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專題05相似三角形(課后小練)滿分100分時間:45分鐘姓名:注意事項:1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第I卷(選擇題)一、單選題(共24分)1.(本題4分)(2022·河南南陽·九年級期末)如圖,△ABC中,P為邊AB上一點,下列選項中的條件,不能說明△ACP與△ACB相似的是()A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB C.AC2=AP×AB D.【答案】D【分析】根據(jù)三角形相似的判定條件對各個條件逐條分析,即可得出結(jié)果.【詳解】A.當(dāng)∠ACP=∠B,∠A=∠A時,△APC∽△ACB,故A不符合題意;B.當(dāng)∠APC=∠ACB,∠A=∠A時,△APC∽△ACB,故B不符合題意;C.當(dāng)AC2=AP?AB,即AC:AB=AP:AC時,結(jié)合∠A=∠A,可以判定△APC∽△ACB,故C不符合題意;D.當(dāng)時,不能判斷△APC和△ACB相似,故D符合題意.故選:D.【點睛】本題考查了相似三角形的判定:兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.2.(本題4分)(2022·廣東梅州·九年級期末)點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上,可推出DEBC的條件是()A.B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)各個選項的條件只要能推出或,即可得出,推出∠ADE=∠B,根據(jù)平行線的判定推出即可.【詳解】解:A、根據(jù),不能推出,故本選項錯誤;B、根據(jù),不能推出,故本選項錯誤;C、根據(jù),不能推出,故本選項錯誤;D、∵,∴,∵,∴=,∵∠A=∠A,∴,∴∠ADE=∠B,∴,故本選項正確;故選:D.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,平行線的判定的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是推出.3.(本題4分)(2019·河北·保定市樂凱中學(xué)九年級期中)如圖,在小正方形網(wǎng)格中,三角形的三個頂點均在格點上,則下列四個三角形中,與圖中的三角形相似的是(
)A.B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及勾股定理可得:所給三角形是兩直角邊分別為,2的直角三角形,然后利用相似三角形的判定方法,選擇答案即可.【詳解】根據(jù)勾股定理得:所給三角形的兩直角邊為:,,∴夾直角的兩邊的比為,A.不是直角三角形,不符合題意,B.是直角三角形,且夾直角的兩邊的比為,符合題意,C.不是直角三角形,不符合題意,D.夾直角的兩邊的比為,不符合題意,故選B.【點睛】本題主要考查相似三角形的判定定理,掌握對應(yīng)邊成比例,夾角相等的兩個三角形相似,是解題的關(guān)鍵.4.(本題4分)(2020·吉林長春·二模)如圖,利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度.已知標(biāo)桿BE高1.2m,測得AB=2m,BC=8m.則建筑物CD的高是(
)A.8m B.6m C.4.8m D.19.2m【答案】B【分析】根據(jù)題意和圖形,利用三角形相似,可以計算出CD的長,從而可以解答本題.【詳解】解:∵EB⊥AC,DC⊥AC,∴EB∥DC,∴△ABE∽△ACD,∴,∵BE=1.2m,AB=2m,BC=8m,∴AC=AB+BC=10m,∴.解得DC=6,即建筑物CD的高是6m,故選:B.【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.5.(本題4分)(2020·安徽省安慶市外國語學(xué)校九年級期中)如圖,以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似,則這兩個三角形的相似比為()A.2:1 B.3:1 C.4:3 D.3:2【答案】A【分析】通過觀察圖形可知∠C和∠F是對應(yīng)角,所以AB和DE是對應(yīng)邊;BC和EF是對應(yīng)邊,即可得出結(jié)論.【詳解】解:觀察圖形可知∠C和∠F是對應(yīng)角,所以AB和DE是對應(yīng)邊;BC和EF是對應(yīng)邊,∵BC=12,EF=6,∴.故選A.【點睛】此題重點考察學(xué)生對相似三角形性質(zhì)的理解,掌握相似三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.(本題4分)(2021·安徽宣城·九年級期中)如圖,在△ABC中,∠A=60°,AB=4,AC=6,將△ABC沿圖示中的虛線剪開,有如下幾種剪法,其中滿足剪下的陰影三角形與△ABC相似的個數(shù)有(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】先利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)求出的長,再根據(jù)相似三角形的判定逐個判斷即可得.【詳解】解:如圖1,過點作于點,,,,,,在和中,,但或者,但,則與不相似;如圖2,,,在和中,,;如圖3和圖4,剪下的陰影三角形均與有一組公共角,還有一組大小均為的相等的角,所以圖3和圖4中,剪下的陰影三角形均與相似;綜上,滿足剪下的陰影三角形與相似的個數(shù)是3個,故選:C.【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識點,熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵.二、填空題(共20分)7.(本題5分)(2022·全國·九年級課時練習(xí))如圖,△ABC中,D、E分別在BA、CA延長線上,DE∥BC,,DE=1,BC的長度是_________.【答案】【分析】根據(jù)DE∥BC,可得,從而得到,即可求解.【詳解】解:∵DE∥BC,,∴,∴,∵,DE=1,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.8.