福建省莆田市第二十五中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

莆田第二十五中學(xué)20232024學(xué)年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中考試卷考試時間：120分鐘一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合或，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，然后根據(jù)集合的運算可得答案.【詳解】由可得，所以集合，因為，所以，故選：B.2.“若，恒成立”是真命題，則實數(shù)可能取值是（

）A. B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由題得到恒成立，求出即可得到答案.【詳解】，，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故.對比選項知A滿足.故選：A3.華羅庚說：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．”所以研究函數(shù)時往往要作圖，那么函數(shù)的部分圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性排除BC，根據(jù)當(dāng)時，排除A，繼而得解.【詳解】因為，所以，所以為偶函數(shù)，排除BC，當(dāng)時，，且，所以當(dāng)時，，排除A；故選：D.4.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)，與函數(shù)，即為“同值函數(shù)”，給出下面四個函數(shù)，其中能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得到函數(shù)不單調(diào)才能符合要求，ABC錯誤，D中不單調(diào)，且可舉出實例.【詳解】要想能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”，則要函數(shù)不單調(diào)，ABC選項，在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，ABC錯誤；D選項，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，與函數(shù)，，兩者的值域相同，為同值函數(shù)，D正確.故選：D5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，分、、討論，根據(jù)在上單調(diào)性可得答案.【詳解】在單調(diào)遞減上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，需滿足，當(dāng)滿足題意，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增又需滿足真數(shù)，則最小值，即，綜上．故選：C．6.如圖，點是棱長為2的正方體表面上的一個動點，直線與平面所成的角為45°，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用直線與平面所成的角為45°求得點的軌跡，進而求得點的軌跡長度.【詳解】若點P在正方形內(nèi)，過點P作平面于，連接.則為直線與平面所成的角，則，又，則，則，則點的軌跡為以為圓心半徑為2的圓（落在正方形內(nèi)的部分），若點P在正方形內(nèi)或內(nèi)，軌跡分別為線段，因為點P不可能落在其他三個正方形內(nèi)，所以點的軌跡長度為.故選：A7.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程無實根，則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出圖像，然后找到圖像與直線無交點的情況，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程和切點坐標(biāo)，從而得到臨界狀態(tài)時的值，從而得到的范圍，得到答案.【詳解】方程無實根等價于函數(shù)的圖像與直線無交點.畫出函數(shù)的圖像，如圖，由圖像知，當(dāng)時，直線與曲線必有交點，當(dāng)時，設(shè)直線與曲線相切時，切點為，由，代入切點橫坐標(biāo)得切線的斜率，所以，解得，則，所以切線方程為得.由圖像知實數(shù)的取值范圍為，故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)與方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，屬于中檔題.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意實數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性以及可知的周期為2，且在上單調(diào)遞減，將表達式化簡可得，，，又易知即可得.【詳解】根據(jù)題意可知，即可得，所以函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以可得在上單調(diào)遞增；根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，又顯然，所以可得，即；因此可得.故選：A二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，部分選對的得2分，全部選對的得5分.）9.已知的展開式中含有常數(shù)項，則的可能取值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】AC【解析】【分析】求出展開式的通項，再令，可得與的關(guān)系，用賦值法從而可得出結(jié)論.【詳解】展開式的通項為：，其中；令，則，可知n為4的倍數(shù)，故B、D錯誤；當(dāng)時，最小為4；當(dāng)時，為8；故選：AC.10.小張等四人去甲、乙、丙三個景點旅游，每人只去一個景點，記事件A為“恰有兩人所去景點相同”，事件為“只有小張去甲景點”，則（）A.這四人不同的旅游方案共有64種 B.“每個景點都有人去”的方案共有72種C. D.“四個人只去了兩個景點”的概率是【答案】CD【解析】【分析】A選項，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求出答案；B選項，根據(jù)部分平均分組方法計算出答案；C選項，利用排列組合知識得到，，利用條件概率公式求出答案；D選項，求出四個人只去了兩個景點的方案數(shù)，結(jié)合A中所求，求出概率.【詳解】A選項，每個人都有3種選擇，故共有種旅游方案，A錯誤；B選項，每個景點都有人去，則必有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人，故有種方案，B錯誤；C選項，恰有兩人所去景點相同，即有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人，由B選項可知，，又事件，即小張去甲景點，另外3人有兩人去了同一個景點，其余1人去另一個景點，故，所以，C正確；D選項，“四個人只去了兩個景點”，分為2種情況，第一，有3人去了同一個景點，另外一個去另外一個景點，則有種方案，第二，2人去了同一個景點，另外2人去了另一個景點，故有種方案，由A選項可知，這四人不同旅游方案共有81種，故“四個人只去了兩個景點”的概率為，D正確.故選：CD11.如圖，圓錐的底面圓的直徑，母線長為，點是圓上異于，的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.與底面所成角為45°B.圓錐的表面積為C.的取值范圍是D.若點為弧的中點，則二面角的平面角大小為45°【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據(jù)面，由判斷；對于B，由圓錐的側(cè)面積公式求解判斷；對于C，由求解判斷；對于D，取的中點，連接，，易得為二面角的平面角求解判斷.【詳解】對于A，因為面，所以是與底面所成角，在中，圓錐的母線長是，半徑，則，所以，則A正確；對于B，圓錐的側(cè)面積為，表面積為，則B錯誤；對于C，當(dāng)點與點重合時，為最小角，當(dāng)點與點重合時，達到最大值，又因為與，不重合，則，又，可得，則C正確；對于D，如圖所示，，取的中點，連接，，又為的中點，則，因為，所以，又面，面，所以，又，面，故，所以為二面角的平面角，因為點為弧的中點，所以，，則，則D錯誤.故選：AC.12.定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，函數(shù)滿足，若與恰有2023個交點，則下列說法正確的是（）A. B.