2023年廣東省深圳市九年級中考數(shù)學培優(yōu)

目錄

一、探究應用型問題...................................................2

二、探索型問題綜合...................................................8

三、閱讀理解問題....................................................17

四、典型幾何模塊化綜合..............................................27

五、二次函數(shù)與圓綜合（一）.............................................37

六、二次函數(shù)與圓綜合（二）.............................................44

七、典型壓軸題（一）..................................................52

八、典型壓軸題（二）................................................58

九、典型壓軸題（三）——圓...........................................66

十、典型壓軸題（四）..................................................75

十一、易錯盤點—二次函數(shù)...........................................85

十二、易錯盤點——圓................................................90

十三、易錯盤點——綜合分析..........................................94

考點鏈接

一、探究應用型問題

經(jīng)過對已知條件的探究、得到一些新的方法、結(jié)論、啟示、解題思想等，以便應用在下一

步處理較為復雜的問題上。一定要注意在探究過程中所得到的提示。

核心透析

經(jīng)典1:CD

(D探究新知：-

如圖1,已知AABC與AABD的面積相等，/

試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由.

(2)結(jié)論應用：

①如圖2,點M,N在反比例函數(shù)y=k(k>0)的圖象上，過點M作MELy軸，過點N

作NFJ_x軸，垂足分別為E,F.試

證明：MN//EF.E

②若①中的其他條件不變，只改變點M,Ny

的位置如圖3所示，請判斷MN與EF是否平行

經(jīng)典2：

問題背景

（1）如圖1,△A8C中，DE〃BC分另lj交AB,AC于D,E兩點，A

過點"乍EF〃AB交BC于點F.請按圖示數(shù)據(jù)填空：四

DE

邊形D8FE的面積S=,

△EFC的面積S1=JQ,S3

△ADE的面積邑=衛(wèi).S\

B

V五一

圖1

探究發(fā)現(xiàn)

（2）在（1）中，若BF=a,FC=b,DE與8c間的距離為〃.請證明6=4SS.12

拓展遷移

（3）如圖2,￡7DEFG的四個頂點在△A8c的三邊上，若

MDG、&DBE、AGFC的面積分別為2、5、3,試期（？A

jFOiAABC的面積.

冬2

最優(yōu)練習

1、情境觀察

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到AABC和初七。，如圖1所示.將△AC?的頂點A'

與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A(AY8在同一條直線上，如圖2所示.觀察

圖2可知：與BCffl等的線段是，ZCAC'=.

女唱3,3BC中，AG1BC于點G,以A為直角頂點，分別以A8、AC為直角邊，向AABC外作

等腰MABE和等腰MACF,過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ

之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論.

ACNF,射線GA交EF于點H.若AB=kAE,AC=kAF,試探究HE與HF之間的數(shù)量關系，并說明理

由.

M

2、問題情境

已知矩形的面積為a(a為常數(shù)，。＞0)當該矩形的長為多少時，它的周長最??？最小值是多少？

數(shù)學模型

設該矩形的長為X,周長為y,則y與X的函數(shù)關系式為y=2(x+。乂毛＞。)

x

探索研究

⑴我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)

1

y=X+_(X＞0)的圖象性質(zhì).

X

①填寫下表，畫出函數(shù)的圖象：y八

5

②

4

X>>>。1111234>)>>

4323

y999999992

②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；1

③在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的最大(小)

J--------1---------1---------1>

—12345^

值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到.請v

你通過配方求函數(shù)產(chǎn)x+(x4)的最小值.a

X

解決問題

⑵用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案.

3閱讀理解：對于任意正實數(shù)Y

_曠沁,：.a-2jO7+b^Q,：.a+b^2,

只有當。=姍，等號成立.

,只有當a=

結(jié)論：在22WTa、6均為正實數(shù))中，若a6為定值p,貝!Ja+622

。時，a+6有最小值2.J萬

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

若R>0,只有當而時，加+1有最小值.

m

思考驗證：如圖1,AB為半圓0的直徑，C為半圓上任意一點(與點A、B不重合)過點C作CD1AB,

垂足為D,AD=a,DB=b.

