dāng)解的變化較慢時(shí)采用較大的計(jì)算步長(zhǎng)，以加快計(jì)算速度；當(dāng)方程的解變化得較快時(shí)，積分步長(zhǎng)自動(dòng)變小，以得到較高的計(jì)算精度。4.2仿真精度與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.2.1仿真過(guò)程的三類誤差通常，系統(tǒng)仿真的最終精度與現(xiàn)場(chǎng)原始數(shù)據(jù)的采集、使用的計(jì)算機(jī)設(shè)備檔次、仿真計(jì)算時(shí)的數(shù)值積分公式等均有相應(yīng)的關(guān)系，可以分為以下3種情況。1.初始誤差

在對(duì)系統(tǒng)仿真時(shí)，要采集現(xiàn)場(chǎng)的原始數(shù)據(jù)，而計(jì)算時(shí)要提供初始條件，這樣由于數(shù)據(jù)的采集不一定很準(zhǔn)，會(huì)造成仿真過(guò)程中產(chǎn)生一定的誤差，此類誤差稱為初始誤差。

要消除或減小初始誤差，就應(yīng)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的檢測(cè)，也可以多次采集，以其平均值作為參考初始數(shù)據(jù)。

2.舍入誤差目前，系統(tǒng)仿真大都采用計(jì)算機(jī)程序處理和數(shù)值計(jì)算，由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，不同檔次的計(jì)算機(jī)其計(jì)算結(jié)果的有效值不一致，導(dǎo)致仿真過(guò)程出現(xiàn)舍入誤差。一般情況下，要降低舍入誤差應(yīng)選擇擋次高些的計(jì)算機(jī)，其字長(zhǎng)越長(zhǎng)，仿真數(shù)值結(jié)果尾數(shù)的舍入誤差就越小。3.截?cái)嗾`差當(dāng)仿真步距確定后，采用的數(shù)值積分公式的階次將導(dǎo)致系統(tǒng)仿真時(shí)產(chǎn)生截?cái)嗾`差，階次越高，截?cái)嗾`差越小。通常仿真時(shí)多采用四階龍格—庫(kù)塔法，其原因就是這種計(jì)算公式的截?cái)嗾`差較小。4.2.2穩(wěn)定性分析

由于系統(tǒng)仿真時(shí)存在誤差，對(duì)仿真結(jié)果產(chǎn)生會(huì)影響。若計(jì)算結(jié)果對(duì)系統(tǒng)仿真的計(jì)算誤差反應(yīng)不敏感，那么稱之為算法穩(wěn)定，否則稱算法不穩(wěn)定。對(duì)于不穩(wěn)定的算法，誤差會(huì)不斷積累，最終可能導(dǎo)致仿真計(jì)算達(dá)不到系統(tǒng)要求而失敗。

1.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與仿真步長(zhǎng)的關(guān)系一個(gè)數(shù)值解是否穩(wěn)定，取決于該系統(tǒng)微分方程的特征根是否滿足穩(wěn)定性要求，而不同的數(shù)值積分公式具有不同的穩(wěn)定區(qū)域，在仿真時(shí)要保證穩(wěn)定就要合理選擇仿真步長(zhǎng)，使微分方程的解處于穩(wěn)定區(qū)域之中。

