初中數(shù)學之二次函數(shù)最值問題

PAGE28初中數(shù)學之二次函數(shù)最值問題一、選擇題1.（2008年山東省濰坊市）若一次函數(shù)的圖像過第一三四象限,則函數(shù)（）A.有最大值B..有最大值C.有最小值D.有最小值2.（2008浙江杭州）如圖，記拋物線的圖象與正半軸的交點為，將線段分成等份．設分點分別為，，，，過每個分點作軸的垂線，分別與拋物線交于點，，…，，再記直角三角形，，…的面積分別為，，…，這樣就有，，…；記，當越來越大時，你猜想最接近的常數(shù)是（）A． B． C． D．3．（08綿陽市）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應值如下表：x－3－2－1012345y1250－3－4－30512利用二次函數(shù)的圖象可知，當函數(shù)值y＜0時，x的取值范圍是（）．A．x＜0或x＞2B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3D．－1＜x＜4．（2008年浙江省嘉興市）一個函數(shù)的圖象如圖，給出以下結(jié)論：①當時，函數(shù)值最大；②當時，函數(shù)隨的增大而減??；③存在，當時，函數(shù)值為0．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5.(2008湖北恩施)將一張邊長為30㎝的正方形紙片的四角分別剪去一個邊長為ｘ㎝的小正方形,然后折疊成一個無蓋的長方體.當ｘ取下面哪個數(shù)值時,長方體的體積最大（）A.7B.6C.5D.46.（2008泰安）如圖所示是二次函數(shù)的圖象在軸上方的一部分，對于這段圖象與軸所圍成的陰影部分的面積，你認為與其最接近的值是（）A．4 B． C． D．7．（2008山東泰安）函數(shù)的圖象如圖所示，下列對該函數(shù)性質(zhì)的論斷不可能正確的是（）A．該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形 B．當時，該函數(shù)在時取得最小值2C．在每個象限內(nèi)，的值隨值的增大而減小D．的值不可能為18.若一次函數(shù)的圖像過第一三四象限,則函數(shù)（）A.有最大值B..有最大值C.有最小值D.有最小值二、填空題1.某商店經(jīng)營一種水產(chǎn)品，成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，銷售單價定為元時，獲得的利潤最多.2．已知二次函數(shù)（）與一次函數(shù)的圖象相交于點A（－2，4），B（8，2）（如圖所示），則能使成立的的取值范圍是．3.如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米

4.二次函數(shù)的最小值是．5.蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價格y（元/平方米）隨樓層數(shù)x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知點（x，y）都在一個二次函數(shù)的圖像上（如圖6所示），則6樓房子的價格為元/平方米．6.農(nóng)村常需要搭建截面為半圓形的全封閉蔬菜塑料暖房如圖11所示，則需要塑料布（m2）與半徑（m）的函數(shù)關(guān)系式是（不考慮塑料埋在土里的部分）．7.如圖，從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度（單位：米）與小球運動時間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式是，那么小球運動中的最大高度． 三、簡答題1.已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點T在線段OA上(不與線段端點重合)，將紙片折疊，使點A落在射線AB上(記為點A′)，折痕經(jīng)過點T，折痕TP與射線AB交于點P，設點T的橫坐標為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；(1)求∠OAB的度數(shù)，并求當點A′在線段AB上時，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由。2.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代數(shù)式表示△ＭNP的面積S；（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？3.跳繩時，繩甩到最高處時的形狀是拋物線.正在甩繩的甲、乙兩名同學拿繩的手間距AB為6米，到地面的距離AO和BD均為O.9米，身高為1.4米的小麗站在距點O的水平距離為1米的點F處，繩子甩到最高處時剛好通過她的頭頂點E。以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設此拋物線的解析式為y=ax2+bx+0.9.(1)求該拋物線的解析式；(2)如果小華站在OD之間，且離點O的距離為3米，當繩子甩到最高處時剛好通過他的頭頂，請你算出小華的身高；(3)如果身高為1.4米的小麗站在OD之間，且離點O的距離為t米，繩子甩到最高處時超過她的頭頂，請結(jié)合圖像，寫出t自由取值范圍。4.一家化工廠原來每月利潤為120萬元，從今年1月起安裝使用回收凈化設備（安裝時間不計），一方面改善了環(huán)境，另一方面大大降低原料成本.據(jù)測算，使用回收凈化設備后的1至x月（1≤x≤12）的利潤的月平均值w（萬元）滿足w=10x+90,第二年的月利潤穩(wěn)定在第1年的第12個月的水平。（1）設使用回收凈化設備后的1至x月（1≤x≤12）的利潤和為y,寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求前幾個月的利潤和等于700萬元？（2）當x為何值時，使用回收凈化設備后的1至x月的利潤和與不安裝回收凈化設備時x個月的利潤和相等？（3）求使用回收凈化設備后兩年的利潤總和。5.為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示．據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，與之間的兩個函數(shù)關(guān)系式及相應的自變量取值范圍；（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能進入教室？6.一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場以來3個月的利潤情況如圖（15）所示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請結(jié)合圖象，解答以下問題：（1）求該拋物線對應的二次函數(shù)解析式（2）該公司在經(jīng)營此款電腦過程中，第幾月的利潤最大？最大利潤是多少？（3）若照此經(jīng)營下去，請你結(jié)合所學的知識，對公司在此款電腦的經(jīng)營狀況（是否虧損？何時虧損？）作預測分析。7.如圖，河上有一座拋物線橋洞，已知橋下的水面離橋拱頂部3m時，水面寬為6m，當水位上升0.5m時：（1）求水面的寬度為多少米？（2）有一艘游船，它的左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正對著橋洞在上述河流中航行．①若游船寬（指船的最大寬度）為2m，從水面到棚頂?shù)母叨葹?.8m，問這艘游船能否從橋洞下通過？②若從水面到棚頂?shù)母叨葹閙的游船剛好能從橋洞下通過，則這艘游船的最大寬度是多少米？8.某服裝公司試銷一種成本為每件50元的T恤衫，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本價，又不高于每件70元，試銷中銷售量（件）與銷售單價（元）的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)（如圖）．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設公司獲得的總利潤（總利潤＝總銷售額總成本）為P元，求P與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當x取何值時，P的值最大？最大值是多少？9.