專題13解一元一次方程（二）-去括號與去分母（3個知識點3種題型3個易錯點2個中考考點）

專題13解一元一次方程（二）去括號與去分母（3個知識點3種題型3個易錯點2個中考考點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.解一元一次方程去括號（重點）知識點2解一元一次方程去分母（重點）知識點3.列一元一次方程解應(yīng)用題（重點）【方法二】實例探索法題型1.用適當?shù)姆椒ㄇ山庖辉淮畏匠填}型2.利用方程的解確定方程中的字母的值?！痉椒ㄈ坎町悓Ρ确ㄒ族e點3.分母是小數(shù)的，化為整數(shù)是與去分母相混淆【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法【方法五】成果評定法【學(xué)習(xí)目標】掌握解一元一次方程的基本步驟，會用去括號與去分母的方法解一元一次方程，體會解一元一次方程中的轉(zhuǎn)化思想。能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系準確列出方程，進一步體會建模思想，并能夠體驗結(jié)果是否合理?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號．（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數(shù)時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負．【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.解一元一次方程去括號（重點）【例1】．若方程與的解互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解，由兩個方程的解互為相反數(shù)，則把代入，解方程即可．【詳解】解：，，∵方程與的解互為相反數(shù)，∴的解為：，∴，，，解得：，故選：．【點睛】此題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出關(guān)于的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．【變式】．（23·24七年級上·全國·課堂例題）馬小虎同學(xué)在解關(guān)于的方程時，誤將等號右邊的“”看作“”，其他解題過程均正確，從而解得方程的解為，則原方程正確的解為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將代入求出a的值，再解關(guān)于的方程．【詳解】解：由題意知：是方程的解，，解得，原方程為，解得，故選B．【點睛】本題考查一元一次方程的解與解一元一次方程，求出a的值是解題的關(guān)鍵．知識點2解一元一次方程去分母（重點）【例2】．（23·24七年級上·全國·課時練習(xí)）若方程的解比關(guān)于的方程的解小1，則的值為（

）A． B． C．5 D．3【答案】A【分析】先求出的解為，進而可得方程的解為，代入方程即可求出答案.【詳解】解：解方程，得，則方程的解為，代入方程可得：，解得；故選：A.【點睛】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵.【變式】．（23·24七年級上·全國·課時練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解為，則等于（