2.積分步長(zhǎng)的選擇由于積分步長(zhǎng)直接與系統(tǒng)的仿真精度和穩(wěn)定性密切相關(guān)，所以，應(yīng)合理地選擇積分步長(zhǎng)h的值，以保證仿真結(jié)果符合用戶要求。通常，積分步長(zhǎng)h的選擇要遵循以下兩個(gè)原則：（1）保證仿真系統(tǒng)的算法穩(wěn)定（2）保證仿真系統(tǒng)具備一定的計(jì)算精度一般情況下，仿真中的初始誤差及舍入誤差對(duì)仿真過(guò)程影響不是很大，而截?cái)嗾`差將隨積分步長(zhǎng)h的加大而增加，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)仿真的精度下降。在仿真計(jì)算中，h值不宜選的太小，因?yàn)檫@樣會(huì)加大計(jì)算量；也不能選的過(guò)大，否則會(huì)導(dǎo)致仿真系統(tǒng)不穩(wěn)定或誤差積累過(guò)大。通常掌握的原則是：在保證計(jì)算穩(wěn)定性及計(jì)算精度的要求下，盡可能選較大的仿真步長(zhǎng)。對(duì)于一般工程系統(tǒng)的仿真處理，采用四階龍格—庫(kù)塔法居多。龍格-庫(kù)塔法的步長(zhǎng)控制策略控制策略由誤差估計(jì)和步長(zhǎng)控制兩方面組成，其基本思想如下圖所示:步長(zhǎng)控制積分算法誤差估計(jì)改變下一步計(jì)算步長(zhǎng)本步計(jì)算允許誤差E2、誤差估計(jì)通常采用的方法是設(shè)法找到一個(gè)比目前使用的龍格-庫(kù)塔公式低一階的R-K公式，將兩式計(jì)算結(jié)果之差視為誤差估計(jì)值。例如：現(xiàn)以RKM4-5為計(jì)算公式再推出一個(gè)3階4級(jí)公式需要說(shuō)明的是：兩個(gè)RK公式的導(dǎo)數(shù)Ki是相同的3、最優(yōu)步長(zhǎng)法基本方法是根據(jù)本步的誤差估計(jì)來(lái)近似地確定下一步可能的最大步長(zhǎng)，步驟如下:1)給定允許的相對(duì)誤差ε0，設(shè)本步步長(zhǎng)為hk,本步相對(duì)估計(jì)誤差為ek，ek由下式求得:若采用的RK公式是m階，則上式中的Ek可以表示為通常取ζ=tk,則有:則表示本步積分成功，可以用ek來(lái)確定下一步的最大步長(zhǎng)hk+1了。2）假定hk+1足夠小，即認(rèn)為3)若ek>ε0,本步失敗，但仍采用上式，重新進(jìn)行積分。4.3面向微分方程的仿真程序設(shè)計(jì)4.3.1通用仿真程序的一般結(jié)構(gòu)及工作原理1.通用仿真程序的基本結(jié)構(gòu)以數(shù)字計(jì)算機(jī)作為仿真工具，使用適當(dāng)?shù)乃惴ㄕZ(yǔ)言來(lái)編制通用的仿真程序，可以針對(duì)不同的系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的仿真處理。按常規(guī)組成結(jié)構(gòu)，通用仿真程序可分為3個(gè)層次，即主程序塊、功能程序塊、基本子程序塊。各模塊功分析能如下：（1）主程序：完成仿真邏輯控制，實(shí)現(xiàn)各功能模塊的調(diào)用、模型的轉(zhuǎn)換、系統(tǒng)運(yùn)行、輸入輸出的控制等。（2）初始化程序：完成各類初始數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備工作，如設(shè)置工作單元、給定變量初值和系統(tǒng)仿真參數(shù)等。（3）運(yùn)行程序：實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)行的控制，調(diào)用數(shù)值積分法完成仿真算法處理，得出系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果。（4）輸出程序：按用戶指定的輸出形式，可以在顯示器、打印機(jī)、繪圖儀等設(shè)備上將仿真的結(jié)果以數(shù)據(jù)、動(dòng)態(tài)曲線、圖形等方式輸出。

2.仿真的基本原理根據(jù)上面的討論，在給定的圖5-4系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，編制相應(yīng)的仿真計(jì)算程序，將傳遞函數(shù)中的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)、輸入輸出變量初始值送入程序中，完成模型由傳遞函數(shù)向狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換；根據(jù)系統(tǒng)仿真的要求，分別輸入仿真步長(zhǎng)、打印間隔和次數(shù)、外部輸入信號(hào)幅值等，然后，調(diào)用數(shù)字積分子程序完成仿真計(jì)算，最后將仿真結(jié)果送到指定的設(shè)備輸出。

