江蘇省無錫市太湖高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023年2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B. C. D.2或【答案】C【解析】【分析】求出兩直線不相交時(shí)的a值，再驗(yàn)證即可得解.【詳解】當(dāng)直線與直線不相交時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線，即與直線平行，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C2.已知，，三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)，若，則可以得到結(jié)論是四點(diǎn)（）A.共面 B.不一定共面C.無法判斷是否共面 D.不共面【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算化簡得，即可判斷四點(diǎn)位置情況.【詳解】,則，所以，則，故四點(diǎn)共面.故選：A3.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量數(shù)量積的幾何意義及投影向量的定義，應(yīng)用向量數(shù)量積、模長的坐標(biāo)運(yùn)算求向量在向量上的投影向量.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：D.4.若圓被直線平分，則的最小值為（）A. B.9 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由題意得圓心在直線上，即得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【詳解】由圓被直線平分，得圓心在直線上，則，即，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為4.故選：C5.已知平行六面體的所有棱長均為2，，為的中點(diǎn)，則向量的模長為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】以為基底表示出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】由平行六面體的所有棱長均為，，得，依題意，，因此，所以.

故選：C6.已知、為橢圓上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（異于點(diǎn)）為弦中點(diǎn)，若兩點(diǎn)連線斜率為，則兩點(diǎn)連線斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用直線和橢圓的位置關(guān)系建立方程組，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由于直線AB的斜率為，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，故，整理得，則，即，故，故．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，不是零，故．故選：B．7.已知點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，線段是圓：的一條動(dòng)弦，且，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)中點(diǎn)為，計(jì)算，，，計(jì)算最值得到答案.【詳解】圓：，圓心，半徑；圓：，圓心，半徑；設(shè)中點(diǎn)為，則圓心到直線的距離為，圓心距為，，最大值為，故的最大值為.故選：D.8.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意作出圖形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG，如圖，易得，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又因?yàn)槠矫?，，所以平面平?因?yàn)槠矫妫訦為線段FG上的點(diǎn).由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因?yàn)椋云矫?，?因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是推得H為線段FG上的點(diǎn)，從而利用空間向量數(shù)量積的定義得到，從而得解.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.）9.直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線在軸上的截距可能是（）A. B.1 C.3 D.0【答案】ACD【解析】【分析】考慮直線過原點(diǎn)，直線不過原點(diǎn)且截距相同，直線不過原點(diǎn)且截距相反，計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，此時(shí)在軸上的截距為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)且截距相同，設(shè)直線方程為，則，解得，此時(shí)在軸上截距為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)且截距相反，設(shè)直線方程為，則，解得，此時(shí)在軸上的截距為；綜上所述：截距可能為.故選：ACD10.已知直線：，圓：的圓心坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)B，C.直線被圓截得的最短弦長為D.若點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為【答案】AB【解析】【分析】直線恒過點(diǎn)，A正確，根據(jù)圓的一般方程計(jì)算B正確，計(jì)算弦長的最小值為，C錯(cuò)誤，確定，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】圓：的圓心坐標(biāo)為，故，，解得，，圓方程為，對選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，正確；對選項(xiàng)B：，，正確；對選項(xiàng)C：當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦最短，此時(shí)，弦長為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：設(shè)，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得或，故，錯(cuò)誤；故選：AB11.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與該橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)在該橢圓上，則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.若，則C.滿足為等腰三角形的點(diǎn)只有2個(gè)D.的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】求出橢圓方程，利用動(dòng)點(diǎn)的位置變化，研究的取值范圍判斷A；根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及余弦定理求解判斷B；分類討論，借助方程組求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)判斷C；利用三角形不等式求解判斷D.【詳解】由橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，得，將代入，則，解得，不妨令，，由，則，即，將其代入，可得，化簡得，由，解得，則橢圓，對于A，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上（或下）頂點(diǎn)時(shí)，最大，如圖：由橢圓，則，，在中，，由對稱性得，因此的取值范圍為，A正確；對于B，如圖：設(shè)，，則，，在中，由余弦定理得，即，整理得，因此，B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)的坐標(biāo)為或，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)，設(shè)，則，消去得，由，則方程有解，C錯(cuò)誤；對于D，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)取等號，因此，D正確故選：AD12.直三棱柱中，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A.與一定不垂直B.平面C.三棱錐的外接球表面積為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用空間向量法判斷AD選項(xiàng)的正確性，根據(jù)線面平行、外接球的知識判斷BC選項(xiàng)的正確性.