試根據(jù)圖形驗證。+匕》2曲，并指出等號成立時的條件.

12

探索應用：如圖2,已知A(—3,0),B(0,-4),P為雙曲線y(43上的任意一點，

x

過點P作PCJ_Att于點C,PD,諭于點D.求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的

蹴

自由練習

1、（1）探究新知：

①如圖，已知AD〃8C,AD=BC,N是直線CD上任意兩點.求

證：△A8M與△ABN的面積相等.

MDNC

AB

圖①

②如圖，已知AD//BE,AD=BE,AB〃CD〃EF,點、M是直線CD上任一點，點G是直線EF

上任一點.試判斷8M與△ABG的面積是否相等，并說明理由.

（2）結(jié)論應用:

圖②

如圖③，拋物線產(chǎn)62+板+C的頂點為C（1,4）

交x軸于點A（3,0）交y軸于點D.試探究

在拋物線產(chǎn)以”樂+c上是否存在除點C以外的點

E,使得與△ACD的面積相等？若存在,

請求出此時點E的坐標，若不存在，請說明理由.

（友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結(jié)論.）

圖③備用圖

知識鏈接二、探索型問題綜合

探索型問題一般有兩類：

（1）探索條件的開放題；（2）探索結(jié)論的開放題。探

索型問題的特點：

Q）題設開放型探索性問題的特點是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前

提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而

言只要是充分的、相容的、獨立的，就視為正確的；

2）結(jié)論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件

下，探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論；

核心透析

類型一條件開放型問題

經(jīng)典1.如圖，四邊形A8CD是正方形，ZMBE是等邊三角形，M為對角線B。（不含8點）上任

意一點，BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM.CM.

（1）求證：/\AMB冬AENB；

⑵①當M點在何處時，AM+CM的值最小；

②當M點在何處時，AIV/+BM+CM的值最小，并說明理由；____________

⑶當4W+8M+CM的最小值為JI+1時，求正方形的邊長./

經(jīng)典2.如圖，拋物線與x軸交于A(-1,0)B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,一3)設拋物

線的頂點為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點。的坐標；

(2)以B、C、。為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？

(3)探究坐標軸上是否存在點P,使得以P、4c為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指

出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

類型二結(jié)論開放型問題

經(jīng)典3.如圖，是由RtZ\ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)8'交斜邊于點￡,CC

的延長線交BB，于點F.

(1)證明：AACES^FBE；

(2)設NABC=a,NCAC=試探索a、〃茜足什么關系時，△ACE與^FBE是全

等三角形，并說明理由.

⑵如圖，設。。與x軸正半軸交點為P,融、F是線段OPH慟點(與點P不重合)連接并延長。E、

。尸交。。于點8、C,直線BC如軸于點G,若ADEb是以EF為底的等腰三角形，試探索

sinNCGO的大小怎樣變化，請說明理由。

類型三、綜合探索型問題

經(jīng)典5.ASBC中，NA=/8=30。，AB=2.電ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位

于坐標原點。（如圖），/\ABC可以繞點。作任意角度的旋轉(zhuǎn).

（1）當點B在第一象限，縱坐標是豳，求點B的橫坐標；

2

（2）如果拋物線），=以2+法+。（80）的對稱軸經(jīng)過點C,請你探究：

①當。=5,匹」，c\35時，魚兩點是否都在這條拋物線上？并說明理

425

由；

②設b=-2am,是否存在這樣的m的值使48兩點不可能同時在這條拋物線上？若存在,

直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.

