第03講解一元二次方程公式法

第03講解一元二次方程——公式法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①根的判別式②公式法解一元二次方程③根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)會(huì)利用根的判別式判斷根的情況，同時(shí)根據(jù)根的情況利用根的判別式求值。掌握公式法解一元二次方程。掌握根與系數(shù)的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)01根的判別式根的判別式：用配方法解一元二次方程，可將方程化成。由配方法解方程可知，根據(jù)與0的大小關(guān)系可以確定方程的根的情況。確定與0的大小關(guān)系只需要確定與0的大小關(guān)系。我們把叫做一元二次方程的根的判別式。用符號(hào)來(lái)表示。①若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。②若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。題型考點(diǎn)：①計(jì)算根的判別式的值判斷方程的根的情況。②根據(jù)方程的根的情況求值【即學(xué)即練1】1．一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情況是（）A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：D．【即學(xué)即練2】2．已知方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3【解答】解：∵方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得：k≤4且k≠3．故選：D．知識(shí)點(diǎn)02利用公式法解一元二次方程——求根公式求根公式：由可知，。。我們把它叫做一元二次方程的求根公式。①時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。即；。②時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。即。③時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。公式法解一元二次方程的步驟：①將一元二次方程化成一般形式，并確定的值。②計(jì)算的值，確定一元二次方程的根的情況。③根據(jù)根的情況把的值帶入相應(yīng)的求根公式求解。題型考點(diǎn)：①根據(jù)求根公式確定的值。②利用公式法解一元二次方程。【即學(xué)即練1】3．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0時(shí)，Δ＝（）A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60【解答】解：x2﹣4x﹣11＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．故選：D．【即學(xué)即練2】4．下列方程中，以x＝為根的是（）A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0【解答】解：A．此方程的根為x＝，不符合題意；B．此方程的根為x＝，符合題意；C．此方程的根為x＝，不符合題意；D．此方程的根為x＝，不符合題意；故選：B．【即學(xué)即練3】5．利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的兩解為a、b，且a＞b，求a值為何（）A． B． C． D．【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，這里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的兩解為a、b，且a＞b，∴a的值為．故選：D．【即學(xué)即練4】用公式法解方程：（1）：x2+2x﹣6＝0．【解答】解：這里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴x＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．（2）：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），化簡(jiǎn)為x2﹣6x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，∴，∴，．知識(shí)點(diǎn)03根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系：由公式法可知，若一元二次方程的時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別是與。①求。②求。根與系數(shù)的關(guān)系的推廣應(yīng)用：①；②；③；④；⑤。題型考點(diǎn)：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求式子的值。【即學(xué)即練1】7．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個(gè)根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個(gè)根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故選：A．【即學(xué)即練2】8．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x1，x2，則x1x2﹣x1﹣x2的值為（）A．22 B．﹣22 C．﹣26 D．26【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x1，x2，∴x1x2＝﹣24，x1+x2＝2，則原式＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣24﹣2＝﹣26．故選：C．【即學(xué)即練3】9．已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩根分別為a，b，則的值為（）A．﹣ B． C． D．﹣【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩根分別為a，b，∴a+b＝5，ab＝﹣6，則原式＝＝＝﹣，故選：D．【即學(xué)即練4】23．關(guān)于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是x1、x2，且，則m值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是x1、x2，∴x1+x2＝2，x1?x2＝2m﹣1，∵Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）＝8（1﹣m）≥0，∴m≤1，∵，∴+＝（x1?x2）2，∴4﹣2（2m﹣1）＝（2m﹣1）2，整理得：4m2＝5，解得，∵m≤1，∴，故選：B．題型01根據(jù)一元二次方程的根的情況求值【典例1】若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故選：D．變式1：若關(guān)于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m＝（）A．m＜ B．m＜且m≠﹣1 C．m≤ D．m≤且m≠﹣1【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+1≠0且Δ≥0，∴m≠﹣1且（﹣3）2﹣4（m+1）×2≥0，解得m≤且m≠﹣1，故選：D．