）A．4 B． C．3 D．【答案】A【分析】把代入方程得，再解方程即可得到答案．【詳解】解：把代入方程得：，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正確進行計算是解題的關(guān)鍵．知識點3.列一元一次方程解應(yīng)用題（重點）【例3】．．（22·23上·常州·期末）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解為．【答案】【分析】設(shè)，再根據(jù)題目中關(guān)于x的一元一次方程的解確定出y的值即可．【詳解】解：設(shè)，則關(guān)于y的方程化為：，∴，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解．正確理解方程的解的概念和運用整體代換是解決問題的關(guān)鍵．【變式】．．（22·23下·福州·開學(xué)考試）已知，關(guān)于的方程的解為，則關(guān)于的方程的解為．【答案】【分析】將看作一個整體，根據(jù)的解為可得，然后即可求出y．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的解為，∴關(guān)于的方程中可得，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，根據(jù)方程的解得出是解題的關(guān)鍵．【方法二】實例探索法題型1.用適當?shù)姆椒ㄇ山庖辉淮畏匠?．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】或【分析】由方程有解，分和兩種情況討論，列出關(guān)于m的不等式進行求解【詳解】分兩種情況討論：①若，則方程可化為，移項并合并同類項，得∵原方程有解，∴，即，或，∴或；②若，則方程可化為，移項并合并同類項，得∵原方程有解，∴，即，，∴；綜上所述，m的取值范圍是或．故答案為：或【點睛】本題考查了含絕對值符號的一元一次方程，難度不大，關(guān)鍵是先分類討論x的取值再求m的取值范圍．2．（22·23七年級上·浙江紹興·期末）設(shè)，，當時，的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，即，由絕對值的代數(shù)意義分情況討論去掉絕對值，解方程即可得到答案．【詳解】解：，，當時，，即，當時，，則，即，解得；當時，，則恒成立，即；當時，，則，即，解得；綜上所述，當時，的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查含絕對值方程的解法，熟記絕對值的代數(shù)意義去絕對值是解決問題的關(guān)鍵．題型2.利用方程的解確定方程中的字母的值。3．對關(guān)于的方程（1）考慮如下說法：①當取某些值時，方程（1）有兩個整數(shù)解；②對某個有理數(shù)，方程（1）有唯一的整數(shù)解；③當不是整數(shù)時，方程（1）沒有整數(shù)解；④不論為何值時，方程（1）至多有4個整數(shù)解．其中正確的說法的序號是．【答案】①③④【分析】根據(jù)題意,當時；原式，即；當時；原式，為中的任意實數(shù)；當時；原式，即；進而代入每個序號中，即可求解．【詳解】解：當時；原式，即；當時；原式，即，為中的任意實數(shù)；當時；原式，即；①例如：時，或，故當取某些值時，方程有兩個整數(shù)解，故①正確；②例如：時，或，對某個有理數(shù)，方程的整數(shù)解不止一個，故②錯誤；③∵或，只有與為整數(shù)時，才能為整數(shù)；即只有為整數(shù)時，才能為整數(shù)，故當不是整數(shù)時，方程沒有整數(shù)解，故③正確；④∵當時，；當時；為中的任意實數(shù)，在此范圍的整數(shù)有2個；當時，；∴不論為何值時，方程至多有4個整數(shù)解，故④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了絕對值的意義，解一元一次方程，代數(shù)式求值，求得的值是解題的關(guān)鍵．4：已知關(guān)于的一元一次方程的解為，那么關(guān)于的y一元一次方程解為．【答案】．【分析】將方程變形為，在根據(jù)方程的解為得到，即可求解．【詳解】解：將關(guān)于的一元一次方程變形為，即，∵一元一次方程，∴，∵，∴，∴．故答案為：y=3．【點睛】本題考查了換元法解一元一次方程，將關(guān)于的一元一次方程變形為是解題關(guān)鍵．5．（22·23七年級下·福建福州·開學(xué)考試）下列方程變形正確的是（

）A．去分母得 B．去括號得C．移項得 D．系數(shù)化為1得【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，去括號法則，逐個進行判斷即可．【詳解】解：A．去分母得，故A不正確，不符合題意；B．去括號得，故B正確，符合題意；C．移項得，故C不正確，不符合題意；D．系數(shù)化為1得，故D不正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程的步驟，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時加上或者是減去同一個整式，等式仍然成立．性質(zhì)二：等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立．以及去括號的法則．6．（22·23七年級上·湖南婁底·階段練習(xí)）下列變形正確的是（