4.3.2仿真源程序及其特點(diǎn)1.面向微分方程的仿真程序特點(diǎn)根據(jù)圖5-4系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)，所設(shè)計(jì)的面向微分方程的仿真程序具備以下特點(diǎn)：（1）該仿真程序針對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng)單輸入、單輸出信號(hào)的處理過(guò)程進(jìn)行仿真。（2）可以將用戶輸入的系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為仿真計(jì)算模型。（3）在數(shù)值積分法中采用四階龍格－庫(kù)塔法，可保證系統(tǒng)仿真過(guò)程中具備一定的精度和性能指標(biāo)要求。（4）在參考輸入r(t)的作用下，系統(tǒng)輸出y(t)隨時(shí)間變化，仿真程序能按照給定的計(jì)算步長(zhǎng)，采用已確定的數(shù)值算法，對(duì)系統(tǒng)中各狀態(tài)變量和輸出逐點(diǎn)變化情況進(jìn)行求解運(yùn)算。（5）可實(shí)現(xiàn)重復(fù)運(yùn)行，便于研究參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。（6）

采用人機(jī)對(duì)話形式輸入各變量參數(shù)，運(yùn)行過(guò)程直觀、形象，修改參數(shù)容易。

2.仿真程序流程框圖

MATLAB提供了兩個(gè)常微分方程求解的函數(shù)ode23()、ode45(),分別采用了二階三級(jí)的RKF方法和四階五級(jí)的RKF法，并采用自適應(yīng)變步長(zhǎng)的求解方法，即當(dāng)解的變化較慢時(shí)采用較大的計(jì)算步長(zhǎng)，從而使得計(jì)算速度很快；當(dāng)解的變化較快時(shí)，步長(zhǎng)會(huì)自動(dòng)變小，從而使計(jì)算精度提高。Syntax[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)wheresolverisoneofode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,orode23tb.ArgumentsodefunAfunctionthatevaluatestheright-handsideofthedifferentialequations.Allsolverssolvesystemsofequationsintheformorproblemsthatinvolveamassmatrix,.Theode23ssolvercansolveonlyequationswithconstantmassmatrices.ode15sandode23tcansolveproblemswithamassmatrixthatissingular,i.e.,differential-algebraicequations(DAEs).tspanAvectorspecifyingtheintervalofintegration,[t0,tf].Toobtainsolutionsatspecifictimes(allincreasingoralldecreasing),usetspan=[t0,t1,...,tf].y0Avectorofinitialconditions.optionsOptionalintegrationargumentcreatedusingtheodesetfunction.Seeodesetfordetails.p1,p2...OptionalparametersthatthesolverpassestoodefunandallthefunctionsspecifiedinoptionsDescription[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)withtspan=[t0tf]integratesthesystemofdifferentialequationsfromtimet0totfwithinitialconditionsy0.Functionf=odefun(t,y),forascalartandacolumnvectory,mustreturnacolumnvectorfcorrespondingto.EachrowinthesolutionarrayYcorrespondstoatimereturnedincolumnvectorT.Toobtainsolutionsatthespecifictimest0,t1,...,tf(allincreasingoralldecreasing),usetspan=[t0,t1,...,tf].[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)solvesasabovewithdefaultintegrationparametersreplacedbypropertyvaluesspecifiedinoptions,anargumentcreatedwiththeodesetfunction.CommonlyusedpropertiesincludeascalarrelativeerrortoleranceRelTol(1e-3bydefault)andavectorofabsoluteerrortolerancesAbsTol(allcomponentsare1e-6bydefault).Seeodesetfordetails.Example1.Anexampleofanonstiffsystemisthesystemofequationsdescribingthemotionofarigidbodywithoutexternalforces.

