第三章-邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)課件

3.1基本邏輯運(yùn)算數(shù)字電路研究的是數(shù)字電路的輸入與輸出之間的因果關(guān)系，即邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系一般由邏輯函數(shù)來(lái)描述。邏輯函數(shù)是由邏輯變量A，B，C……和基本邏輯運(yùn)算符號(hào)●(與)、+（或）、—（非）及括號(hào)、等號(hào)等構(gòu)成的表達(dá)式來(lái)表示，如：F=āBC+A=F(A,B,C)

式中A、B、C稱為原變量，ā稱為對(duì)應(yīng)的反變量，F(xiàn)稱為邏輯函數(shù)（稱為F的邏輯反函數(shù)）?；竟?.變量與常數(shù)的計(jì)算公式：

A·0=0A·1=AA+1=1A+0=AA⊕1=āA⊕0=A2.變量與變量的計(jì)算：

A·A=AA+A=A

A·ā=0

A+ā=1

A=AA⊕A=0A⊕ā

=1

二.基本運(yùn)算定律

1.交換律：A·B=B·AA+B=B+AA⊕B=B⊕A2.結(jié)合律：A(B·C)=(A·B)C(A+B)+C=A+(B+C)(A⊕B)⊕C=A⊕

(B⊕C)3.分配律：A(B＋C)=AB＋ACA＋(BC)=(A＋B)(A＋C)3.吸收律：

āB+A=A+BAB+āC+BC=AB+āC

5.反演律(摩根定律)：AB=A+BA+B=AB以上這些定律可以用基本公式或真值表進(jìn)行證明。例1

利用基本公式證明AB+āC+BC=AB+āC。證：左邊=AB+āC+(A+ā)BC=AB+āC+ABC+āBC=AB(1+C)+āC(1+B)=AB+āC=右邊如果AB+āC+BCEFG=?三.基本運(yùn)算規(guī)則

1．運(yùn)算順序在邏輯代數(shù)中，運(yùn)算優(yōu)先順序?yàn)?先算括號(hào)，再是非運(yùn)算，然后是與運(yùn)算，最后是或運(yùn)算。2．代入規(guī)則在邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)某一變量的位置都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。這就是代入規(guī)則。

3.反演規(guī)則在邏輯求F函數(shù)的反函數(shù)，只要將F式中·與+互換，0與1互換，原變量與反變量互換，其余符號(hào)和運(yùn)算順序不變。例如，已知。若用Z=A·C代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即3.2邏輯函數(shù)的變換和化簡(jiǎn)一.邏輯函數(shù)的變換利用基本邏輯運(yùn)算可以將同一個(gè)邏輯函數(shù)變換為不同的表達(dá)式，一個(gè)邏輯函數(shù)通常有以下五種類型的表達(dá)式:

與或表達(dá)式易于從真值表直接寫出，而且只需運(yùn)用一次摩根定律就可以從最簡(jiǎn)與或表達(dá)式變換為與非-與非表達(dá)式，從而可以用與非門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。與或表達(dá)式：F=AB+AC(先與再或)或與表達(dá)式：G=(A+B)(A+C)(先或再與)與非－與非表達(dá)式：F=ABAC(又稱為與非表達(dá)式)或非－或非表達(dá)式：G=A+B+A+C(又稱為或非表達(dá)式)與或非表達(dá)式：L=AB+AC(先與再或最后非)二.邏輯函數(shù)代數(shù)法化簡(jiǎn)

1.消去多余項(xiàng)：2.消去合并項(xiàng)：3.消去因子:4.添加項(xiàng)配項(xiàng)：對(duì)較簡(jiǎn)單邏輯函數(shù)用代數(shù)化簡(jiǎn)很方便。對(duì)較復(fù)雜的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)不但要求熟練掌握邏輯代數(shù)的基本公式，而且需要一些技巧，特別是較難掌握獲得代數(shù)化簡(jiǎn)后的最簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式的方法。

例F=AB+ABC(E+F)例F=ABC+ABC例F=AB+AC+BC例F=AB+BC+BC+AB=AB=AB+BC+BC+AB+AC=AB+BC+AC最簡(jiǎn)與或表達(dá)式有兩個(gè)特點(diǎn):1．與項(xiàng)(即乘積項(xiàng))的個(gè)數(shù)最少;2．每個(gè)與項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。例：根據(jù)真值表寫出函數(shù)T1和T2的與或表達(dá)式和與非表達(dá)式。

解：輸入ABC輸出T1輸出T20000010100111001011101111110000000000111T1=AB+AC=ABCT2=AC+AB=ACAB3.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法與變換一.最小項(xiàng)特點(diǎn)：