）A．若，那么B．若，那么C．方程，去括號，得D．方程，移項，得：【答案】A【分析】根據(jù)等式性質(zhì)、平方性質(zhì)、去括號法則及整式乘法運算法則、移項法則逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)等式性質(zhì)，若，則，那么，該選項正確，符合題意；B、當互為相反數(shù)時，若，那么，該選項錯誤，不符合題意；C、根據(jù)去括號法則，如果括號外是負的，去括號以后括號內(nèi)各項要變號，再結(jié)合整式乘法運算法則方程，去括號，得，該選項錯誤，不符合題意；D、根據(jù)移項法則，移項后要變號，方程，移項，得：，該選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查等式變形，涉及等式性質(zhì)、平方性質(zhì)、去括號法則及整式乘法運算法則、移項法則，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵．【方法三】差異對比法1．（23·24七年級上·北京西城·期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元一次方程，方程去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．（1）按照移項合并，把x系數(shù)化為1的步驟即可求出解；（2）按照去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1的步驟求解即可．【詳解】（1）解：移項得：合并同類項得：系數(shù)化為1得：（2）解：去括號得：移項、合并同類項得：系數(shù)化為1得：2．（23·24七年級上·廣東廣州·期中）解方程：(1)(2)(3)【答案】(1)3(2)(3)【分析】（1）直接移項即可解答；（2）先移項，再系數(shù)化為1即可解答；（3）先去括號，然后再移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可解答【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步驟為去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為一．易錯點3.分母是小數(shù)的，化為整數(shù)是與去分母相混淆3．（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)或【詳解】（1）解：，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得；（2）解：，去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得；（3）解：，原方程可變形為，去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得；（4）解：，去絕對值，得：或，去括號，得：或，移項，得：或，合并同類項，得：或，系數(shù)化為1，得：或．【點睛】此題考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法“去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1”是解題的關(guān)鍵．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法4．（22·23七年級上·北京西城·階段練習(xí)）規(guī)定：，．例如，．下列結(jié)論中：①若，則；②若，則；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正確的所有結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)題中的規(guī)定逐項判斷出各選項的結(jié)論正確與否即可．【詳解】解：①若，即，解得：，則，故①正確；②若，則，故②正確；③若，則，即（無解）或，解得：，即能使已知等式成立的x的值存在，故③錯誤；④式子，此式子表示數(shù)軸上一個點到和的距離之和，當這個點所表示的數(shù)在與3之間時，的最小值是7，故④正確．綜上，正確的所有結(jié)論是：①②④．故選：B．【點睛】本題以新規(guī)定為載體，主要考查了絕對值的意義和化簡、整式的加減以及一元一次方程的求解等知識，正確理解新運算法則是解題的關(guān)鍵．5．（22·23七年級上·重慶南岸·期末）已知關(guān)于的方程的解是負整數(shù)，那么整數(shù)的所有取值之和為（

）A．4 B．0 C． D．【答案】D【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解為，結(jié)合原方程的解是負整數(shù)且k為整數(shù)，可得出k的值，再將其相加即可得出結(jié)論．【詳解】∵∴，當時，原方程無解；當時，．∵原方程的解是負整數(shù)，且k為整數(shù)，∴或∴或，∴整數(shù)k的所有取值之和為．故選：D．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，由原方程的解為負整數(shù)，找出整數(shù)k的值是解題的關(guān)鍵．6．（23·24七年級上·北京西城·期中）閱讀下面解方程的步驟，完成填空：解：去括號，得．移項，得．依據(jù)；合并同類項，得．系數(shù)化為1，得．【答案】等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），等式仍成立【分析】本題考查了解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)1和等式的基本性質(zhì)2即可求解，熟練掌握解方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：去括號，得．移項，得．依據(jù)：等式的基本性質(zhì)1：等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），等式仍成立，合并同類項，得．系數(shù)化為1，得，故答案為：等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），等式仍成立；．7．（23·24七年級上·河北張家口·期中）如果用c表示攝氏溫度，用f表示華氏溫度．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，寫出c的值為，f的值為．c與f之間的關(guān)系是：cf【答案】2032【分析】把代入可得的值，把代入可得的值，從而可得答案．【詳解】解：∵c與f之間的關(guān)系是：，當時，則，當時，，解得：．故答案為：，；【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解一元一次方程，理解題意，將的值或的值代入得到一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【方法五】成果評定法一、單選題1．（22·23七年級下·河南鶴壁·期末）下列方程的變形正確的是（）A．，去分母，得B．，去括號，得C．，移項，得D．，系數(shù)化為1，得【答案】D【分析】逐項方程整理得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、將方程，去分母，得：，錯誤，A選項不符合題意；B、將方程，去括號，得，B錯誤，選項不符合題意；C、將方程，移項，得，C錯誤，選項不符合題意；D、將方程，系數(shù)化為，得；符合題意；故選：．【點睛】此題考查了解一元一次方程的步驟，熟練掌握解方程的步驟是解題的關(guān)鍵．2．（22·23七年級上·山東臨沂·期末）下列方程的變形中，正確的是（

