解直角三角形九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題解直角三角形姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．〔2021?涼山州模擬〕在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，那么以下比值中不等于sinA的是〔〕A．CDACB．BDCBC．CBAB【分析】利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可．【解析】在Rt△ABC中，sinA=BC在Rt△ACD中，sinA=CD∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD=BD應(yīng)選：D．2．〔2021?開平市二模〕如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，CD＝，BC＝2，那么cosB的值是〔〕A．23B．32C．34【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可．【解析】∵Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴AB＝2CD＝3，在Rt△ABC中，cosB=BC應(yīng)選：A．3．〔2021?衡水模擬〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA過點(diǎn)〔2，1〕，那么cosα的值是〔〕A．55B．12C．25【分析】如圖，作AH⊥x軸于H．利用勾股定理求出OA，根據(jù)三角函數(shù)的定義解決問題即可．【解析】如圖，作AH⊥x軸于H．∵A〔2，1〕，∴OH＝2，AH＝1，∴OA=O∴cosα=OH應(yīng)選：C．4．〔2021秋?蘭陵縣期末〕如圖，在給出網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，O都在格點(diǎn)上，那么cos∠OAB＝〔〕A．55B．510C．25【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AB于E．利用勾股定理求出OA，可得結(jié)論．【解析】過點(diǎn)O作OE⊥AB于E．∵OA=22+∴cos∠OAB=AE應(yīng)選：C．5．〔2021?雁塔區(qū)校級(jí)二?！橙鐖D，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC=35，D為BC邊上一點(diǎn)，且AD＝AC，假設(shè)DC＝4，那么A．2B．3C．4D．5【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)先求出DE，再在直角△ABE中求出BE,求BE與DE的差可得結(jié)論．【解析】過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E．∵AD＝AC,AE⊥BC,∴DE＝CE=12DC＝在Rt△ABE中，∵AB＝10，cos∠ABC=3又∵cos∠ABC=BE∴BE＝6．∴BD＝BE﹣DE＝6﹣2＝4．應(yīng)選：C．6．〔2021春?思明區(qū)校級(jí)月考〕如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，假設(shè)∠BPC=12∠BAC，那么cos∠A．34B．45C．35【分析】先過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAE=12∠BAC，得出∠BPC＝∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得【解析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如下圖：∵AB＝AC＝5，∴BE=12BC=12×8＝4，∠∵∠BPC=12∠∴∠BPC＝∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=AB∴cos∠BPC＝cos∠BAE=AE應(yīng)選：C．7．〔2021?宜賓〕如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，假設(shè)AB＝AC＝10，BC＝12，那么tan∠OBD的值是〔〕A．12B．2C．63D【分析】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函數(shù)定義即可求．【解析】如圖：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根據(jù)勾股定理得：AD=100-36=∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．設(shè)OD＝OF＝x，那么AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：〔8﹣x〕2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD=OD應(yīng)選：A．8．〔2021?安徽〕如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A．假設(shè)AC＝4，cosA=45，那么A．94B．125C．154【分析】在△ABC中，由銳角三角函數(shù)求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由銳角三角函數(shù)求得BD．【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cosA=4∴AB=AC∴BC=∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A=BC∴BD=3×應(yīng)選：C．9．〔2021?黑龍江〕如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，連接CD，假設(shè)AB＝2BD，tan∠BCD=23，那么A．1B．2C．12D．【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BDAB=BMBC=DMAC=12【解析】過點(diǎn)D作DM⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴BDAB∵AB＝2BD，∴BDAB在RtCDM中，由于tan∠MCD=23=DMCM，設(shè)DM＝2k，那么又∵BMBC∴BC＝2k，AC＝4k，∴ACBC=應(yīng)選：B．10．〔2021?郫都區(qū)校級(jí)模擬〕如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=43，那么A．43B．25C．65【分析】延長(zhǎng)AD、BC，兩線交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根據(jù)勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出即可．