1.每個(gè)乘積項(xiàng)都有三個(gè)變量，原、反變量均可；

2.每個(gè)乘積項(xiàng)中，同一原、反變量只能出現(xiàn)1次；

3.n個(gè)原變量的最小項(xiàng)最多有2n個(gè)。性質(zhì)：對(duì)變量的任一取值，只有一個(gè)最小項(xiàng)為1；兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0；全部最小項(xiàng)之和為1。在含有三個(gè)輸入變量A、B、C的邏輯函數(shù)中，A、B、C的所有取值可以構(gòu)成8種不同狀態(tài)，用變量表示為8個(gè)乘積項(xiàng)：ABCABCABCABCABCABCABCABC，它們統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。二.最小項(xiàng)(標(biāo)準(zhǔn))表達(dá)式對(duì)于某種邏輯關(guān)系，用真值表來(lái)表示是唯一的，用前面討論的邏輯表達(dá)式來(lái)表示可以有多個(gè)表達(dá)式。如果用最小項(xiàng)之和組成的表達(dá)式來(lái)表示，也是唯一的。用最小項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)稱為最小項(xiàng)(標(biāo)準(zhǔn))表達(dá)式，其表達(dá)式是唯一的。例：F=ABC+ABC+ABC最小項(xiàng)表達(dá)式還可簡(jiǎn)寫為F=∑mi，式中mi表示最小項(xiàng)，下標(biāo)i是最小項(xiàng)值為1時(shí)對(duì)應(yīng)變量的十進(jìn)制數(shù)值。上例可寫為F（A,B,C）=m1+m6+m7=∑m(1,6,7)=∑(1,6,7)(1)每方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，方格內(nèi)的數(shù)字表示相應(yīng)最小項(xiàng)的下標(biāo)，最小項(xiàng)的邏輯取值填入相應(yīng)方格；(2)卡諾圖方格外的字母和數(shù)字為輸入變量及其相應(yīng)變量取值，變量取值的排序不能改變；(3)相鄰的2個(gè)方格稱為邏輯相鄰項(xiàng)（簡(jiǎn)稱相鄰項(xiàng)），相鄰項(xiàng)中只有1對(duì)變量互為反變量，而其余變量完全相同。(4)卡諾圖一列中最上和最下2個(gè)方格是相鄰項(xiàng)；一行中最左和最右2個(gè)方格是相鄰項(xiàng)。三.卡諾圖23

B

A010101

BC

A000111100211306574

CD

AB00011110000111102130657414131512109118二變量三變量四變量由邏輯函數(shù)真值表直接畫出的卡諾圖四.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示真值表輸入變量每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)卡諾圖中的一個(gè)方格，將最小項(xiàng)取值（即輸出變量取值）填入卡諾圖對(duì)應(yīng)方格中，即構(gòu)成相應(yīng)的卡諾圖。2130657400101110

BC

A0001111001由邏輯函數(shù)表達(dá)式畫出的卡諾圖四.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示10011011例：畫出F=AB+C+ABC的卡諾圖。解：先寫標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式，再畫卡諾圖

F=AB(C+C)+C(A+A)(B+B)+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=∑m(7,6,4,2,0)直接畫出卡諾圖

BC

A0001111001

BC

A0001111001A=1B=1C=0C=0A=0B=110011011

BC

A0001111001如果邏輯函數(shù)中含有與非項(xiàng)或或非項(xiàng)，應(yīng)先利用反演律去掉，再按上述方法畫出卡諾圖。例五.卡諾圖化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)依據(jù)：圖中任何2=21個(gè)為1的相鄰項(xiàng)可以合并為1個(gè)與項(xiàng)，并消去一個(gè)變量；任何4=22個(gè)為1的相鄰項(xiàng)可以合并為1個(gè)與項(xiàng)，消去2個(gè)變量；任何2K個(gè)為1的相鄰項(xiàng)可以合并為1個(gè)與項(xiàng)，消去K個(gè)變量?；?jiǎn)步驟:將為1的相鄰項(xiàng)（方格）盡可能多的圈出，每個(gè)圈內(nèi)1的個(gè)數(shù)滿足2k；方格1可以重復(fù)使用,每個(gè)圈要有新1；必須圈完所有的1，獨(dú)立1對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)；將所有包圍圈內(nèi)的最小項(xiàng)合并成對(duì)應(yīng)與項(xiàng)，然后相加得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。例：用卡諾圖化簡(jiǎn)下列函數(shù)：F1=ABC+ABC+ABC+ABCF2=ABC+ACD+ABCD+ABC