）A．方程，移項得B．方程，去括號得C．方程，可化為D．方程，可化為【答案】C【分析】將下列解方程按照合并同類項、去括號、同時擴大的方法整理方程即可判斷正確選項.【詳解】解：選項：方程兩邊同時減得，，不符合題意；選項：方程去括號得，不符合題意；選項：方程兩邊同時乘10得，，符合題意；選項：將方程分母化整數(shù)，得，不符合題意.故答案選：.【點睛】本題考查了一元一次方程計算，熟練掌握一元一次方程式解本題的關(guān)鍵.本題化簡方程時容易忽略分母擴大，分子并未擴大導(dǎo)致解方程出錯.3．（20·21七年級下·山東棗莊·期中）下列各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，的值為（

）A．135 B．153 C．169 D．170【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，分別計算正方形中四個數(shù)字的規(guī)律，即可得到答案．【詳解】第一個正方形左上角數(shù)字為：1第二個正方形左上角數(shù)字為：2第三個正方形左上角數(shù)字為：3…第n個正方形左上角數(shù)字為：n；第一個正方形右上角數(shù)字為：第二個正方形右上角數(shù)字為：第三個正方形右上角數(shù)字為：…第n個正方形右上角數(shù)字為：∵題干中最后一個正方形右上角為：18∴∴∴題干中最后一個正方形為第八個正方形；第一個正方形左下角數(shù)字為：第二個正方形左下角數(shù)字為：第三個正方形左下角數(shù)字為：…第n個正方形左下角數(shù)字為：第八個正方形左下角數(shù)字為：9；第一個正方形右下角數(shù)字為：第二個正方形右下角數(shù)字為：第三個正方形右下角數(shù)字為：…第n個正方形右下角數(shù)字為：∵∴第8個正方形右下角數(shù)字為：故選：D．【點睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律、代數(shù)式、有理數(shù)混合運算、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．4．（23·24七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列方程變形正確的是（

）A．方程移項得B．方程化成C．若，則D．方程，去括號，得【答案】B【分析】各項中方程變形得到結(jié)果，即可做出判斷．【詳解】解：A、方程，移項得，錯誤，故本選項不符合題意；B、方程化為，即，即，正確，故本選項符合題意；C、方程，則錯誤，因為當時，x、y不一定相等，故本選項不符合題意；D、方程，去括號，得，錯誤，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．5．解方程，有以下四個步驟：①去括號，得②移項，得③合并同類項，得④系數(shù)化為1，得經(jīng)檢驗知：不是原方程的解，這說明解題的四個步驟有錯，其中做錯的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】解決此題應(yīng)先去括號，再移項，移項時要注意符號的變化．【詳解】解：，①去括號得：，②移項得：，③合并同類項，得④系數(shù)化為1，得可知所給的4個步驟中從第②步開始出現(xiàn)錯誤，故選B．【點睛】本題考查解一元一次方程的一般步驟，解題的關(guān)鍵是移項時要注意符號的變化．6．（23·24七年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）求的值，可令，則，因此．仿照以上推理，計算出的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，則，運用等式性質(zhì)，得．【詳解】解：令，則，∴．∴．故選：D【點睛】本題考查等式的性質(zhì)，乘方運算，一元一次方程求解；理解等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（22·23七年級上·河北保定·期末）若、表示非零常數(shù)，整式的值隨的取值而發(fā)生變化，如下表，則關(guān)于的一元一次方程的解為（

）013……1359……A． B． C． D．【答案】C【分析】將關(guān)于x的一元一次方程化為，然后根據(jù)表格得出當時，，即可求出關(guān)于x的一元一次方程的解．【詳解】解：關(guān)于x的一元一次方程可化為，由表格可知，當時，，∴關(guān)于x的一元一次方程的解為．故選：C．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是將關(guān)于x的一元一次方程化為．8．（22·23七年級下·河南周口·階段練習(xí)）我們規(guī)定，對于任意兩個有理數(shù)，有，如．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)規(guī)定的運算法則可得關(guān)于a的方程，解方程即得答案．【詳解】解：因為，所以，解得：；故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的求解，正確理解規(guī)定的運算法則是解題關(guān)鍵．9．（22·23七年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知整數(shù)a使關(guān)于x的方程有整數(shù)解，則符合條件的所有a值的和為（