【解析】延長(zhǎng)AD、BC，兩線交于O，∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA=43=OBAB∴OB＝4，∵BC＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，∵∠ADC＝90°，∴∠ODC＝90°＝∠B，∵∠O＝∠O，∴△ODC∽△OBA，∴DCAB∴DC3解得：DC=6應(yīng)選：C．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．〔2021秋?崇明區(qū)期末〕銳角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sinB=45，那么∠C＝【分析】過A作AD⊥BC，那么∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形求出AD和BD，求出CD＝AD＝4，再求出答案即可．【解析】過A作AD⊥BC，那么∠ADB＝∠ADC＝90°，∵sinB=ADAB=45∴AD＝4，由勾股定理得：BD=AB∵BC＝7，∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，∴AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝45°，故答案為：45．12．〔2021秋?金山區(qū)期末〕在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：5，那么tanB＝2．【分析】設(shè)AB＝k，那么AC＝2k，BC=5k，根據(jù)勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根【解析】根據(jù)題意，可設(shè)AB＝k，那么AC＝2k，BC=5k∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tanB=ACAB故答案是：2．13．〔2021?丹棱縣模擬〕如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延長(zhǎng)CA至D，使AD＝AB，那么tan75°的值是2+3【分析】根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可得∠D的度數(shù)為15度，進(jìn)而可得∠DBC的度數(shù)為75度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出75度的正切值．【解析】∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴AC=3BC∴AB＝AD＝2BC，∴∠D＝∠ABD=12∠BAC∴∠DBC＝75°，∴在Rt△DBC中，DC＝AD+AC＝〔2+3〕BC∴tan75°=DCBC=故答案為：2+314．〔2021?濱湖區(qū)模擬〕在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，那么△ABC的面積是103．【分析】首先作過AAH⊥BC，再利用∠B＝60°，AB＝5，求出AH=5【解析】過A作AH⊥BC于H，如下圖：在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠B＝60°，AB＝5，∴sinB=AH∴AH＝AB?sinB＝5×sin60°＝5×3∴S△ABC=12AH?BC=12×故答案為：103．15．〔2021秋?龍口市期末〕如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為邊AC上一點(diǎn)，∠A＝∠CBD，假設(shè)AC＝8cm，cos∠CBD=45，那么邊AB＝10【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出AB的值．【解析】∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD=4∴cos∠A=AC∵AC＝8cm，∴AB＝10cm．故答案為：10．16．〔2021秋?南崗區(qū)校級(jí)月考〕如圖，AD為△ABC的角平分線，假設(shè)∠C＝45°，tan∠B=17，△ABC的面積為4，那么AD的長(zhǎng)為【分析】過A作作AE⊥BC于點(diǎn)E，得AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝a，BE＝7a，根據(jù)△ABC面積為4，建立方程S△ABC=12BC?AE＝4a2＝4，得a＝1．用勾股定理求出AC，AB的長(zhǎng)，利用AD為角平分線，構(gòu)造等腰三角形得AB＝FB＝52，再利用△BFD∽△CAD，可求得CD長(zhǎng)，進(jìn)而求得DE，最后用勾股定理求【解析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖．∵∠C＝45°，∴AE＝CE．設(shè)AE＝CE＝a，∵tanB=1∴BE＝7a，BC＝BE+CE＝7a+a＝8a，∵△ABC面積為4，∴S△ABC=12BC?AE＝4a2＝解得a＝1．∴AE＝CE＝1，由勾股定理可得：AC＝CE＝1，BE＝8﹣1＝7，由勾股定理可得AC=A同理可得AB=B作BF∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠CAF＝∠AFB，∵AD為∠BAC的角平分線，∴∠BAF＝∠CAF，∴∠AFB＝∠BAF，∴FB＝AB=52由BF∥AC可證得△BFD∽△CAD，∴BDCD=∴BD＝5CD，CD+5CD＝6CD＝8，∴CD=43，DE=4∴AD=D故答案為：10317．〔2021?高密市二?！橙鐖D，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO=35，那么點(diǎn)F的坐標(biāo)是〔8，12【分析】過點(diǎn)F作直線FA∥OG，交y軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)G作GH⊥FA于點(diǎn)H，先由平行線的性質(zhì)及互余關(guān)系證明∠FEA＝∠HFG＝∠FGO；再解Rt△AEF，求得AE及AF，然后判定四邊形OGHA為矩形，那么可求得FH；解Rt△FGH，求得FG及HG，那么點(diǎn)F的坐標(biāo)可得．【解析】過點(diǎn)F作直線FA∥OG，交y軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)G作GH⊥FA于點(diǎn)H，那么∠FAE＝90°，∵FA∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO=3∴cos∠FEA=3在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EFcos∠FEA＝10×35∴根據(jù)勾股定理得，AF＝8，∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°∴四邊形OGHA為矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，F(xiàn)HFG=cos∠HFG＝cos∠FGO∴FG＝9÷35∴由勾股定理得：HG=15∴F〔8，12〕．故答案為：〔8，12〕．18．〔2021秋?閔行區(qū)期中〕我們把有三個(gè)內(nèi)角相等的凸四邊形叫做三等角四邊形，例如：在四邊形PQMN中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四邊形PQMN是三等角四邊形．