最優(yōu)練習

1.如圖1,已知矩形/眄，點C題DE的中點，KAB=2AD.（1）

判斷AABC的形狀，并說明理由；

（2）倒寺圖1中的A4BC固定不變，繞點C轆DE所在的直線MN到圖2中的位置（當垂線段

AD、BE在直線MN的同側(cè)）.試探究線段AO、BE、DE長度之間有什么關系？并給予證

明；

（3）僦圖2中的AABC固定不變，繼續(xù)繞點（7端。石所在的直線圖3帷位置（當

垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）.試探究線段AO、BE、DE長度之間有什么關系？并

給予證明.

2.如圖1、2是兩個相似比為1：拉的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三

角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。

⑴在圖3中，繞點D旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點E,F,如圖

4。求證：AE2+BF2^EF2

⑵若在圖3中，繞點C旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的斜邊和延長線分別與A6交于點E、F,

女閽5,止時結(jié)論A1+B/lE:產(chǎn)是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。

3、在△ABC中，NB4C=90°AB<AC,M是3c邊的中點，MN±3C交AC于點

N.動點尸從點8出發(fā)沿射線84以每秒厘米颯度運動.同時，動點。從點N出發(fā)沿

射線NC運動，且始終保持設運動時間為1秒(Z>0)

(1)MBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由；

(2)若ZABC=60°AB=43?^

①求動點Q的運動速度；

②設△APQ的面積為S(平方厘米)求S與f的函數(shù)關系式；

(3)探求BP\PQ2、C。?三者之間的數(shù)量關系，以圖1為例說明理由.

AA

4、如圖1,在4ABC中，AB=BC,P為AB邊上一點，連接CP,以PA、PC為鄰邊作nAPCD,AC

與PD相交于點E,已知NABC=NAEP=a(0°<a<90°).

(1)求證：ZEAP=ZEPA；

(2)oAPCD是否為矩形？請說明理由；

(3)如圖2,F為BC中點，連接FP,將NAEP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)適當?shù)慕嵌?，得?MEN(點M、N

分別是NMEN的兩邊與BA、FP延長線的交點).猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)

論.

DDCC

A

EPBMAPB

圖IN圖2

自由練習

（1）如圖1,在正方形460沖，/凝式邊（不含端點6、O上任意一點，隰比延長線上一點，力是

/比摘平分線上一點.若冊90°,求證：A廬MM

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明.證

明：在邊用上截取/斤比，連ME.正方形4a舛，/廬Na決90°,AB-BC.

：./惻區(qū)180°—/4腸『/4修180°—/B—/NMAB=NMAE.

（下面請你完成余下的證明過程）

4D

則當/圖淤60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由.

°時，結(jié)論4生腑仍然垃（直接寫出答案，不需要證明）

三、閱讀理解問題

知識鏈接

所謂數(shù)學的閱讀理解題,就是題目首先提供一定的材料,或介紹一個概念,或給出一種解法

等,讓你在理解材料的基礎上，獲得探索解決問題的方法,從而加以運用，解決實際問題.其目的

在于考查學生的閱讀理解能力、收集處理信息的能力和運用知識解決實際問題的能力.

解決型閱讀題的關鍵是首先仔細閱讀信息，弄清信息所提供的數(shù)量關系，然后將信息轉(zhuǎn)化

為數(shù)學問題，感悟數(shù)學思想和方法，形成科學的思維方式和思維策略，進而解決問題.

核心透析

類型之一考查掌握新知識能力的閱讀理解題

命題者給定一個陌生的定義或公式或方法，讓你去解決新問題，這類考題能考查解題者自

學能力和閱讀理解能力，能考查解題者接收、加工和利用信息的能力。

經(jīng)典1.讓我們輕松一下，做一個數(shù)字游戲：

第一步：取一個自然數(shù)中5,計算行+1得a；)

第二步：算出a的各位數(shù)字之和得n,蘇十算萬+1癡；2

第三步：算出a的各位數(shù)字之和得〃，再計算4+1得a；3

依此類推，則疔.