BC

A00011110011111F1=BF2=BD+BC+ACD1111111

CD

AB0001111000011110練習(xí)化簡(jiǎn)下列邏輯函數(shù)為最簡(jiǎn)與或函數(shù)式：

F1=XYZ+XY+XYZF2=BCD+AC+AB+BCDF3=ABC+ABC+ABC+ABC解：1

YZ

X00011110011111F1=∑(7,5,4,6)=XF3=∑(4,5,6,7)1111

BC

A0001111001F2=AC+BC=A

CD

AB0001111000011110111111113.含有無(wú)關(guān)項(xiàng)的化簡(jiǎn)約束項(xiàng)(不允許或不會(huì)出現(xiàn)的最小項(xiàng))和任意項(xiàng)(最小項(xiàng)可任意取值)統(tǒng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)。常用∑d表示。無(wú)關(guān)項(xiàng)在卡諾圖中用×表示，既可看作1，也可看作0，視具體情況而定。例如：F(A,B,C,D)=∑m(4,6,8,9,10,12,13,14)+∑d(0,2,5)

CD

AB0001111000011110205137151164141312109811

1

1

1

111F=D+AC×××00000例：用8421BCD碼表示的1位十進(jìn)制數(shù)，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為奇數(shù)時(shí)，電路輸出為1，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為偶數(shù)時(shí)，電路輸出為0。試寫出上述邏輯關(guān)系的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

解：

CD

AB000111100001111011

1

1

1

00000F=D×××十進(jìn)制數(shù)輸入變量ABCD輸出F012345678900000001001000110100010101100111100010010101010101

無(wú)關(guān)項(xiàng)101010111100110111101111××××××F(A,B,C,D)

=∑m(1,3,5,7,9)+∑d(11,12,13,14,15)××F

=AD+BCD×000000六.卡諾圖變換與或轉(zhuǎn)換為或與轉(zhuǎn)換原理

F=AD+AC+BD+BCF=AB+CDF=AB+CD=（A+B)(C+D)化簡(jiǎn)步驟:將為0的相鄰項(xiàng)（方格）盡可能多的圈出，每個(gè)圈內(nèi)0的個(gè)數(shù)滿足2k；方格0可以重復(fù)使用,每個(gè)圈要有新0,必須圈完所有的0；將所有包圍圈內(nèi)的最小項(xiàng)合并成對(duì)應(yīng)或項(xiàng)，注意：合并后變量取值為0用原變量，取值為1用反原變量；相與所有或項(xiàng)得到最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。

CD

AB00011110000111100000011101110111與或轉(zhuǎn)換為與或非轉(zhuǎn)換原理將F=AC+AD+BC+BD轉(zhuǎn)換為與或非表達(dá)式。

F=AB+CDF=AB+CD化簡(jiǎn)步驟:將為0的相鄰項(xiàng)（方格）盡可能多的圈出，每個(gè)圈內(nèi)0的個(gè)數(shù)滿足2k；按圈1化簡(jiǎn)，得到反函數(shù)的與或形式；將反函數(shù)兩邊求反得到最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式。六.卡諾圖變換

CD

AB00011110000111101011101100001011六.卡諾圖變換與或轉(zhuǎn)換為或非化簡(jiǎn)步驟:先將與或轉(zhuǎn)換為或與形式；再利用摩根定理將或與轉(zhuǎn)換為或非表達(dá)式。舉例將F=ABD+AD+BD+ABC轉(zhuǎn)換為或非表達(dá)式:F=(A+B+D)(B+D)(A+C+D)F=(A+B+D)+(B+D)+(A+C+D)

CD

AB000111100001111001101001100110113.4

邏輯函數(shù)門電路的實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)之后，得到了最簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式。根據(jù)邏輯表達(dá)式，就可采用適當(dāng)?shù)倪壿嬮T來(lái)實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)的實(shí)現(xiàn)是通過(guò)邏輯電路圖表現(xiàn)出來(lái)的。邏輯電路圖是由邏輯符號(hào)以及其它電路符號(hào)構(gòu)成的電路連接圖。邏輯電路圖是除真值表，邏輯表達(dá)式和卡諾圖之外，表達(dá)邏輯函數(shù)的另一種方法。邏輯電路圖更接近于邏輯電路設(shè)計(jì)的工程實(shí)際。由于采用的邏輯門不同，實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)的電路形式也不同。

例如:用邏輯門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)F=AB+AC+BC。

解：可用3個(gè)與門和1個(gè)或門，連接成先“與”后“或”的邏輯電路。

F=AB+AC+BC=

若用4個(gè)與非門實(shí)現(xiàn)該邏輯函數(shù)在所有基本邏輯門中，與非門是工程實(shí)際中大量應(yīng)用的邏輯門，單獨(dú)使用與非門可以實(shí)現(xiàn)任何組合的邏輯函數(shù)。例：已知某電路的輸入A、B、C及輸出F波形如圖所示，試分析該電路的邏輯功能，（1）用與非門畫出其等效的邏輯電路，（2）用或非門畫出其等效的邏輯電路。解：1)在波形圖標(biāo)出對(duì)應(yīng)的邏輯值

2)寫出邏輯表達(dá)式并化簡(jiǎn)

000010101111110100000010010011011000101011110