Tosimulatethissystem,createafunctionrigidcontainingtheequationsfunctiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);%acolumnvectordy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);Inthisexamplewechangetheerrortolerancesusingtheodesetcommandandsolveonatimeinterval[012]withaninitialconditionvector[011]attime0.options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-41e-41e-5]);[T,Y]=ode45(@rigid,[012],[011],options);PlottingthecolumnsofthereturnedarrayYversusTshowsthesolution

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')Example2.AnexampleofastiffsystemisprovidedbythevanderPolequationsinrelaxationoscillation.Thelimitcyclehasportionswherethesolutioncomponentschangeslowlyandtheproblemisquitestiff,alternatingwithregionsofverysharpchangewhereitisnotstiff.Tosimulatethissystem,createafunctionvdp1000containingtheequationsfunctiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);%acolumnvectordy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);Forthisproblem,wewillusethedefaultrelativeandabsolutetolerances(1e-3and1e-6,respectively)andsolveonatimeintervalof[03000]withinitialconditionvector[20]attime0.[T,Y]=ode15s(@vdp1000,[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-o')Plot(t,y(:,2))4.4面向結(jié)構(gòu)圖的仿真程序設(shè)計(jì)面向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)仿真基本思想為：（1）把一個(gè)復(fù)雜的高階線性系統(tǒng)化成由若干典型環(huán)節(jié)組成的模擬結(jié)構(gòu)圖表示。（2）將各典型環(huán)節(jié)參數(shù)以及系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的連接關(guān)系輸入計(jì)算機(jī)。（3）仿真程序?qū)⑤斎氲南到y(tǒng)模型自動(dòng)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間描述，即狀態(tài)方程形式。（4）

調(diào)用數(shù)值積分法求解，并輸出仿真結(jié)果。

典型環(huán)節(jié)的確定及算法描述典型環(huán)節(jié)的選擇是重要的一個(gè)步驟，它應(yīng)具備下述兩個(gè)原則：（1）典型性——由它可方便地組成其它任何形式的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)。（2）簡(jiǎn)易性——由它組成的系統(tǒng)簡(jiǎn)便，計(jì)算機(jī)編程容易實(shí)現(xiàn)。常見的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)根據(jù)控制理論可知，在實(shí)際控制系統(tǒng)中比較常見的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)主要有以下五種：（1）積分環(huán)節(jié)（2）比例積分環(huán)節(jié)（3）慣性環(huán)節(jié)（4）一階超前（或滯后）環(huán)節(jié)（5）

二階振蕩環(huán)節(jié)

4.5快速仿真算法在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真時(shí)，會(huì)碰到較高階次的控制系統(tǒng)，由于采用的計(jì)算機(jī)檔次不高會(huì)影響到仿真計(jì)算速度，占用較長(zhǎng)的機(jī)時(shí)；在參數(shù)尋優(yōu)時(shí)往往需要對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)的仿真計(jì)算，也將使計(jì)算過(guò)程加長(zhǎng)；此外，系統(tǒng)的實(shí)時(shí)仿真也會(huì)對(duì)仿真的快速性提出較高的要求。對(duì)于前面所討論的數(shù)值積分法由于有相應(yīng)的計(jì)算工作量，單純加大仿真步長(zhǎng)會(huì)影響到系統(tǒng)仿真的精度和穩(wěn)定性問(wèn)題。本節(jié)介紹幾種常用的快速仿真方法，采用這些方法來(lái)編制仿真計(jì)算子程序，可以彌補(bǔ)數(shù)值積分法仿真在速度上的缺陷，便于在實(shí)際工程中系統(tǒng)仿真時(shí)合理地加以選擇，達(dá)到提高系統(tǒng)仿真速度的最終目的。4.5.1時(shí)域矩陣法

時(shí)域矩陣法是一種在時(shí)域內(nèi)采用無(wú)窮矩陣進(jìn)行系統(tǒng)仿真的算法，它每一步的計(jì)算量較小，而且與系統(tǒng)階次無(wú)關(guān)，適合于系統(tǒng)的快速仿真。

采用時(shí)域矩陣法來(lái)分析和討論系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能具備下述特點(diǎn)：（1）時(shí)域矩陣法多用于采樣控制系統(tǒng)，由于采用脈沖過(guò)程函數(shù)g（t）來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)，不會(huì)因系統(tǒng)階次的增加而加大計(jì)算工作量，從而提高了仿真速度；但有時(shí)求解高階系統(tǒng)的脈沖過(guò)程函數(shù)g（t）會(huì)有一定的難度。（2）由于每個(gè)采樣時(shí)刻的g（k）是準(zhǔn)確計(jì)算出來(lái)的，所以采用時(shí)域矩陣法仿真時(shí)系統(tǒng)的采樣周期（或仿真步距）可以選得大些。（3）時(shí)域矩陣法可推廣到非線性系統(tǒng)的快速仿真。