經(jīng)典2.用與“<=”表示一種法則：(=6)=-b,(aUb)=-a,如(2=3)=-3,則

(2010=201g(2009n2008)j

經(jīng)典3.符號“稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為：=ad_bc,請你根據(jù)上述

cacd

21

規(guī)定求出下列等式中X的值._1]]

-111

1-XX

類型之二模仿型閱讀理解題

在已有知識的基礎上，設計一個陌生的數(shù)學情景，通過閱讀相關信息，根據(jù)題目引入新知識

進行猜想解答的一類新題型.解題關鍵是理解材料中所提供的解題途徑和方法，運用歸納與類比

的方法去探索新的解題方法.問題解答并不太難，雖出發(fā)點低,但落腳點高.是“學生的可持續(xù)發(fā)展”

理念的體現(xiàn).

經(jīng)典4.閱讀理解：若p、q、m為整數(shù)，且三次方程x3+px2+"+m=O有整數(shù)解c,貝！|將c

代入方程得：c3+pc2+qc+m=O,移項

得m=-c3-pc2-qc>

BPW：m=cx.(^c2-pc-q}>

由于-『-pc-g與c及,"都是整數(shù)，所以c是m的因數(shù).

上述過程說明：整數(shù)系數(shù)方程^+pxi+qx+m=Q的整數(shù)解只可能是m的因數(shù).

例如：方程/+4丁+3n-2=0中一2的因數(shù)為土1和土2,將它們分別代入方程

始+49+3彳-2=0進行驗證得：x=-2是該方程的整數(shù)解，一1、1、2不是方程的整數(shù)解.

解決問題:(1根據(jù)上面的學習，請你確定方程X3+X2+5X+7=O的整數(shù)解只可能是哪幾個整數(shù)?

(2)方程V-2?-4x+3=0是否有整數(shù)解？若有，請求出其整數(shù)解；若沒有，請說明理由

經(jīng)典5、實際問題：某學校共有18個教學班，每班的學生數(shù)都是40人.為了解學生課余時間

上網(wǎng)情況，學校打算做一次W1樣調(diào)查，如果要確保全校抽取出來的學生中至少有10人在同一班級，那么

全校最少需抽取多少名學生？

建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數(shù)學模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同）現(xiàn)要確保從

口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？為

了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：

（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸

出多少個小球？

假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現(xiàn)多種情況，其中最不利的情況就是它們

的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小

球的個數(shù)是：1+3=4（如圖①）

0若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保S少有3個小球同色，即最少需摸出小

球的個數(shù)是：1+332=7（如圖②）

G）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小

球的個數(shù)是：1+333=10（如圖③J

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸

出小球的個數(shù)是：1+33（10-1）=28（如圖⑩）

模型拓展一：在不透明的口袋中裝有紅、黃、白、藍、綠五種顏色的小球各20分（除顏色外完全相同）

現(xiàn)從袋中隨機摸球：

（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是：

（2）若要確保摸出的小球至少有10個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是；

（3）若要確保摸出的小球至少有〃個同色金<20）則最少需摸出小球的個數(shù)是.模型拓展二:

在不透明口袋中裝有機種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同）現(xiàn)從袋中隨機摸球：

（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是.

（2）若要確保摸出的小球至少有〃個同色（〃<20）則最少需摸出小球的個數(shù)是.

問瞬缺（1）請把本題中的“實際問題”轉(zhuǎn)化為一個從口袋中摸球的數(shù)學模型；

（2）根據(jù)（1）中建立的數(shù)學模型，求出全校最少需抽取多少名學生.

類型之三操作型閱讀理解題

操作型閱讀理解題通常先提供圖形變化的方法步驟.解題的時候，你只要根據(jù)題目所提供的操

作步驟一步步解題即可.它能有效檢測學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的好題型，是中考改革的必然產(chǎn)物.

這類問題能較好地考查學生用數(shù)學的能力，具有很強的開放性并具有一定的趣味性和挑戰(zhàn)性.