）A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1【答案】A【分析】先求出方程的解是，根據(jù)方程有整數(shù)解和為整數(shù)得出或或或，求出的值，再求出和即可．【詳解】解：，去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，當時，，整數(shù)使關(guān)于的方程有整數(shù)解，或或或，解得：或或或0，和為，故選：A．【點睛】本題考查解一元一次方程，一元一次方程的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．10．已知關(guān)于x的方程的解是正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的積是（

）A．8 B． C．12 D．【答案】A【分析】求得方程的解，根據(jù)解是正整數(shù)，分類計算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∵方程的解是正整數(shù)，∴，解得∴積為，故選A．【點睛】本題考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正確理解整數(shù)解的意義是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．已知關(guān)于的一元一次方程的解為，那么關(guān)于的一元一次方程的解為．【答案】2024【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元一次方程的解，可以得到m的值，把m的值代入關(guān)于y的方程式中，可以得到y(tǒng)的解．【詳解】法一：∵的解為，∴，解得：，∴方程可化為，∴，∴，∴，∴，故答案為：2024．法二：將所求方程兩邊同乘1，對照比較發(fā)現(xiàn)，x=y5,而x=2019,所以y=2024【點睛】本題考查了已知一元一次方程的解求參數(shù)，整體代換解一元一次方程，掌握整體代換的思想是解題的關(guān)鍵．12．（23·24上·全國·課堂例題）小勤解方程的過程如下：解：去分母（方程兩邊乘10），得．

①去括號，得．

②移項、合并同類項，得．

③系數(shù)化為1，得．

④小勤解答過程中錯誤步驟的序號為．【答案】①②/②①【分析】去分母與去括號有誤，錯誤原因是：去分母時各項都要乘以10，而不含分母的項5漏乘了10；去括號時42沒有變號．【詳解】解：去分母（方程兩邊乘10），得．