4.5.2增廣矩陣法增廣矩陣法是將系統(tǒng)的控制量增廣到狀態(tài)變量中，使原來(lái)的非奇次常微分方程變?yōu)橐粋€(gè)齊次方程。4.5.3替換法快速仿真的系統(tǒng)通常比較關(guān)注系統(tǒng)仿真的速度應(yīng)該達(dá)到規(guī)定的要求，而對(duì)精度一般不做太高的要求。對(duì)于一個(gè)高階系統(tǒng)，如果能從它的傳遞函數(shù)G（s）直接推導(dǎo)出與之相匹配的并且允許較大采樣周期T的脈沖傳遞函數(shù)G（z），然后由G（z）獲得仿真模型，這將對(duì)提高仿真速度十分有利。相匹配的含義是指若G（s）是穩(wěn)定的，那么G（z）也是穩(wěn)定的，同時(shí)，當(dāng)輸入相同外作用信號(hào)時(shí)，由G（z）求出的響應(yīng)和由G（s）求出的響應(yīng)具有相同的特征。要設(shè)法找出s與z的對(duì)應(yīng)公式，將G（s）中的s替換為z，求得G（z）的表達(dá)式，這種方法稱為替換法。

4.5.4根匹配法為了實(shí)現(xiàn)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行快速仿真，應(yīng)構(gòu)造一個(gè)G（z），它允許較大的采樣周期T，且能保證G（z）在零、極點(diǎn)分布上與G（s）一致，動(dòng)態(tài)響應(yīng)也一致，這種方法稱為根匹配法。

根匹配法的一般步驟按照前面的分析，采用根匹配法構(gòu)造G（z）應(yīng)滿足以下條件：（1）G（z）與G（s）具有相同數(shù)目的零、極點(diǎn)。（2）G（z）與G（s）的零、極點(diǎn)相互匹配。（3）G（z）與G（s）的終值應(yīng)相等。（4）G（z）與G（s）具有相同的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

本章小結(jié)

本章主要介紹了數(shù)值積分法的仿真原理和特點(diǎn)；采用數(shù)值積分法面向微分方程、結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行仿真的基本思路和程序設(shè)計(jì)；仿真的精度與系統(tǒng)穩(wěn)定性討論；快速仿真算法等內(nèi)容。在數(shù)值積分法中，要熟悉典型環(huán)節(jié)的選擇，確定系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的連接關(guān)系；能根據(jù)特定的仿真系統(tǒng)，選擇合適的仿真變量及參數(shù)，確定正確的系數(shù)矩陣；掌握CSS1、CSS2程序的結(jié)構(gòu)、各變量含義以及程序的運(yùn)行特點(diǎn)；熟悉程序的輸入、調(diào)試，仿真結(jié)果的分析和系統(tǒng)性能的討論。此外，對(duì)于仿真系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性問(wèn)題也是非常重要的，要理解仿真過(guò)程中的3類誤差產(chǎn)生的原因，制定消除誤差的方法，合理地選擇仿真步長(zhǎng)，保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下，盡量提高系統(tǒng)仿真的精度和速度。為了提高系統(tǒng)仿真的速度，可以合理地選擇4種常用的快速仿真方法。

離散相似法仿真5.1離散相似法原理5.1.1仿真算法描述所謂離散相似法，就是將一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，從而得到等價(jià)的系統(tǒng)離散模型，此種方法按系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立仿真模型。在計(jì)算過(guò)程中，按各典型環(huán)節(jié)離散相似模型，根據(jù)環(huán)節(jié)的輸入來(lái)計(jì)算環(huán)節(jié)的輸出。