經(jīng)典6.我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只

有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

如圖，點4B、a后'別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點龍I勺坐標為(0,-3),做為半圓的直徑，

經(jīng)典7.請閱讀下列材料：

問題：如圖1,在菱形ABCD和哪BEFG中，點A,B,E在同一條直線上，P跆段DF的中點，

PG

連結(jié)PG,PC.若NA8C=NBEF=60，探究PG與PC的位置關系及一的值.

PC

小聰同學的思路是：延長GP交DC于點H,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決.

請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：

PG的值；

(1)寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及——

PC

(2)將圖1中的血BEFG繞點B順檸針瓣專，幽^BEFG潁寸角線BF恰好與翅ABCD的邊AB在同

一條直線上，原問題中的其他條件不變(如圖2)你在(1)中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)

生變化？寫出你的猜想并加以證明.

(3)若圖1中ZABC=N8EA2o(0<c<90),將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原

PG

問題中的其他條件不變，請你直接寫出?—的值(用含a的式子表示)

PC

最優(yōu)練習

1.理解發(fā)現(xiàn)

閱讀以下材料：

對于三個數(shù)a,b,c,用表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min{a,b,c}表示這

三個數(shù)中最小的數(shù).例如：

-1+2+341)

M{-123}=-----------=3；min{-123}=-1；min{-12,a}=〈《卜口

解決下列問題：

(1)填空：min{sin30cos45tan3()}=；

如果min{22x+24—2x}=2,則x的取值范圍為WxW.

(2)①如果M{2,x+12x}=min{2,x+12x},求x；

②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a,b,c}=min{?,b,c},那么(填

a,b,c?的大小關系,證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

③運用②的結(jié)論，填空：

若M{2x+y+2,x+2)2x-y}=min{2x+y+2,x+2)2x-y},則

x+y^□.

(3)在同一直角坐標系中作出函數(shù)產(chǎn)x+1,尸(x-Ip,尸2-x的圖象(不需列表描點)通

過觀察圖象，填空：min{x+l(x—1)22-}的最大值為.

2.解方程以-1|+卜+2=5。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和一2的距

離之和為5的點對應的x的值。在數(shù)軸上，1和一2的距離為3,滿足方程的x對應點在1的右

邊或一2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖（17）可以看出x=2；同理，若x對應點在一2的

左邊，可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3

<--------4-------------------?>

---------------------1-------——,

-2012

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程出+3=4的解為

（2）解不等式|%—3|+|x+4但9；

（3）若|尤一3|-|x+4|sa對任意的x都成立，求a的取值范圍.

3、X市與W市之間的城際鐵路正在緊張有序地建設中.在建成通車前，進行了社會需求調(diào)查,

得到一列火車一天往返次數(shù)m與該列車每次拖掛車廂節(jié)數(shù)n的部分數(shù)據(jù)如下：

車廂節(jié)數(shù)n4710

往返次數(shù)m16104

⑴請你根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在三個函數(shù)模型：①^:/^+從八b為常數(shù)，kWO）；②y=4歲（

常數(shù)，kWO）；?y=ax2+bx+c{a,b、c為常數(shù)，aWO）中，選取一個適合的函數(shù)模型，求

出的m關于"的函數(shù)關系式是m=（不寫n的取值范圍）；

⑵結(jié)合你求出的函數(shù)，探究一列火車每次掛多少節(jié)車廂，一天往返多少次時，一天的設廿運營人數(shù)

Q最多（每節(jié)車廂載客量設定為常數(shù)p）.

4、我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形

為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱，；

（2）如圖（1）已知格點（小正方形的頂點）0（00）,430）,8（母），請你畫出以格點為頂&OA,

B

E

圖（2

自由練習

⑴分析材料：

①如圖1,在AABC所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則

稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△4BC的費馬距離.

②如圖2,若的四個頂點在同一個圓上，貝IJ有A82co+BCNA0=AC28D.此

①請你利用托勒密定理，解決如下問題：

如圖3,已知點P為等邊△ABC外接圓的部上任意一點.求證：PB+PC=PA.