為的對稱軸C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由，得函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，由是奇函數(shù)，得的圖象關(guān)于點對稱，從而得是周期函數(shù)，4是它的一個周期，由，得圖象關(guān)于點對稱，從而知與的圖象的交點關(guān)于點對稱，點是它們的一個公共點，由此可判斷各選項．【詳解】，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，B正確；是奇函數(shù)，即，，則的圖象關(guān)于點對稱，，，C正確；所以，從而，所以是周期函數(shù)，4是它的一個周期，，A錯；又，圖象關(guān)于點對稱，因此與的圖象的交點關(guān)于點對稱，點是它們的一個公共點，，D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第______象限．【答案】四【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算和復(fù)數(shù)幾何意義即可得到答案.【詳解】，則，所以，則其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，故其在第四象限，故答案為：四.14.某校期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布．按，，，的比例將考試成績劃為四個等級，其中分數(shù)大于或等于83分的為等級，則等級的分數(shù)應(yīng)為___________．（用區(qū)間表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的特點即可求解．【詳解】設(shè)考試成績?yōu)?，由題意可知，，，，，所以，所以等級的分數(shù)應(yīng)為，故答案為：．15.一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等7名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有__________種【答案】60【解析】【分析】按“問題元素”優(yōu)先的原則，進行分類，然后計算求解即可.【詳解】此題的難度主要是來自分類，按“問題元素”優(yōu)先的原則，對甲進行分類：甲照看第一道工序（甲1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“不照看第一和第四道工序”（乙1丙4）三種..故答案為：6016.如圖，在邊長為6的正方形中，B，C分別為、的中點，現(xiàn)將，，分別沿，，折起使點，，重合，重合后記為點P，得到三棱錐，則三棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，折疊成的三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，將三棱錐補形成長方體，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，外接球直徑為體對角線長，得解.【詳解】根據(jù)題意，折疊成的三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，將三棱錐補形成長方體如圖，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，外接球的直徑等于以,，為長、寬、高的長方體的對角線長，，，，所以外接球的表面積.故答案為：.四、解答題（本大題共6題，共70分）17.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角B；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得，結(jié)合角的范圍即可求得；（2）由（1）中以及，利用余弦定理計算可解得，再由三角形面積公式即可得的面積.【小問1詳解】根據(jù)，由正弦定理可得，又，所以可得，即；因為，所以即．【小問2詳解】由結(jié)合（1）中的結(jié)論，由余弦定理可得，即，解得，即，所以．即面積為.18.設(shè)是公差不為0等差數(shù)列，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為，然后根據(jù)已知條件列方程可求出，從而可求出通項公式，（2）由（1）得，再利用裂項相消法可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)的公差為，因為成等比數(shù)列，所以又因為，所以，所以．因為，所以，所以，得，故．【小問2詳解】因為，所以．19.如圖，在正三棱柱中，點在棱上，且.（1）求證：平面；（2）若正三棱柱底面邊長為，二面角的大小為，求直線到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正三棱柱和得，即可得D是AB的中點，從而由中位線得，證明結(jié)論.（2）由二面角的大小為，解得平面的一個法向量，根據(jù)第一問的平行和點到平面的距離公式得出答案.【小問1詳解】在正三棱柱中，是側(cè)棱，所以平面ABC，又平面ABC，所以.又，，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，所以D是AB的中點.如圖，連接，交于點M，連接DM.因為M是的中點，所以DM是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】取的中點，可知，所以平面ABC.以D為原點，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱柱的高為h，則，，，，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得.所以，解得，所以，由（1）知平面，所以直線到平面的距離即點A到平面的距離，因為，所以直線到平面的距離為.20.某闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功，其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文史常識題”“生活常識題”“影視藝術(shù)常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有2道答對方案二：在這3道題目中，隨機選取2道，這2道都答對．方案一和方案二中只要完成一個，就能通過第一關(guān)，假設(shè)甲選擇方案一、且答對每一道題的概率是，乙選擇方案二，且3道題中只能答對其中兩道題．（1）求甲答對題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為，求的分布列；（3）若丙答對這3道題中每一道題的概率都是，且這3道題是否答對相互之間沒有影響，丙選擇方案一通過第一關(guān)的概率為，選擇方案二通過第一關(guān)的概率為，直接比較與的大?。敬鸢浮浚?）分布列見解析，（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）寫出隨機變量的所有取值，求出對應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；（2）先分別求出兩人過關(guān)的概率，寫出隨機變量的所有取值，求出對應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；（3）先分別求出，再作差即可得解.【小問1詳解】由題意，可取，則，，，，所以分布列如下：所以；【小問2詳解】甲通過的概率，乙通過的概率，可取，則，，，所以分布列如下：所以；【小問3詳解】，，則，因為，所以，所以.21.已知橢圓：的左焦點為，左頂點為，離心率為.（1）求的方程；（2）若過坐標(biāo)原點且斜率為的直線與E交于A，B兩點，直線AF與的另一個交點為，的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由左頂點為得，再根據(jù)離心率為，求出值，則得到值，則求出的方程.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得，設(shè)，，則得到韋達定理式，利用弦長公式得到，則有，解出即可.【小問1詳解】設(shè)橢圓E的半焦距為.因為橢圓的左頂點為，所以.又離心率，所以.所以，所以的方程為.【小問2詳解】由（1）可知，設(shè)直線的方程為.由消去并整理得.設(shè)，，則，，所以.因此，解得，即，所以直線的方程為或.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問通常采取設(shè)線法，為了減少計算，我們引入?yún)?shù)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓得到方程，則得到韋達定理式，再利用弦長公式得到其面積相關(guān)方程