請(qǐng)閱讀以上定義，完成以下探究：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，cosB=13，如果點(diǎn)D在邊AB上，AD＝6，點(diǎn)E在邊AC上，四邊形DBCE是三等角四邊形，那么線段CE的長(zhǎng)是【分析】如圖，過點(diǎn)A作AJ⊥BC于J，連接CD，解直角三角形求出BK，CKAK，再利用相似三角形的性質(zhì)求出DH，AH，想方法求出EH，即可解決問題．【解析】如圖，過點(diǎn)A作AJ⊥BC于J，連接CD，過點(diǎn)C作CK⊥AB于K，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H．∵AB＝AC＝9，AJ⊥BC，∴BJ＝JC，∵cosB=BJ∴BJ＝JC＝3，∵CK⊥AB，∴cosB=BK∴BK＝2，CK=BC2∵∠DAH＝∠CAK，∠AHD＝∠AKC＝90°，∴△AHD∽△AKC，∴ADAC∴69∴AH=143，DH∵四邊形DBCE是三等角四邊形，∴∠DEH＝∠B，∴cos∠DEH＝cos∠B=1設(shè)EH＝m，DE＝3m，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴〔3m〕2＝m2+〔823〕∴m=43或∴EH=4∴AE＝AH﹣EH=14∴CE＝AC﹣AE＝9-10故答案為：173三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021秋?雨花區(qū)期末〕根據(jù)以下條件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°．【分析】利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形即可．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴c＝2a＝16，∴b=c2-20．〔2021?奉賢區(qū)二?！橙鐖D，，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使∠E＝∠BAC．〔1〕求sin∠ABE的值；〔2〕求點(diǎn)E到直線BC的距離．【分析】〔1〕過D作DF⊥AB于F，求出DF和BD即可得答案；〔2〕過A作AH⊥BE于H，過E作EG∥AC交BC延長(zhǎng)線于G，先求BE，再用相似三角形性質(zhì)得到答案．【解析】〔1〕過D作DF⊥AB于F，如圖：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC=AB2-BC2=∴∠BAC＝30°，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD=3∴BD=BRt△ADF中，DF＝AD?sin∠BAC=3Rt△BDF中，sin∠ABE=DF〔2〕過A作AH⊥BE于H，過E作EG∥AC交BC延長(zhǎng)線于G，如圖：∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，∴△BCD∽△AHD，∴BCAH∵BC＝2，CD＝AD=3，BD=∴2AH=73=3HD∵∠AEB＝∠BAC＝30°，∴HE=AH∴BE＝BD+DH+HE=16∵EG∥AC，∴∠BDC＝∠BEG，而∠CBD＝∠GBE，∴△CBD∽△GBE，∴EGDC=BE∴EG=16方法二：過E作EG⊥BC于G，∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，∴△ABD∽△ABE，∴ABBE即4BE∴BE=16∵DC⊥BC，EG⊥BG，∴DC∥BG，∴EGDC=BE∴EG=16∴點(diǎn)E到直線BC的距離為16321．〔2021秋?解放區(qū)校級(jí)期中〕如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=35，BC＝12，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)求：〔1〕線段CD的長(zhǎng)；〔2〕cos∠ABE的值．【分析】〔1〕在△ABC中根據(jù)正弦的定義得到cosA=ACAB=35，那么可計(jì)算出AB＝15，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到〔2〕在Rt△ABC中先利用勾股定理計(jì)算出AC＝6，在根據(jù)三角形面積公式得到S△BDC＝S△ADC，那么S△BDC=12S△ABC，即12CD?BE=12?12AC?BC，于是可計(jì)算出BE【解析】〔1〕在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴cosA=AC∴可以假設(shè)AC＝3k，AB＝5k，那么BC＝4k，而BC＝12，∴k＝3，∴AB＝15∵D是AB中點(diǎn)，∴CD=12AB〔2〕在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，∵D是AB中點(diǎn)，∴BD=152，S△BDC＝S△∴S△BDC=12S△ABC，即12CD?BE=12?∴BE=9×12在Rt△BDE中，cos∠ABE=BE即cos∠ABE的值為242522．〔2021?靜安區(qū)二?！常喝鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB=23，D、E分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，AE與CD相交于點(diǎn)〔1〕求CG的長(zhǎng)；〔2〕求tan∠BAE的值．【分析】〔1〕根據(jù)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB=23，可以求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，可以得到DC的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)G是△ABC中點(diǎn)的交點(diǎn)，可以得到CG=23〔2〕作EF⊥AB于點(diǎn)G，然后根據(jù)題意，可以求得EF和AF的長(zhǎng)，從而可以得到tan∠BAE的值．【解析】〔1〕∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB=2∴AB=∵D是斜邊AB上的中點(diǎn)，∴CD=又∵點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，∴CG=〔2〕∵點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，∴CE=過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，∵在Rt△BEF中，cosB=2BF＝BE?cosB=6×2∴EF=∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，∴tan∠BAE=EF23．〔2021?上海模擬〕如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB=32，BC＝〔1〕求AB的長(zhǎng)；〔2〕如果CD為邊AB上的中線，求∠DCB的正切值．【分析】〔1〕過點(diǎn)A作AE⊥BC，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，分別用特殊角和三角函數(shù)求解．〔2〕過D作DF⊥BC，分別在兩個(gè)直角