②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中NB、ZC均小于120。）的費馬

點和費馬距離的方法：

第一步:如圖4,在AABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；第

二步：在曲上取一點P,連接PA、P玲、PCSPD.Oo

易知PM+%8+PoC=PM+（PoB+PoC）=PM+；

第三步：請你根據(jù)⑴①中定義，在圖4中找出AA8c的費馬點P,線段的長度即為AABC

的費馬距離.

⑶知識應用：

2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水

困難.為解決老百姓飲水問題，解放軍某部到云南某地打井取水.

已知三村莊48、C構(gòu)成了如圖5所示的△ABC（其中NA、NB、ZC均小于120嘰現(xiàn)選

取一點P打水井，使水井P到三村莊4B、C所鋪設的輸水管總長度最小.求輸水

管總長度的最小值.A

.BC

3k圖5

305

4km

四、典型幾何模塊化綜合

模塊一：兩段加和求最小值（折轉(zhuǎn)直，異側(cè)一一三點共線）

模型呈現(xiàn)：作圖：如圖，直線AB的同側(cè)有兩點C、D,在AB上求作一點P,使PC+PD最小。

中考鏈接

1、（達州）在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，

點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ,則△PBQ周長的最小值為

cm（結(jié)果不取近似值）.

2、（撫順市）如圖所示，正方形ABCO的面積為12,△ABE是

等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點

P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.2-J3B.2RC.3D.卡

3、（鄂州）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ABLBC,AD=2,

叱屐5,點雁式上移動，則當必+/W最小值時，△初9中邊

/吐的高為（）

4

八一洞B—b

1717

「8b

C、—1廠D、3

17

4、(陜西)如圖在銳角△ABC中AB=4,NBA渣45°,

NBAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點，c

則BM+MN的最小值是.

5、(新疆烏魯木齊市)如圖，在矩形0LBC中，已知4、CW點的可/、八

/M^\D

。為。4的中點.設點尸是N40C平分線上的一個動點(不上\

(1)試證明：無論點P運動到何處，PC總與相等；/R

(2)當點尸運動到與點B的距離最小時，試確定過0、P、D-N

(3)設點E是(2)中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，APOE的周長最??？求出此時

點P的坐標和△PDE的周長：

(4)設點N是矩形。48C的對稱中心，是否存在點P,使NCPN=90°?若存在,請直接寫出

點尸的坐標.

v

模塊二：三段加和求最小值（折轉(zhuǎn)直）

模型呈現(xiàn)：作圖：A、B為兩定點，C、D分別軸Y軸上的動點，請確定C、D的位置，以便使四

一，一小Y

邊形ABCD周長最短。

中考鏈接

1、如圖，以眺的8c的頂點。為原點，力所在的直線為對由，%所在的直線為例，建立平面直角坐

標系.已知的=3,比三2,點破4?的中點，在刃上取一點D,將△颯沿ZiZ翻折，使點/落在比邊上

（1）直接寫出點反型坐標；-------------\-----------

（2）設頂點為加勺拋物線交斶咖■點P,且以點E、F、"T股的三角形是舞三角形，求該拋物線

的解析式；\

（3）在斕1、沖山上是否分別存在點KN,使得四邊形網(wǎng)硬的配裝J、？如果

存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.A

2、（恩施市）

恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世

界級自然保護區(qū)星斗山（8）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km,A、8到直線X的距

離分別為10km利40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)P,向4、3兩景區(qū)運送游客.小民

設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P9到A、8的距離之和

S^PA+PB,圖（2）是方案二的示意圖（點A關于直線X的對稱點是A,連接34交直線X于

點P）P至IJA、5的距離之和S2=PA+PB.