①去括號，得．

②移項、合并同類項，得．

③系數(shù)化為1，得．

④小勤解答過程中錯誤步驟的序號為①②，故答案為：①②．【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．13．（22·23七年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知m，n為定值，且無論k為何值，關(guān)于x的方程的解總是，則．【答案】6【分析】先去分母，把方程化為，然后根據(jù)方程的解與k無關(guān)分別列出方程求解即可．【詳解】解：，方程兩邊都乘6，去分母得，整理得：，∵無論k為何值，方程的解總是，∴，，解得：，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，根據(jù)方程的解與k無關(guān)，則k的系數(shù)為0列出方程是解題的關(guān)鍵．14．（22·23七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）若定義一種新的運算，規(guī)定，且與互為倒數(shù)，則．【答案】6【分析】直接根據(jù)題意列式一元一次方程求解即可．【詳解】解：由題意可知：，∴，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了新定義下的一元一次方程，根據(jù)新定義正確列出方程是解題的關(guān)鍵．15．小亮解方程，去分母時，方程右邊的忘記乘，求出的解是，則的值是.【答案】1【分析】由題意可得：是方程的解，然后代入方程求解即可.【詳解】解：由題意可得：是方程的解，則，解得：；故答案為：1.【點睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正確理解題意、熟練掌握解一元一次方程的步驟和方法是解題的關(guān)鍵.16．（22·23七年級上·江蘇鹽城·期末）對于兩個數(shù)，，我們規(guī)定用表示這兩個數(shù)的平均數(shù)，用表示這兩個數(shù)中最小的數(shù)，例如：，，如果，那么．【答案】【分析】根據(jù)新定義直接列方程求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵，∴，解得：，故答案為：；【點睛】本題考查新定義運算，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義，根據(jù)新定義直接列方程求解．17．方程的解是.【答案】1010【分析】方程左邊整理后，利用折項法變形，計算即可求出解.【詳解】∵∴方程整理為：即即化簡得，，即整理得，解得，故答案為：1010.【點睛】此題考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a的形式轉(zhuǎn)化.18．已知數(shù)列，記第一個數(shù)為a1，第二個數(shù)為a2，…，第n個數(shù)為an，若an是方程(1－x)＝(2x＋1)的解，則n＝．【答案】325或361【詳解】解：兩邊同乘以21得：7－7x=12x+6解得：x=∴an=分析數(shù)列如下：（分母為1時，1個數(shù)），，（分母為2時，3個數(shù)）以此類推，分母為3時，有5個數(shù)，分母為4時，有7個數(shù)，分母為5時，有9個數(shù)，分母為6時，有11個數(shù)，分母為n時，有2n1個數(shù)．當分母為19時，一共有：1+3+…+（2×191）=361，361－2×18=325．故n=325或361．點睛：題目設(shè)計新穎，考查學(xué)生的觀察能力和處理問題能力，特別注意會在兩個位置出現(xiàn)，因此n值會有兩個解．三、解答題19．（23·24七年級上·重慶綦江·期中）在解含有字母系數(shù)的方程時，常常將字母系數(shù)看作已知數(shù)，然后利用解方程的步驟和方法求解，所得的未知數(shù)的值常常是含有字母的代數(shù)式.例如：解關(guān)于x的一元一次方程其中解：移項：合并同類項：因為，所以，化系數(shù)為1，兩邊同除以，得：(1)請仿照上面的方法解關(guān)于x的方程：(2)關(guān)于x的方程，其中，方程的解為正整數(shù)，求符合條件的k的整數(shù)值．【答案】(1)(2)0或1或3【分析】（1）先移項，合并同類項，然后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可；（2）先解方程得出，然后再根據(jù)方程的解為正整數(shù)，求出整數(shù)k的值即可．【詳解】（1）解：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：；（2）解：，移項，合并同類項得：，∵其中，∴，系數(shù)化為1得：，∵方程的解為正整數(shù)，∴整數(shù)或1或3．20．（23·24七年級上·廣東廣州·期中）已知代數(shù)式，其中為常數(shù)，當時，時，．(1)求的值；(2)關(guān)于的方程的解為，求的值．(3)當時，求式子的值．【答案】(1)1(2)(3)3【分析】（1）將時，代入代數(shù)式A，然后再化簡即可解答；（2）將代入方程得到：，再將時代入代數(shù)式B得到：，然后將上面兩個等式通過整理變形即可求出k值；（3）先分別求出A、B、E，再代入所求的代數(shù)式計算即可．【詳解】（1）解：將時，代入代數(shù)式A，可得：，即．（2）解：由題意可知：當時，，整理得①，將時代入代數(shù)式B得到：，整理得：②，將②式代入①中可得：，整理得，解得：．（3）解：∵，，∴，整理得：，∵，∴∴當時，，，，∴．【點睛】本題主要考查了整式的加減涉及到一元一次方程的解等知識點，掌握整體思想成為解答本題的關(guān)鍵．