1.環(huán)節(jié)的離散化模型

將連續(xù)系統(tǒng)按圖5-1所示對(duì)其進(jìn)行離散化處理，在系統(tǒng)的輸入、輸出端加上虛擬采樣開關(guān)，T為采樣周期。為保證輸入信號(hào)復(fù)現(xiàn)原信號(hào)，在輸入端加上一個(gè)保持器。

圖5-1連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化

使用零階保持器，可得到離散化狀態(tài)方程的解：

若使用三角保持器，離散化狀態(tài)方程解的形式為：上式稱為環(huán)節(jié)的離散系數(shù)

2.仿真算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程當(dāng)給定連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖后，將其等效為各典型環(huán)節(jié)的組合，按前面討論的典型環(huán)節(jié)離散系數(shù)表達(dá)式，經(jīng)程序處理，事先將各環(huán)節(jié)的類型、參數(shù)、初始條件、各環(huán)節(jié)連接關(guān)系矩陣、輸入輸出連接矩陣等參量送入程序中，既可通過(guò)離散相似的模型求出在特定信號(hào)作用下，系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)輸出變量的變化情況，從而得到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。5.1.2離散模型的精度及穩(wěn)定性離散化模型近似等效于原來(lái)的連續(xù)系統(tǒng)模型，要考慮仿真精度與哪些因素有關(guān)；還要考慮引入保持器后，其相位滯后帶來(lái)的使離散化模型的穩(wěn)定性變差等問(wèn)題。1.采樣周期對(duì)仿真精度的影響引入了虛擬采樣開關(guān)后，其采樣周期原則上應(yīng)該滿足香農(nóng)采樣定理：

，而采樣周期TS通常是按照系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的時(shí)間關(guān)系來(lái)選擇的。按經(jīng)驗(yàn)公式，一般情況下，采樣周期TS按照系統(tǒng)的最小時(shí)間常數(shù)T的十分之一來(lái)加以選擇，即:

如果給定系統(tǒng)開環(huán)截止頻率時(shí)，系統(tǒng)的采樣周期也可以按下式進(jìn)行選擇：保持器特性對(duì)仿真精度的影

為使經(jīng)采樣后的信號(hào)無(wú)失真地復(fù)現(xiàn)，要在系統(tǒng)中加入保持器。雖然零階保持器比較容易實(shí)現(xiàn)，但其精度較低。為了提高控制精度，可以采用三角保持器，它復(fù)現(xiàn)信號(hào)的高頻部分失真較小，并且無(wú)相位滯后，可以得到比較滿意的結(jié)果。

此外，為了提高精度還可以采用校正補(bǔ)償措施，在離散模型中加入一個(gè)確定的校正環(huán)節(jié)，適當(dāng)調(diào)整參數(shù)，可使離散模型盡可能地接近原型。3.離散化模型的穩(wěn)定性離散化模型與原系統(tǒng)相比較，除了信號(hào)是離散的以外，還多了一個(gè)保持器。由于保持器本身具有的特性，對(duì)離散化模型會(huì)帶來(lái)一定的影響。比如，零階保持器具有相位滯后，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利影響，尤其是當(dāng)系統(tǒng)由多個(gè)離散化模型組成時(shí)，這種相位滯后的影響更為嚴(yán)重。而三角保持器的特性對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響不大，故常使用三角保持器。

5.2典型環(huán)節(jié)的離散模型按照前面的討論，我們將常見的典型環(huán)節(jié)由傳遞函數(shù)表達(dá)式推導(dǎo)出其離散系數(shù)及離散狀態(tài)方程，分別處理如下。1.積分環(huán)節(jié)的離散方程為

:

2.比例積分環(huán)節(jié)離散方程為：

3.慣性環(huán)節(jié)的離散方程為：

比例慣性環(huán)節(jié)的離散方程為：

5.3線性系統(tǒng)離散相似法仿真

仿真源程序設(shè)計(jì)

面向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)離散相似法仿真程序具備以下特點(diǎn)：（1）面向控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖仿真。（2）按控制系統(tǒng)的環(huán)節(jié)離散相似原則建立仿真模型。（3）系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的關(guān)系由連接矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣表示。（4）程序中規(guī)定采用四種典型環(huán)節(jié)：