（1）求S、S?,并比較它們的大小;

（2）請你說明S2=PA+PB的值為最??；y|

（3）擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如巾（3）所示的直角坐標系，8到

直線y的距離為30km,請你在X旁和y旁各修建一服務區(qū)P、Q,上P、/8、Q組成的四邊形

的周長最小.并求出這個最小值.?I\

圖（1）圖(2)圖(3)

3、如圖1,拋物線y=ax?+bx+c(a#0)的頂點為C(1,4)交x軸于A、B兩點，交y軸于點D,其

中點B的坐標為(3,0)

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中點E的橫坐標為2,若直線PQ為

拋物線的對樹血點G為直線PQ上的一動點，貝k軸上是否存在一點H,使D、G,H、F四點所圍成

的四邊形周長最小.若存在，求出這個最4值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由；

圖1圖2

模塊三：將不相連的不定長線段，通過平移連接后，再用模型一（折轉(zhuǎn)直）

1、在直角坐標系中，A（1,-3）B（6,-1）C（a+3,0）,D（a,0）,當a為何值時，四邊形ABCD周

長最小，并求此最小值。

2、如圖，拋物線廣加+公-4a經(jīng)過4-10）、。（⑼兩點，與x軸交于另一點6.

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點。（加，m+1）在第一象限的拋物線上，求點。關于直線5c對稱的點的坐標；

（3）P為拋物線頂點，HK平行于X軸，并過點（0,3）CE平行于X軸，E為其上一動點，做EF垂直

于HK與F,求PE+EF+FB的最小值，并確定此時，EF兩點坐標。

模塊四：兩段做差求最大值(同側(cè)一一三點共線)

模型呈現(xiàn)：如圖，直線AB的同側(cè)有兩點C、D,在AB上求作一點P,使|PC-PD|最大。

變式如圖,直線AB的兩側(cè)有兩點C、D,在AB上求作一點P,使|PC-PD|最大。

中考鏈接：

11,

1,如圖，已知直線y=_x+l與y軸交于點A,與x軸交于點D,拋物線yj=^+bx+c與

直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1,0)

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點M,使HM-MC|的值最大，\1

求出點M的坐標。

模塊五：側(cè)面展開后直線距離最短。

1、如圖所示，有一長為8cm,寬為4cm,高為5cm的長方體盒子，在它的底面A點有一只螞蟻，它想吃

到上底面上與A點柢擲JB點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出來嗎？

2如圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為6cm

的正三角形ABC,母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃

糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過的

最短路程是cm.

3如圖，有一個長方體，它的長BC=4,寬AB=3,高BB]

爬行到G，這時小蟲爬行的最短路徑的長度是。

4、如圖，一圓柱體的底面周長為24cm,BC是上底面直徑，母

線（高）AB為4cm,一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行

到點C的最短路程大約是（）

5.如圖，圓錐的母線長0A=6,底面圓的半徑為2,一小蟲在圓錐

底面的點A處繞圓錐側(cè)面一周又回到點A處，則小蟲所走的最短距

離為（）.

B.4%

C.6D.6j

A

模塊六：動線段和轉(zhuǎn)化成點到直線的距離最短

1.(浙江省紹興市)定義一種變換：平移拋物線瓦得到拋物線尸2,使尸2經(jīng)過Fi的頂點A.設F2

的對稱軸分別交居，B于點。，8，點。是點A關于直線BD的對稱點.

⑴女唱1,若色y=x2,經(jīng)過變換后，得至UF：點C的坐標為(2,0),則

12

①6的值等于;②四邊形旗CD為

(2)如圖2,若戶y=ax2+c,經(jīng)過變換后，點5為(2,c—l)求的面積；

⑶如圖3,若F:y=x2-x+,經(jīng)過變換后，AC=2，點尸是直線AC上的動點,

,333

求點P到點。的距離和到直線AD的距離之和的最小值.