21．（23·24七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）課堂上，老師說：“我定義了一種新的運算，叫☆運算．”老師根據(jù)規(guī)律，寫出了幾組按照☆運算法則進行運算的式子：第一組：；；第二組：；；第三組：；；；．小明說：我知道老師定義的☆運算法則了，聰明的你看出來了嗎？請你幫忙歸納☆運算法則：(1)歸納☆運算法則，填寫下列空白部分：①同號兩個數(shù)進行☆運算時，結(jié)果的符號為負，數(shù)值部分取絕對值相加；②異號兩個數(shù)進行☆運算時，____________；③特別地，0和任何數(shù)進行☆運算，或是任何數(shù)和0進行☆運算都等于______；(2)填空：______；______；(3)若，求的值．【答案】(1)結(jié)果的符號為正，數(shù)值部分取絕對值相加；該數(shù)的絕對值(2)；(3)或1【分析】（1）從題中分別觀察同號運算，異號運算，以及與0進行運算時的結(jié)果，進行總結(jié)即可；（2）結(jié)合新定義的運算法則，求解即可；（3）分為負數(shù)、為正數(shù)和為0三種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：歸納☆運算法則，填寫下列空白部分：①同號兩個數(shù)進行☆運算時，結(jié)果的符號為負，數(shù)值部分取絕對值相加；②異號兩個數(shù)進行☆運算時，結(jié)果的符號為正，數(shù)值部分取絕對值相加；③特別地，0和任何數(shù)進行☆運算，或是任何數(shù)和0進行☆運算都等于該數(shù)的絕對值．故答案為：結(jié)果的符號為正，數(shù)值部分取絕對值相加；該數(shù)的絕對值；（2）；．故答案為：；；（3）若為負數(shù)，即，則有，解得；若為正數(shù)，即，則有，解得；若為0，則有，解得，不符合題意，舍去．綜上所述，的值為或1．【點睛】本題主要考查了新定義運算、有理數(shù)運算、化簡絕對值以及解一元一次方程等知識，理解新定義的運算是解題關(guān)鍵．22．（22·23七年級上·湖南長沙·期末）小美喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，她給出一個定義：若是關(guān)于的一元一次方程的解，是關(guān)于的方程的所有解的其中一個解，且，滿足，則稱關(guān)于的方程為關(guān)于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，當，，所以為一元一次方程的“小美方程”．(1)已知關(guān)于的方程：是一元一次方程的“小美方程”嗎？________（填“是”或“不是”）；(2)若關(guān)于的方程是關(guān)于的一元一次方程的“小美方程”，請求出的值；(3)若關(guān)于的方程是關(guān)于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值．【答案】(1)是(2)(3)【分析】（1）先化簡絕對值得到，再解求出，最后計算作答即可；（2）先分別解方程求出，，再根據(jù)“小美方程”的定義計算即可；（3）先根據(jù)題意得到，再由得到，解得，將代入整理得到，最后計算即可．【詳解】（1）由得，；解得：，而，所以是一元一次方程的“小美方程”，故答案為：是；（2）解：∵解得：；對于，解得；由題意，當時，，解得：；（3）解：由題意，，即由得：，所以，則，把上式代入中，整理得：，即，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了新定義，一元一次方程的解法，正確理解“小美方程”是解題的關(guān)鍵．23．（22·23七年級上·浙江金華·階段練習(xí)）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程的解為，而，則方程為“和解方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)下列關(guān)于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①；②；③．(2)已知關(guān)于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代數(shù)式的值．【答案】(1)②(2)(3)32【分析】（1）求出方程的解，再根據(jù)和解方程的意義得出即可；（2）先解方程得出方程的解，再根據(jù)和解方程的含義建立方程即可求得答案；（3）根據(jù)和解方程得出方程的解與，再整體代入代數(shù)式求值即可．【詳解】（1）解：①＝的解是，∵，∴①不是“和解方程”；②的解是，∵，∴②是“和解方程”；③的解是，∵，∴③不是“和解方程”；故答案為：②．（2）∵，∴，∴，∵即是“和解方程”，∴，∴；（3）∵，∴，而是“和解方程”，∴，∴，（①式）∵，∴，而是“和解方程”，∴，∴，（②式），由①②得：，∴．【點睛】本題考查了一元一次方程的解的應(yīng)用，新定義運算，求解代數(shù)式的值，正確理解新定義再建立新的方程求解是解題的關(guān)鍵．24．（22·23七年級上·廣東廣州·期末）對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“清灣值”為．例如，，則2和3關(guān)于1的“清灣值”為3(1)和5關(guān)于1的“清灣值”為______；(2)若和2關(guān)于1的“清灣值”為4，求的值；(3)若和關(guān)于1的“清灣值”為1，和關(guān)于2的“清灣值”為1，和關(guān)于3的“清灣值”為1，…，和關(guān)于100的“清灣值”為1①的最大