河南省周口恒大中學2023-2024學年高三上學期11月期中考試數(shù)學試題

2023-2024學年高三上學期數(shù)學期中考試卷數(shù)學試題試卷考試時間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項選擇題（每小題5分，共40分）1．將4本不同的書全部分給3個同學，每人至少一本，且1號書不能給甲同學，則不同的分法種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．18 D．242．已知具有線性相關(guān)的兩個變量x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下:且回歸方程是，則當時，y的預測值為（

）x01234y2.24.34.54.86.7A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.13．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，，且，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，，，則的值為（

）．A． B． C． D．5．在直角坐標系xOy中，異于坐標原點的點和點滿足，按此規(guī)則由點P得到點Q，稱為直角坐標平面的一個“點變換”，若若，其中O為坐標原點，則m與θ的值（

）A．m不確定， B．，θ不確定C．， D．m不確定，θ不確定6．已知定義在內(nèi)的函數(shù)滿足，當時，，則當時，方程的不等實數(shù)根的個數(shù)是A． B． C． D．7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,A． B． C． D．8．在復平面內(nèi)，復數(shù)所對應(yīng)的點在第幾象限A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、多項選擇題（每小題5分，共20分，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9．在如圖所示的三棱錐V—ABC中，已知AB＝BC，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，P為線段VC的中點，則（

）A．PB與AC垂直B．點P到點A，B，C，V的距離相等C．PB與VA平行D．PB與平面ABC所成的角大于∠VBA10．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，函數(shù)在上是減函數(shù)B．當時，方程有實數(shù)解C．對任意，，存在唯一極值點D．對任意，，曲線過坐標原點的切線有兩條11．已知函數(shù)下列說法正確的是（