8)SJ

?2

2、（北京市）如圖，在平面直角坐標系X。），中，4ABC三個頂點的坐標分別為

A（-6,0）,8（6,0）,。（0,4版），延長AC至晾D,使CD=Ug,過點D何E〃AB交BC的延

長線于點E.一

（1）求D點的坐標；

（2）作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF,若過B點的直線尸fcc+b將四邊形CDFE分

成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；

（3）設G為y軌k一點，點P從酸產(chǎn)氣+力與y軸的交點出發(fā)，先沿y*岷處G點，再沿

GA至處A點,若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍,試確定G點的位置使P點

按照上述要求到達A點所用的時間最短。（要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明）

五、二次函數(shù)與圓綜合(一)

核心透析

經(jīng)典1:

如下圖，在平面直角坐標系中，點B在直線y=2x上，過點B作r軸的垂線，垂足為A,0A=5,

若拋物線y^_jC+bx+c過點0,A兩點。

6

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若A點關于直線尸2x的對稱點為C,判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。01是以BC為直徑的圓。過原點0作01的切線OP,P為切點

(P與點C不重合)拋物線上是否存在點Q,使得以PQ為直徑的圓與。相切？若存在，求出點Q的橫

坐標；若不存在，請說明理由。

經(jīng)典2：

已知：函數(shù)y的圖象與x軸只有一個公共點.

(1)求這個函數(shù)關系式；

(2)如圖所示，設沸I數(shù)盧加+尤+1圖象的頂點為反與)，軸的交點為4￡為圖象上的一點，若

以線段咫為直徑的圓與直線45相切于點B,求。點的坐標；

(3)在(2)中，若圓與x軸另一交點關于直線外的對稱點為必，試探索點醒否在

拋物線y="2+x+l上，若在拋物線上，求出.，掠的坐標；若不在，請說明理由.

經(jīng)典3：

已知：如圖所示，擾舷線y=a^+bx+c(a^O)經(jīng)過x軸上的兩點A(x,O),B(x,2,0)和y軸上

的點。(0,--),?P的1心P在y軸上，且經(jīng)過B、C兩點，若/?=瓜，AB=2.73

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)1)在拋物線上，且C、I)兩點關于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經(jīng)過圓心P?并說明理

由；

(3)設直線BD交。P于另一點E,求經(jīng)過點E的OP的切線的解析式.

經(jīng)典4：

如圖所示，二次函數(shù))，=奴2+灰+。過A(-1,0)B(3,0)C(0,-3)M為頂點.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)AABM內(nèi)切圓圓心為D,OD與AB相切于N與BM相切于E,求它的半徑；

(3)在(1)中二次函數(shù)圖像上是否存在一點P,使A/V1N的面積為AACM面積的2001倍？若存

在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由.

最優(yōu)練習

1、如圖，已知。P的圓心坐標為（15,0）,半徑為2.5,OP與x軸交于A、B兩點（點A在點

B的左側(cè)）與y軸的負半軸于點D.

（1）求D點的坐標；

（2）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（3）設平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點，問:是否存在以線段EF為直徑的圓0'恰好與0P

相外切？若存在，求出其半徑r及圓心。'的坐標；若不存在，請說明理由.

2、已知：如圖所示，在平面直角坐標系中，過點A(0,2)的直線AB與以坐標原點為圓心，為半徑C

的圓相切于點C,且與x軸的負半軸相交于點B.

(1)求NBAO的度數(shù)；

(2)求直線AB的解析式；

(3)若一拋物線的頂點在直線AB上,且拋物線的頂點和它與X軸的兩個交點構(gòu)成斜邊長為2的直

角三角形，求此拋物線的解析式.

自由練習

1、如圖所示，已矢碘物線y=lY—X+左的圖象與丁軸相交于點8(0,1)，點C(m/)在該

4

拋物線圖象上，且以BC為直徑的。M修過頂點A.

(1)求女的值；

(2)求點。的坐標；

(3)若點尸的縱坐標為且點P在該拋物線的對稱軸/上運動，試探索：

①當S|<S<S2時，求r的取值范圍(其中：S為aPAB的面積，S1為X0AB的面積,

S2為四