【詳解】A選項(xiàng)，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，，，可知當(dāng)時(shí)，與垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于平面，平面，所以平面，而平面即平面，所以平面，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，三棱錐的外接球也即正方體的外接球，設(shè)正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，先證明不等式，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號成立：設(shè)，所以，根據(jù)向量加法的三角形法則可知，當(dāng)同向，即且時(shí)等號成立，也即，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號成立.（證畢）所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分.）13.直線的一個(gè)方向向量為________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定的直線方程，求出直線的斜率，再寫出方向向量即可.【詳解】直線的斜率，所以直線直線的一個(gè)方向向量為.故答案為：14.已知直線：的傾斜角為，直線的傾斜角為，且直線在軸上的截距為3，則直線的一般式方程為________.【答案】【解析】【分析】確定，計(jì)算，得到直線斜率，再計(jì)算直線方程得到答案.【詳解】直線：的傾斜角為，則，故，故直線的斜率為，截距為，故直線方程為，即.故答案為：15.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】可設(shè)，可求得與的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合橢圓的方程即可求得其答案．【詳解】點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，依題意得左焦點(diǎn)，，，，，，，．則．故答案為：．16.已知圓：和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】利用題設(shè)條件，分析且與圓交于的臨界情況，由點(diǎn)在臨界點(diǎn)之間移動(dòng)的變化情況運(yùn)算即可得解.【詳解】圓：，則半徑為，，如上圖，對于直線上任意一點(diǎn)，當(dāng)均為圓的切線時(shí)最大，由題意，即時(shí)，此時(shí)為滿足題設(shè)條件的臨界點(diǎn)，此時(shí)有.當(dāng)在臨界點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，有，即，即有：，解得：.故答案為：.四、解答題（共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）17.已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為.（1）求直線的方程；（2）若邊上的中線所在的直線方程為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，利用的中點(diǎn)在直線上，求出值，再由點(diǎn)在直線上求出值.【小問1詳解】依題意，由邊上的高所在的直線的斜率為，得直線的斜率為，又，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由點(diǎn)在軸上，設(shè)，則線段的中點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上，得，得，即，又點(diǎn)在直線上，因此，解得，所以的值為.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，解答以下問題：（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）結(jié)論，利用線面角的向量求法求解即得.（3）由（1）結(jié)論，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法求解即得.【小問1詳解】在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，即，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，則，平面，所以直線平面.【小問2詳解】由（1）知，，且平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的余弦值為小問3詳解】由（1）知，，且平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離.19.一個(gè)火山口的周圍是無人區(qū)，無人區(qū)分布在以火山口中心為圓心，半徑為400km的圓形區(qū)域內(nèi)，一輛運(yùn)輸車位于火山口的正東方向600km處準(zhǔn)備出發(fā)，若運(yùn)輸車沿北偏西60°方向以每小時(shí)km的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)：（1）運(yùn)輸車將在無人區(qū)經(jīng)歷多少小時(shí)？（2）若運(yùn)輸車仍位于火山口的正東方向，且按原來的速度和方向前進(jìn)，為使該運(yùn)輸車成功避開無人區(qū)，求至少應(yīng)離火山口多遠(yuǎn)出發(fā)才安全？【答案】（1）5小時(shí)（2）800km【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，以火山口的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得弦長，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由直線與圓相切，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】以火山口的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，記運(yùn)輸車從出發(fā)，點(diǎn)處開始進(jìn)入無人區(qū)，到處離開無人區(qū)，則圓方程為，由運(yùn)輸車沿北偏西60°方向運(yùn)動(dòng)，可得直線的斜率，則，即，因?yàn)榈降木嚯x為,則，所以經(jīng)歷時(shí)長為小時(shí).【小問2詳解】設(shè)運(yùn)輸車至少應(yīng)離火山口出發(fā)才安全，此時(shí)運(yùn)輸車的行駛直線剛好與圓相切，且直線方程為，即，則到直線的距離，解得，即運(yùn)輸車至少應(yīng)離火山口出發(fā)才安全.20.已知點(diǎn)，，圓的半徑為1.（1）若圓的圓心坐標(biāo)為，過點(diǎn)作圓的切線，求此切線的方程；（2）若圓的圓心在直線：上，且圓上存在點(diǎn)，使，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）確定圓方程，考慮切線斜率不存在和存在兩種情況，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑計(jì)算得到答案.（2）確定圓方程，根據(jù)得到的軌跡為圓，確定兩圓的位置關(guān)系，解得答案.【小問1詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，故圓方程為，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，易知與圓相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，圓心到直線的距離為，解得，切線方程為：；綜上所述：切線方程為或.【小問2詳解】圓方程為，設(shè)，，故，整理得的，故在兩圓的交點(diǎn)上，故兩圓相切或者相交，即，解得或，故.21.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.（1）求證：；（2）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的大小為，如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，或；理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可先證明，又因?yàn)樵诿鎯?nèi)，從而可證；（2）建立空間向量直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件用空間向量求解證明是否存在.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，因，，所以得：四邊形為平行四邊形.從而得：，，又因?yàn)?，，所以得：，，從而得：，所以得：，因?yàn)?，，得：；又因?yàn)?，且，所以得：；又因?yàn)?，所以得?故可證：.【小問2詳解】存在，理由如下：由（1）如圖建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.得：，，，，得：，，，，設(shè)，得：，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，得：，令：，得：，，所以得：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，得：，令：，得：，，所以得：，又因?yàn)槠矫媾c平面所成角的大小為，所以得：，化簡得：，解之得：或.故答案為：存在，或.22.已知為橢圓：上一點(diǎn)，長軸長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2