第九章9.4乘法公式蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

乘法公式（1）蘇科版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)聰明的阿凡提從前有一個(gè)貪心的財(cái)主，人們叫他巴依老爺.巴依老爺有兩塊地，一塊面積為a2，另一塊面積為b2，而阿凡提只有一塊地，面積為(a+b)2.有一天，巴依老爺眼珠一轉(zhuǎn)對(duì)阿凡提說(shuō):“我用我的兩塊地?fù)Q你的一塊地，可以吧？”（1）你覺(jué)得阿凡提答應(yīng)了嗎？

（2）(a+b)2

與a2

+b2哪個(gè)大呢？因需要將其邊長(zhǎng)增加b米。一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種(如圖1—6).aabb圖1—6你能計(jì)算出現(xiàn)在這塊實(shí)驗(yàn)田的面積嗎?

方法一、總面積=(a+b)2方法二、總面積=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2

上面的等式是利用面積的不同表示形式得到的，你還有其他方法嗎？(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2一般的，對(duì)于任意的a,b由多項(xiàng)式乘法法則同樣可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式計(jì)算：(a–b)2方法一：解：(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2–ab–ab+b2=a2-2ab+b2方法二：解：(a–b)2

=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2(a–b)2=a2-2ab+b2這也是完全平方公式哦

完全平方公式：(a＋b)2=a2＋2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2語(yǔ)言表述：兩數(shù)和（差）的平方，等于它們的平方和加上（減去）它們乘積的兩倍.公式的結(jié)構(gòu)特征：首平方，尾平方，首尾兩倍在中間，符號(hào)看前方.例1運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(x+2y)2解：(x+2y)2=(a+b)2=a2+2ab+b2x2+2?x?2y+(2y)2=x2+4xy+4y2(2)(x-2y)2解：(x-2y)2=(a-b)2=a2-2ab+b2x2-2?x?2y+(2y)2=x2-4xy+4y2

用完全平方公式計(jì)算（3）（-x+2y)2(4)(-2a-5)2方法一、原式=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2=4y2-4xy+x2方法二、原式=(-x)2+2·(-x)·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2=(2a+5)2=(2a)2+2·2a·5+52=4a2+20a+25方法二、原式=(-2a)2+2·(-2a)·(-5)+(-5)2=4a2+20a+25(5)(4m2-n2)2分析：(a-b)2=a2-2ab+b24m2an2b解：（4m2－n2）2=()2－2()·()+()2

4m2

4m2n2n2=16m4－8m2n2+n4（1）9982；解：（1）9982＝(1000-2)2＝10002-2×1000×2＋22＝1000000－4000+4例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：＝996004（2）20012（2）20012

＝(2000＋1)2＝20002＋2×2000×1＋12＝4000000＋4000＋1＝4004001

運(yùn)用完全平方公式可以起到簡(jiǎn)便運(yùn)算的作用.1、下面的計(jì)算是否正確？如有錯(cuò)誤，請(qǐng)改正：(1)(x+y)2＝x2+y2;(2)(-m+n)2＝-m2+n2；(3)(

a?1)2＝

a2?2a?1.解:(1)×應(yīng)改為:(x+y)2＝x2+2xy+y2（2）×第一項(xiàng)

應(yīng)該是（－m)2

，丟了一項(xiàng)應(yīng)改為:(-m+n)2＝(-m)2+2?(-m)n+n2=m2-2mn+n2（3）×應(yīng)改為:(

a?1)2=(a+1)2=a2+2a+12、填空：(1)(a+_____)2=a2+4ab+4b2(2)(3x-______)2=9x2-12xy+______(3)(-x-_____)2=x2+______+13、小兵計(jì)算一個(gè)二項(xiàng)整式的平方式時(shí),得到正確結(jié)果是4x2++25y2,但中間一項(xiàng)不慎被污染了,這一項(xiàng)應(yīng)是()A10xyB20xyC±10xyD±20xy2b2y4y212xD(2x

5y)2±(x+1)24、計(jì)算：(x2-2y2)2-(x2+2y2)2解：原式=(x2)2-2·x2·2y2+(2y2)2

-[

(x2)2+2·x2·2y2+(2y2)2]=x4-4x2y2+4y4-(x4+4x2y2+4y4)=x4-4x2y2+4y4-x4-4x2y2-4y4=-8x2y21、如何計(jì)算(a+b+c)2解:

(a+b+c)2

=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc1、(a+b)2=(a-b)2

+_____4ab2、(a-b)2=(a+b)2-_____4ab(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2-2ab+b22、已知a+b=3,ab=1,求a2+b2、(a－b)2的值.解：∵(a+b)2=a2+2ab+b2∴(a+b)2-2ab=a2+b2即a2+b2=(a+b)2-2ab∵a+b=3ab=1∴a2+b2=7方法1、(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=5方法2、(a-b)2=(a+b)2-4ab=5=32-4完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a?b)2=a2?2ab+b2.在解題過(guò)程中要準(zhǔn)確確定a和b、對(duì)照公式原形的兩邊,做到不丟項(xiàng)、不弄錯(cuò)符號(hào)、2ab時(shí)不少乘2a2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab(a+b)2=(a-b)2+4ab9.4乘法公式（2）蘇科版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2用乘法公式計(jì)算：(1)(2a-3)2

