新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題6　第4講　母題突破2　定點(diǎn)問題（含解析）

第4講圓錐曲線的綜合問題專題六解析幾何母題突破2定點(diǎn)問題

(2022·煙臺(tái)模擬)已知橢圓C：

＋y2＝1，點(diǎn)A(－2,0)，直線l：y＝kx＋m與C交于P，Q兩點(diǎn)，且AP⊥AQ，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).母題思路分析?聯(lián)立直線l與橢圓C方程

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↓?利用直線的點(diǎn)斜式方程求定點(diǎn)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，消去y可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，則有Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，即4k2－m2＋1>0，故x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2故x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2當(dāng)m＝2k時(shí)，代入4k2－m2＋1＝1>0，故直線l方程為y＝k(x＋2)，過點(diǎn)A，不滿足題意，子題1由對稱性可知，直線BM必過x軸上的定點(diǎn)，則直線BM經(jīng)過點(diǎn)P(1,0).當(dāng)直線l1的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線l1：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，證明直線BM經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)，即證kPM＝kPB，由y1＝kx1－2k，y2＝kx2－2k，整理得，4x1x2－5(x1＋x2)＋4＝0，即證BM經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)，所以直線BM過定點(diǎn)(1,0).子題2所以S，T分別是PQ，MN的中點(diǎn)，當(dāng)兩條弦所在直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)PQ所在直線的方程為y＝k(x－1)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，因?yàn)棣?gt;0，動(dòng)線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(－m，0).(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).規(guī)律方法跟蹤演練由已知可得拋物線C的方程為y2＝4x，點(diǎn)S(4,4)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋n，將直線l的方程與拋物線C：y2＝4x聯(lián)立，得y2－4my－4n＝0，所以Δ＝16m2＋16n>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n(*)，化簡得y1y2＝4(y1＋y2)＋16，將上面(*)式代入得－4n＝16m＋16，即n＝－4m－4，所以直線l的方程為x＝my－4m－4，即x＋4＝m(y－4)，所以直線l過定點(diǎn)(－4,4).2.(2022·德州質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝4x的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，過拋物線C的焦點(diǎn)作與x軸不垂直的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線x＝1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).令y＝0得(x－1)2＝4，解得x＝－1或x＝3，即以AB為直徑的圓經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(－1，0)，(3,0).專題強(qiáng)化練(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；1212∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，12(2)若動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N(4,0)，且∠ONP＝∠ONQ，直線NQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)B.證明：動(dòng)直線PB經(jīng)過定點(diǎn).12∵∠ONP＝∠ONQ，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設(shè)直線BP的方程為x＝my＋n，設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則Q(x1，－y1)，化簡得(9m2－1)y2＋18mny＋9n2－9＝0，12又Δ＝182m2n2－36(9m2－1)(n2－1)＝36(9m2＋n2－1)>0，又N，B，Q三點(diǎn)共線，且NQ斜率存在，∴－y1(my2＋n－4)＝y(tǒng)2(my1＋n－4)，∴2my1y2＋(n－4)(y1＋y2)＝0，化簡得18m(n2－1)＋(n－4)(－18mn)＝0，∴n2－1－(n－4)n＝0，122.(2022·常德模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2).(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；12由拋物線y2＝2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，得4＝2p，即p＝2.所以拋物線C的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.12由題意知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x＝my＋2.將x＝my＋2代入y2＝4x，消去x得y2－4my－8＝0，顯然Δ＝16m2＋32>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－8.12所以M是線段AB的中點(diǎn)，設(shè)M(xM，yM)，12所以M(2m2＋2,2m)，又MN⊥y軸，所以垂足N