(本題5分)(2022·全國·九年級課時練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點,,,則點坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】過點B作BC⊥OA于點C,由題意易得OA=10,然后由勾股定理可得,進(jìn)而可得△BOC∽△AOB,設(shè)OC=x,則有BC=2x,最后利用勾股定理可求解.【詳解】解:過點B作BC⊥OA于點C,如圖所示:∵∠B=∠BCO=90°,∠BOA=∠BOA,∴△BOC∽△AOB,∵點,∴OA=10,∵,∴,∴AB=2OB,∴BC=2OC,∴在Rt△BOC中,,即,∴,∴BC=4,∴點B的坐標(biāo)為;故答案為.【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.9.(本題5分)(2021·全國·九年級專題練習(xí))在正方形網(wǎng)格紙上,每個小格的頂點叫格點,以格點為頂點的三角形叫格點三角形.在4×4網(wǎng)格中(每個小正方形網(wǎng)格的邊長為1)畫格點三角形,它的三邊比是1::,這種三角形可以畫若干個,其中面積的最大值等于_____.【答案】2.5【分析】畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合的思想,畫出相似比為1:的三角形,求出面積即可.【詳解】解:如圖△ABC是面積最小的格點三角形,△DEF是面積最大的格點三角形,=2.5故答案為:2.5.【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì),三角形的面積等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,屬于中考??碱}型.10.(本題5分)(2022·全國·九年級課時練習(xí))如圖,在△ABC中,AB=6cm,AC=9cm.動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動,動點Q從點C出發(fā)以1cm/s的速度向點A運動.兩點同時出發(fā),其中一點到達(dá)終點時,另一點也停止運動.當(dāng)運動時間t=_____s時,以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似.【答案】【分析】分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC兩種情況,列出比例式,計算即可.【詳解】解:由題意得:AP=2tcm,CQ=tcm,則AQ=(9﹣t)cm,∵當(dāng)t=6÷2=3∴0≤t≤3∵∠PAQ=∠BAC,∴當(dāng)=時,△APQ∽△ABC,∴=,解得:t=,當(dāng)=時,△AQP∽△ABC,∴=,解得:t=,∵3,故舍去綜上所述:當(dāng)t=時,以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,故答案為:.【點睛】解此類題的關(guān)鍵是在運動中尋找相似圖形,當(dāng)運動的時間為t時,要用t來表示相關(guān)線段的長度,得出與變量有關(guān)的比例式,從而得到函數(shù)關(guān)系.解題時注意數(shù)形結(jié)合,考慮全面,做好分類討論.三、解答題(共56分)11.(本題10分)(2022·河北邯鄲·九年級期末)如圖,等邊三角形△ACB的邊長為3,點P為BC上的一點,點D為AC上的一點,連接AP、PD,∠APD=60°.(1)求證:△ABP∽△PCD;(2)若PC=2,求CD的長.【答案】(1)見解析(2)CD的長為【分析】(1)由等邊三角形和∠APD=60°得,∠B=∠C=∠APD=60°,∠APB+∠CPD=120°,在△APB中,∠APB+∠BAP=120°,由此可得∠BAP=∠CPD.因此△ABP∽△PCD;(2)由(1)的結(jié)論△ABP∽△PCD可得,從而可以求出線段CD的長.(1)證明:∵等邊三角形ABC,∴∠B=∠C=60°,∵∠APD=60°,∴∠APB+∠CPD=120°,在△APB中,∠APB+∠BAP=120°,∴∠BAP=∠CPD,∴△ABP∽△PCD;(2)解:等邊三角形邊長為3,PC=2,由(1)得△ABP∽△PCD,,∴,∴CD=.答:CD的長為.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是推出△ABP∽△PCD.12.(本題10分)(2022·山東菏澤·八年級期末)如圖在中,D為AB邊上一點,且.(1)求度數(shù);(2)如果,求CD的長.【答案】(1)(2)【分析】(1)由相似三角形的性質(zhì)及鄰補角可進(jìn)行求解;(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,然后問題可求解.(1)解:,.,;(2)解:,,,,.【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13.(本題12分)(2021·江蘇·九年級專題練習(xí))如圖,中,,在上分別截取的延長線相交于點F,證明:.【答案】見解析【分析】過點E作交BC于點M,可得到,,進(jìn)而有,,根據(jù),可得到,即證.【詳解】如圖,過點E作交BC于點M,∵,∴,,∴,∴,即,∵∴,∴,∴【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì).14.(本題12分)(2022·全國·九年級)如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格,△A1B1C1的頂點均為格點,在該網(wǎng)格中畫出△A2B2C2(△A2B2C2的頂點均在格點上),使△A2B2C2∽△A1B1C1.【答案】見解析【分析】根據(jù)題意將各邊縮小2倍,即可求解.【詳解】解:如圖,△A2B2C2即為所求.【點睛】本題考查了在格點圖中,畫相似三角形,掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15.(本題12分)(2022·黑龍江大慶·八年級期中)如圖,有一塊三角形土地,它的底邊m,高m,某單位要沿底邊BC建一座是矩形的大樓,且使矩形的兩個端點D、G分別在AB、AC上,當(dāng)這座大樓的地基面積為1875時,求這個矩形沿BC邊所占的EF的長.【答案】當(dāng)EF的長為62.5或37.5米時,最大面積為1875平方米【分析】設(shè)DE的
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