(2)(-x+4y)2(3)(-3a-1)2=4a2-12a+9=16y2-8xy+x2=9a2+6a+1=(4y-x)2=(3a+1)2情境創(chuàng)設(shè)

邊長(zhǎng)為b

的小正方形紙片放置在邊長(zhǎng)為a

的大正方形紙片上，如右圖，你能用多種方法求出陰影部分的面積嗎？

baab方法（1）未被蓋住的部分的面積為baabbbaa方法（2）：可以拼成等腰梯形，則未被蓋住的部分的面積為aabaabb方法（3）：可以拼成長(zhǎng)方形，則未被蓋住的部分的面積為

你能用多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)所得到的公式嗎？解:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2

=a2-b2一般地，對(duì)于任意的a、b，這個(gè)公式稱為平方差公式。用語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．判斷下列各式能否運(yùn)用平方差公式√√√√√√××例1.計(jì)算：(1)(2x+3y)(2x-3y)=(2)(-2x+3y)(-2x-3y)=(3)(-2x+3y)(2x+3y)=(4)(-2x-3y)(3x-2y)=(5)(2x-3y)(3y-2x)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2(-2x)2-(3y)2=4x2-9y2(3y-2x)(3y+2x)=9y2-4x2=(3y)2-(2x)2-6x2+4xy-9xy+6y2=-6x2-5xy+6y2-(2x-3y)(2x-3y)=-(2x-3y)2=-(4x2-12xy+9y2)=-4x2+12xy-9y2例2.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:=(100+1)(100-1)=1002-12=10000-1=9999101×99例3、化簡(jiǎn)求值：(2x+y)(-y+2x)－(-2x-y)2，其中x=-1，y=-2解：原式=(2x+y)(2x-y)-(2x+y)2=(2x)2-y2-(4x2+4xy+y2)=4x2-y2-4x2-4xy-y2=-2y2-4xy當(dāng)x=-1，y=-2時(shí)原式=-2×(-2)2-4×(-1)×(-2)=-8-8=-16填空：(1)(m+____)(m-____)=m2-36n2(2)(a+b)(______)=b2-a2(3)(______)(1-x2)=x4-1(4)已知(x-ay)(x+ay)=x2-16y2，那么a=____6n6nb-a-x2-1±4x2-y2=8,y-x=4,求x+y.解：∵(x+y)(x-y)=x2-y2又x2-y2=8,y-x=4∴(x+y)

×(-4)=8∴x+y=-22、計(jì)算(x+3)(x-3)(x2+9)原式=(x2-32)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81=(x2-9)(x2+9)3.計(jì)算原式=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1(24)2=28變式：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)···(21024+1)=(22-1)(22+1)(24+1)···(21024+1)=(21024-1)(21024+1)=22048-1(22)2=24=(21024)2-12=(28)2-12平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2乘法公式（3）蘇科版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)完全平方公式平方差公式（1）(a+b)2=a2+2ab+b2（2）(a-b)2=a2-2ab＋b2(a+b)(a-b)=a2－b2乘法公式1.(2x-y)(_____)=4x2-y22.(b-a)(_____)=a2-b23.(______)2=4x2-12xy+(____)4.(-3x-2)(_____)=4-9x25.若x2+6x+m是完全平方式，則m=____2x+y-b-a2x-3y9y23x-26.若x2+mx+9是完全平方式，則m=____9±6(x+__)23(x3)2±一、填空：例1、計(jì)算(1)(2x+3)(4x2+9)(2x-3)原式=[(2x)2-32](4x2+9)=(4x2-9)(4x2+9)=(4x2)2-92=16x4-81(2)(x-y+1)(x+y-1)原式=[x-(y-1)][x+(y-1)]=x2-(y-1)2=x2-(y2-2·y·1+12)=x2-(y2-2y+1)=x2-y2+2y-1(3)(a+3b)2(a-3b)2原式=[(a+3b)(a-3b)]2逆用積的乘方=[a2-(3b)2]2=(a2-9b2)2=(a2)2-2·a2·9b2+(9b2)2=a4-18a2b2+81b4(4)(a+3b)2

－(a-3b)2

=(a2+6ab+9b2)－(a2-6ab+9b2)=a2+6ab+9b2-a2+6ab-9b2=12ab原式=[a2+2·a·3b+(3b)2]－[a2-2·a·3b+(3b)2](1)a2+b2=(a+b)2_____(2)a2+b2=(a-b)2_____(3)(a+b)2+(a-b)2=______(4)(a+b)2-(a-b)2=______(5)(a+b)2=(a-b)2______(6)(a-b)2=(a+b)2______-2ab+2ab2a2+2b24ab+4ab-4ab(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab＋b2例2、已知a+b=1,ab=-6.求a2+b2,(a-b)2的值解:由題意得∴a2-12+b2=1∴a2+b2=13∵(a-b)2=(a+b)2-4ab∴(a-b)2=1-4(-6)=25(a+b)2=12∴a2+2ab+b2=1方法2、a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-6)=13變式：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3.求:(1)a2+b2

(2)ab的值.解∵(a+b)2=7,(a-b)2=3∴a2+2ab+b2=7①a2-2ab+b2=3