H=0積分環(huán)節(jié)；H=1比例積分環(huán)節(jié)

H=2慣性環(huán)節(jié)；H=3比例慣性環(huán)節(jié)其余環(huán)節(jié)可經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換得到上述四種典型描述。（5）輸入各環(huán)節(jié)類型、參數(shù)、初值、連接矩陣等，可求出特定信號(hào)作用下各環(huán)節(jié)的輸出結(jié)果。（5）采用人機(jī)對(duì)話形式輸入仿真參數(shù)，容易調(diào)整參數(shù)和重復(fù)運(yùn)行。

5.4非線性系統(tǒng)離散相似法仿真5.4.1典型非線性特性

實(shí)際的控制系統(tǒng)中常含有一些非線性元件，呈現(xiàn)出特定的非線性特性，當(dāng)其作用不明顯時(shí)，可采用控制理論中提供的小偏差方法將非線性特性進(jìn)行線性化處理，轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)。對(duì)于大多數(shù)典型的非線性特性，例如飽和、限幅、死區(qū)、齒輪間隙、磁滯回環(huán)、繼電、磨擦等，其影響是顯而易見的，既不能忽略，也不能作線性化處理。此外，為了獲得優(yōu)良的靜、動(dòng)態(tài)特性，控制系統(tǒng)中常常需要引入某些特定的非線性特性，來(lái)改善原有系統(tǒng)的性能，這些都需要采用非線性系統(tǒng)仿真的處理方法。

在本節(jié)中，我們主要討論3種典型的非線性特性，即飽和非線性、死區(qū)非線性、滯環(huán)非線性，并分析其對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響和仿真處理方法。

1.飽和非線性特性對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響主要有：

（1）使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變好；

（2）過(guò)渡過(guò)程時(shí)間增長(zhǎng)，快速性能降低；

（3）超調(diào)量下降，動(dòng)態(tài)的平衡性有所改善。2.死區(qū)非線性對(duì)系統(tǒng)性能的影響主要有：

（1）

增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度；（2）延長(zhǎng)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間，使動(dòng)態(tài)性能下降。3.滯環(huán)非線性特性對(duì)系統(tǒng)的性能影響主要有：

（1）

增加系統(tǒng)靜差，降低定位精度（2）在穩(wěn)態(tài)值附近以某一幅度進(jìn)行振蕩，會(huì)產(chǎn)生自振，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利影響。

5.5采樣系統(tǒng)仿真分析在實(shí)際控制系統(tǒng)中，許多場(chǎng)合都要用到計(jì)算機(jī)作為控制裝置。這類系統(tǒng)事先要將被控的有關(guān)信號(hào)進(jìn)行采樣，通過(guò)輸入通道把模擬量變?yōu)閿?shù)字量（即

A/D轉(zhuǎn)換），然后將數(shù)字信號(hào)送入計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)按給定的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果通過(guò)輸出通道轉(zhuǎn)化為模擬量（即D/A轉(zhuǎn)換）的控制被控對(duì)象。使被控量達(dá)到預(yù)定的控制指標(biāo)要求，這類系統(tǒng)常稱為采樣控制系統(tǒng)或數(shù)字控制系統(tǒng)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，采樣控制系統(tǒng)也得到普及推廣，其控制特點(diǎn)為數(shù)字模擬混合系統(tǒng)，被控對(duì)象是時(shí)間的連續(xù)過(guò)程，采用的控制器為離散型的數(shù)字控制器。在工程實(shí)踐中，采樣控制系統(tǒng)的仿真具有重要意義。5.5.1采樣系統(tǒng)的算法描述下圖中所示是典型的數(shù)字采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。圖中：D(z) 表征數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

H(s) 表征保持器的傳遞函數(shù)

G(s) 表征被控對(duì)象的傳遞函數(shù)