）A．對），都只有唯一的與之對應(yīng)B．對，都有兩個不同的與之對應(yīng)C．對，都有三個不同的與之對應(yīng)D．，有四個不同的與之對應(yīng)12．下列化簡正確的是（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．被3除余2的所有正整數(shù)組成的集合為.14．滿足的集合的個數(shù)為.15．小明同學晚上10:00下晚自習，搭乘地鐵1號線回家，東西兩個方向的地鐵都是10分鐘一趟，哪一趟先到，小明就坐哪一趟，向東去姥姥家，向西去奶奶家．已知向東去的地鐵到站后間隔4分鐘向西去的地鐵到站，若地鐵到站停留時間忽略不計，且每月按25天上課計算，則小明每月去奶奶家的天數(shù)為．16．已知是平面的一個法向量，是直線的一個方向向量，若，，則與的位置關(guān)系是．四、解答題（共6小題，共計70分.第17題10分，第1822題，每題12分）17．已知集合，，當時，求實數(shù)的取值組成的集合.18．已知公差為1的等差數(shù)列，依次為一個等比數(shù)列的相鄰三項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前10項和.19．某縣城為活躍經(jīng)濟，特舉辦傳統(tǒng)文化民俗節(jié)，小張弄了一個套小白兔的攤位，設(shè)表示第天的平均氣溫，表示第天參與活動的人數(shù)，，根據(jù)統(tǒng)計，計算得到如下一些統(tǒng)計量的值：.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）判斷是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；(2)現(xiàn)有兩個家庭參與套圈，家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率都為家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率分別為，每個家庭的3位成員均玩一次套圈為一輪，每輪每人收費30元，每個小白兔價值60元，且每人是否套住相互獨立，以每個家庭的盈利的期望為決策依據(jù)，問：一輪結(jié)束后，哪個家庭損失較大？附：相關(guān)系數(shù).20．如圖所示，在四棱維中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求與所成的角；(2)求直線與面所成的角的余弦值.21．定義在R上的函數(shù)，當，且對任意，有.(1)求證：對任意，都有；(2)判斷在R上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)求不等式的解集.22．已知．(1)求的值；(2)求的展開式中含項的系數(shù)．答案第=page22頁，共=sectionpages44頁參考答案：1．D【分析】由題意得，分甲得一本書和甲得兩本書兩種情況求解，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果.【詳解】當甲得一本書時，先從除1號書外的3本書中選1本給甲，然后將剩下的3本書分成兩組分給其余的兩人，所以有種；當甲得兩本書時，先從除1號書外的3本書中選2本給甲，然后剩下兩本書給其余兩人每人一本，所以有種，所以由分類加法原理可得共有24種，故選：D．2．B【解析】先根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出線性回歸方程，再代入即可求出.【詳解】由已知可得，，∴∴，∴回歸方程是，當時，y的預測值.故選：B.【點睛】本題考查線性回歸方程的計算和估值，屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定及，進而確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，，，所以，當時，單調(diào)遞增，，當時，單調(diào)遞增，且時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，解得，故選：D.4．D【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后設(shè)公差為，則，最后通過等差數(shù)列求和公式即可得出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，則，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，故，故選：D.5．C【分析】可以根據(jù)條件求出，從而求出m的值，并可求出，從而可根據(jù)求出，進而得出.【詳解】解：，可得，所以，，又，所以.故選：C.6．D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的特點分別判斷單調(diào)性并畫出圖象，將方程的不等實數(shù)根的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點個數(shù)，分別畫出圖象可得答案．【詳解】根據(jù)題意可得，又，所以周期為；當時，為過點，斜率為的線段；當時，為過點，斜率為的線段；構(gòu)造函數(shù)，則，即在是一個恒為遞減的函數(shù)；，，作函數(shù)與直線的圖象如下，結(jié)合圖象可知，函數(shù)與直線的圖象有7個交點，故方程的不等實數(shù)根的個數(shù)是7，故選：D．【點睛】7．B【分析】根據(jù)圖像得到，然后根據(jù)圖像得到周期，由，得到的值，然后代入點得到，根據(jù)的范圍，確定其值，從而得到函數(shù)解析式，代入，得到答案.【詳解】根據(jù)圖像可得，，所以，而，所以代入點，得到即，所以，即因為所以所以代入得，故選B項.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖像求正弦型函數(shù)的解析式，求正弦型函數(shù)的函數(shù)值，屬于簡單題.8．D【分析】化簡復數(shù)，找到對應(yīng)點，判斷象限.【詳解】復數(shù)對應(yīng)點為：在第四象限故答案選D【點睛】本題考查了復數(shù)的計算，屬于簡單題.9．AB【分析】利用線面垂直的判定定理可得VA⊥平面ABC,進而得到BC⊥平面VAB,從而得到△VBC,△VAC都是直角三角形，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可判定B正確；取AC的中點為Q，連接BQ,可證AC⊥平面BPQ,進而判定A；利用PB與PQ是相交直線，PQ∥VA，可判定C錯誤；根據(jù)線面所成角的定義得到∠PBQ就是直線PB與平面ABC所成的角，比較其正切值與∠VBA的正切值的大小，即可否定D.【詳解】∵∠VAB＝∠VAC＝90°，∴VA⊥AB,VA⊥AC,又∵AB∩AC=A,∴VA⊥平面ABC,又∵BC?平面ABC,∴VA⊥BC,又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC,∵VA∩AB=A,∴BC⊥平面VAB,∴BC⊥VB,∴△VBC,△VAC都是直角三角形，又∵P為VC的中點，∴PA=PV=PC=PB,故B正確；取AC的中點為Q，連接BQ,PQ,∵AB=AC,∠ABC=90°，∴BQ⊥AC,又∵P為AC的中點，∴PQ∥VA,由VA⊥AC,∴PQ⊥AC，又∵BQ∩PQ=Q,∴AC⊥平面BPQ,∴AC⊥BP，故A正確；PB與PQ是相交直線，PQ∥VA，∴VA與PB不平行，故C錯誤；由于VA⊥平面ABC,PQ∥VA,∴PQ⊥平面ABC,∴∠PBQ就是直線PB與平面ABC所成的角，，∴,故D錯誤.