變式2：對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b＝b2﹣ab，例如：3?2＝22﹣3×2＝﹣2，則關(guān)于x的方程（k﹣3）?x＝k﹣1的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【解答】解：∵（k﹣3）?x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴關(guān)于x的方程（k﹣3）?x＝k﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．題型02根與系數(shù)的關(guān)系【典例1】方程x2﹣2x﹣1＝0的根為x1x2，則x1x2﹣（x1+x2）的值為（）A． B．1 C．﹣3 D．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，則原式＝﹣1﹣2＝﹣3．故選：C．【典例2】已知m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的兩根，則的值是（）A． B．3 C．﹣3 D．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的兩根，∴m+n＝﹣3，mn＝1，∴＝+＝＝＝＝﹣3．故選：C．【典例3】若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式﹣2x1+x2的值等于（）A．2029 B．2028 C．2027 D．2026【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴﹣3x1﹣2023＝0，x1+x2＝3，∴﹣3x1＝2023，∴﹣2x1+x2＝﹣3x1+x1+x2，＝2﹣23+3＝2026．故選：D．【典例4】已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩根，則的值是（）A．﹣3 B．3 C． D．﹣1【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，∵＝＝＝＝＝，當(dāng)m+n＝﹣3時(shí)，原式＝．故選：C．題型03根的情況與根與系數(shù)的關(guān)系【典例1】已知關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍．（2）若兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1，x2，且，求m的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×m＞0，即m＜1；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2＝﹣2，x1?x2＝m，∵，∴（m﹣1）2﹣4＝0∴m﹣1＝±2，解得m＝3或m＝﹣1，而m＜1，∴m的值為﹣1．【典例2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）+ab＝2（a+b）2+ab，∴2（a+b）2+ab＝20，∴2（2m+1）2+m2+m＝20，整理得：m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1，∴m的值為﹣2或1．1．一元二次方程x2+2＝2x根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【解答】解：∵x2+2＝2x，∴x2﹣2x+2＝0，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝4﹣8＝﹣4＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選：C．2．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一個(gè)根是x＝1，則方程x2+6x﹣c＝0的根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有一個(gè)根是x＝1【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，解得c＝﹣7，所以方程x2+6x﹣c＝0化為x2+6x+7＝0，∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，∴方程x2+6x﹣c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．3．關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：根據(jù)題意得：Δ＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，解得：a≤﹣，a≠﹣1，則整數(shù)a的最大值為﹣2．故選：A．4．若一元二次方程x2+bx+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的一個(gè)根是m（m≠0），則b+＝（）A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m【解答】解：∵x2+bx+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的一個(gè)根是m，∴＝m，解得：b+＝﹣2m，故選：D．5．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若a﹣b+c＝0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．當(dāng)b＝0且方程存在實(shí)數(shù)根時(shí)，兩根一定互為相反數(shù) C．若ac＜0，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．若b＝2a+c，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【解答】解：A．將x＝﹣1代入原方程，得a﹣b+c＝0，則x＝﹣1是原方程的根；故A中的說(shuō)法錯(cuò)誤；B．當(dāng)b＝0且方程存在實(shí)數(shù)根時(shí)，；故B中的說(shuō)法正確；C．若ac＜0，則﹣4ac＞0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故C中的說(shuō)法正確；D．若b＝2a+c，則Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2．∵a≠0∴4a2+c2＞0，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故D中的說(shuō)法正確．故選：A．6．如果4是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得4+t＝6，解得t＝2，所以方程的另一個(gè)根為2．故選：A．7．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2﹣b+2023的值是（）A．2023 B．2021 C．2026 D．2027【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a2＝3﹣a，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2023＝3﹣a﹣b+2023＝﹣（a+b）+2026＝1+2026＝2027，故選：D．8．用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．【解答】解：根據(jù)與，可得a＝3，b＝7，c＝1，從而得到一元二次方程為3x2+7x+1＝0．故答案為：3x2+7x+1＝0．9．下面是小明同學(xué)解方程x2﹣5x＝﹣4的過(guò)程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是從第步開(kāi)始出錯(cuò)．【解答】解：原方程化為：x2﹣5x+4＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．故答案為：一．10．如果代數(shù)式x