T是系統(tǒng)的采樣周期容易求出：

差分方程描述的就是離散各量采樣時(shí)刻點(diǎn)上的相互關(guān)系和變化情況，因此當(dāng)仿真步長(zhǎng)取采樣系統(tǒng)的實(shí)際采樣周期為T時(shí)，求取的結(jié)果無(wú)截?cái)嗾`差，從理論上說(shuō)算法是精確的。這種方法簡(jiǎn)便易行，只要D(z)、G(z)已知，則仿真過(guò)程非常簡(jiǎn)單，且無(wú)截?cái)嗾`差，結(jié)果可靠。缺點(diǎn)是當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜時(shí)，G(z)難以求取，即使求出G(z)也無(wú)法觀察系統(tǒng)中其它中間變量的響應(yīng)特性，也不便考慮有非線性影響的情況。

5.5.2采樣周期與仿真步距的對(duì)應(yīng)關(guān)系仿真步距的選擇應(yīng)根據(jù)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)、采樣周期的大小、保持器的類型、以及仿真精度和速度的要求綜合考慮。通常有以下3種情況：1.仿真步距T與采樣周期Ts相等若選擇仿真步距與采樣周期相等時(shí)，在系統(tǒng)仿真過(guò)程中，實(shí)際采樣開關(guān)與虛擬采樣開關(guān)是同步工作的，與連續(xù)系統(tǒng)仿真完全相同，從而可大大簡(jiǎn)化仿真模型，提高仿真速度。這種方式適用于采樣周期Ts較小，系統(tǒng)階次不高，仿真轉(zhuǎn)變能滿足要求的場(chǎng)合。在仿真過(guò)程中，求出G(z)=z[H(s)G(s)]，得到一個(gè)差分方程，再計(jì)算D(z)的差分方程，組合后可求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)Y(t)。

2.仿真步距T小于采樣周期Ts

這種方式是比較常見的，當(dāng)采樣周期受系統(tǒng)環(huán)境要求設(shè)置不變后，要提高仿真精度就縮小仿真步距，使T<Ts。在仿真模型中，有兩種工作頻率，即離散部分的采樣周Ts，和連續(xù)部分的仿真步距T，為便于仿真程序的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)，通常選擇Ts=NT(N為正整數(shù))。此類系統(tǒng)的仿真是分兩步實(shí)現(xiàn)的，對(duì)離散部分用采樣周期Ts進(jìn)行仿真，對(duì)連續(xù)部分用仿真步距T進(jìn)行仿真。離散部分每計(jì)算一次差分模型，其輸出保持，然后對(duì)連續(xù)部分的仿真模型計(jì)算N次，將第N次計(jì)算的結(jié)果作為連續(xù)部分該采樣周期的輸出。

3.改變數(shù)字控制器的采樣間隔在仿真過(guò)程中會(huì)碰到這種情況：原來(lái)的數(shù)字控制器D(z)確定后，所用于計(jì)算的采樣周期Ts比較小，現(xiàn)要按較大的采樣周期T’s進(jìn)行仿真，這就要求改變?cè)瓟?shù)字控制器的差分方程。這種方式的轉(zhuǎn)換依據(jù)是：若兩個(gè)脈沖傳遞函數(shù)映射到[S]平面上具有相同的零極點(diǎn)，并且有相同的穩(wěn)態(tài)值，則兩個(gè)系統(tǒng)等價(jià)。其基本思想是：設(shè)原采樣系統(tǒng)數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)為D(z)，采樣周期為Ts，首先將D(z)映射到[S]平面上相應(yīng)的零極點(diǎn)，然后按新的采樣周期T’s再次映射到[S]平面上，

求得新的數(shù)字控制器D’(z)，最后根據(jù)穩(wěn)態(tài)值相等的原則確定D’(z)的增益，這樣就實(shí)現(xiàn)了差分模型的轉(zhuǎn)化工作。5.5.4仿真源程序特點(diǎn)（1）

可以仿真單輸入、單輸出數(shù)模混合的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)中只包含一個(gè)數(shù)字控制器D(Z)。（2）

被控對(duì)象可為線性、非線性或純延遲環(huán)節(jié)，處理過(guò)程中劃分為典型環(huán)節(jié)形式。（3）

采用環(huán)節(jié)離散相似法，面向系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行仿真。（