故選：AB.【點睛】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，線面所成角，直線與直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是熟練使用線面垂直的判定定理證明有關(guān)線面垂直.10．ACD【分析】對于A，求導之后分類討論，即可判斷；對于B，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值，根據(jù)最值情況判斷函數(shù)的零點情況；對于C，求出函數(shù)導數(shù)，數(shù)形結(jié)合，判斷導數(shù)正負，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值點；對于D，設(shè)切點為，則可得，利用導數(shù)的幾何意義可得方程，結(jié)合方程的根的個數(shù)，判斷切線的條數(shù)；【詳解】對于A，當時，則，所以，當時，若，則，則，，所以，則單調(diào)遞減；當時，若，則，則，，所以，則單調(diào)遞減；所以當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，故A正確；對于C，由已知，函數(shù)，可得，令，則即在R上單調(diào)遞增，令，則，當時，做出函數(shù)的大致圖像如圖：當時，做出函數(shù)的大致圖像如圖：可知的圖像總有一個交點，即總有一個根，當時，；當時，，此時存在唯一極小值點，C正確；對于B，當時，，，故，該函數(shù)為R上單調(diào)增函數(shù)，，故，使得，即，結(jié)合C的分析知，的極小值也即最小值為，令，則，且為增函數(shù)，當時，，當且僅當時取等號，故當時，，則在上單調(diào)遞增，故，令，則，此時的最小值為，無零點，B錯誤；對于D，由于，故原點不在曲線上，且，設(shè)切點為，則，即，即，令，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故，當趨向負無窮時，的值趨近于0，趨近于無窮大，故趨近于正無窮大，當趨向正無窮時，的值趨近于正無窮大，趨近于無窮大，故趨近于正無窮大，故在和上各有一個零點，即有兩個解，故對任意，，曲線過原點的切線有兩條，D正確；故選：ACD【點睛】難點點睛：本題綜合新較強，綜合考查了導數(shù)的幾何意義以及極值點、零點、最值問題，計算量較大；難點在于利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，要能構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，結(jié)合零點存在定理判斷導數(shù)值的情況，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，解決零點問題.11．BC【分析】作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示：對于A，由圖象可知，當時，有兩個與對應(yīng)，故A錯誤；對于B，對，都有兩個不同的與之對應(yīng)，故B正確；對于C，對，都有三個不同的與之對應(yīng)，故C正確；對于D，由圖可知，該說法錯誤，故D錯誤.故選：BC12．AD【分析】根據(jù)三角和差公式與二倍角公式判斷即可.【詳解】A選項：由，所以成立，A正確；B選項：，B錯；C選項：，C錯；D選項：因為，所以成立，D正確故選：AD13．【分析】應(yīng)用描述法寫出集合即可.【詳解】設(shè)正整數(shù)為，則，故.故答案為：14．4【分析】根據(jù)子集的定義即可得到集合的個數(shù).【詳解】，或或或，故答案為：4.15．10【分析】先利用等可能性時間的概率公式求出小明坐向西去的地鐵的概率，即可求出小明每月去奶奶家的天數(shù).【詳解】向東去的地鐵到站后間隔4分鐘向西去的地鐵到站，再間隔6分鐘，向東去的地鐵又到站，故小明坐向西去的地鐵的概率為，故小明每月去奶奶家的天數(shù)為．故答案為：1016．或/或【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算得出，則，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量關(guān)系，即可判斷與的位置關(guān)系.【詳解】解：已知是平面的一個法向量，是直線的一個方向向量，且，，，所以，則直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，所以或.故答案為：或.17．【解析】由知.而，這樣只能是，由韋達定理可求得．【詳解】解：由知.又，故此時必有，即-4，0為方程的兩根，于是得.即.【點睛】本題考查由集合并集的結(jié)果求參數(shù)．由包含關(guān)系及集合的表示確定集合是解題關(guān)鍵．18．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)成等比數(shù)列列方程即可求解（2）根據(jù)數(shù)列通項可得，相加相消即可求解.【詳解】（1）因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.（2）因為，所以【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比中項，裂項求和，屬于中檔題.解題時如果發(fā)現(xiàn)數(shù)列通項為分母是積的形式的分式，可以考慮裂項相消法求解.19．(1)相關(guān)系數(shù);可用線性回歸模型擬合(2)家庭損失較大【分析】（1）由相關(guān)系數(shù)的公式可直接代入求解，再通過相關(guān)系數(shù)即可判斷是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2）由于家庭套小白兔這個試驗是獨立重復則家庭套住小白兔的人數(shù)為且，可求，由家庭的盈利，利用期望的性質(zhì)可得；由于家庭套小白兔這個試驗是獨立不重復，所以可用獨立事件的概率公式求家庭套住小白兔的人數(shù)為得分布列，進而求出，由于家庭的盈利為，同樣利用期望的性質(zhì)可得，所以比較兩者即可得出一輪結(jié)束后哪個家庭損失較大.【詳解】（1），,則根據(jù)相關(guān)系數(shù)，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）設(shè)家庭套住小白兔的人數(shù)為，因為事件本身獨立重復，則，，設(shè)家庭的盈利為，則，設(shè)家庭套住小白兔的人數(shù)為，的可能取值分別為，則，，，，設(shè)家庭的盈利為，，家庭損失較大.20．(1)(2)【分析】（1）利用向量的夾角的余弦值，求異面直線的夾角.（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)法向量與直線的方向向量的夾角來確定線面角的正弦值，再根據(jù)同角關(guān)系求余弦值.(1)因為面，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)則,=，所以與所成的角為(2)設(shè)平面的法向量為，令，則，設(shè)直線與面所成的角的為，又，sin=直線與面所成的角的余弦值為.21．(1)證明詳見解析；(2)證明詳見解析；(3).