已知，如圖，直線經(jīng)過和兩點，它與拋物線在第一象限內(nèi)相交于點P，又知的面積為4，求的值.10.如圖，足球場上守門員在處開出一高球，球從離地面1米的處飛出（在軸上），運動員乙在距點6米的處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點，距地面約4米高，球落地后又一次彈起．據(jù)實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式．（2）足球第一次落地點距守門員多少米？（?。?）運動員乙要搶到第二個落點，他應再向前跑多少米？（取）11.如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標系中的，處，直角邊在軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當紙板Ⅰ移動至處時，設與分別交于點，與軸分別交于點．（1）求直線所對應的函數(shù)關(guān)系式；（2）當點是線段（端點除外）上的動點時，試探究：①點到軸的距離與線段的長是否總相等？請說明理由；②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及取最大值時點的坐標；若不存在，請說明理由．12.如圖11，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點A，B，C，它的頂點為M，又正比例函數(shù)的圖像于二次函數(shù)相交于兩點D、E，且P是線段DE的中點。⑴求該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點M的坐標；⑵已知點E，且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，試根據(jù)函數(shù)圖像求出符合條件的自變量的取值范圍；⑶當時，求四邊形PCMB的面積的最小值。【參考公式：已知兩點，，則線段DE的中點坐標為】13.某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最??？14.為了落實國務院副總理李克強同志到恩施考察時的指示精神,最近，州委州政府又出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策,使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品,已知這種產(chǎn)品的成本價為20元/千克.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量ｗ(千克)與銷售價ｘ(元/千克)有如下關(guān)系:ｗ=－2ｘ＋80.設這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為ｙ(元).(1)求ｙ與ｘ之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)當銷售價定為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于28元/千克,該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應定為多少元?15.研究所對某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為（噸）時，所需的全部費用（萬元）與滿足關(guān)系式，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價，（萬元）均與滿足一次函數(shù)關(guān)系．（注：年利潤＝年銷售額－全部費用）（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售噸時，，請你用含的代數(shù)式表示甲地當年的年銷售額，并求年利潤（萬元）與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售噸時，（為常數(shù)），且在乙地當年的最大年利潤為35萬元．試確定的值；（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（1），（2）中的結(jié)果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤？16.已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）．（1）請寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；（2）當時，設與軸分別交于兩點（在的左邊），與軸分別交于兩點（在的左邊），觀察四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結(jié)論，并說明理由；（3）設上述兩條拋物線相交于兩點，直線都垂直于軸，分別經(jīng)過兩點，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點，求線段的最大值．17.雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端處彈跳到人梯頂端椅子處，其身體（看成一點）的路線是拋物線的一部分，如圖．（1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳點的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由．18.青年企業(yè)家劉敏準備在北川禹里鄉(xiāng)投資修建一個有30個房間供旅客住宿的旅游度假村，并將其全部利潤用于災后重建．據(jù)測算，若每個房間的定價為60元∕天，房間將會住滿；若每個房間的定價每增加5元∕天時，就會有一個房間空閑．度假村對旅客住宿的房間將支出各種費用20元∕天·間（沒住宿的不支出）．問房價每天定為多少時，度假村的利潤最大？19.小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S（單位：平方米）隨矩形一邊長x（單位：米）的變化而變化．（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？（參考公式：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c＝0，當x＝時，）20.某商品的進價為每件30元，現(xiàn)在的售價為每件40元，每星期可賣出150件。市場調(diào)查反映：如果每件的售價每漲1元（售價每件不能高于45元），那么每星期少賣10件。設每件漲價元（為非負整數(shù)），每星期的銷量為件．⑴求與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；⑵如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大？每星期的最大利潤是多少？提示：21.如圖，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，且當=O和=4時，y的值相等。直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是3，另一點是這條拋物線的頂點M。(1)求這條拋物線的解析式；(2)P為線段OM上一點，過點P作PQ⊥軸于點Q。若點P在線段OM上運動（點P不與點O重合，但可以與點M重合），設OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；(3)隨著點P的運動，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請求出S的最大值并指出點Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請簡要說明理由；(4)隨著點P的運動，是否存在t的某個值，能滿足PO=OC？如果存在，請求出t的值。22.如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．（1）要使長方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．23.現(xiàn)有一塊矩形場地，如圖12所示，長為40m，寬為30m，要將這塊地劃分為四塊分別種植：．蘭花；．菊花；．月季；．牽?；ǎ?）求出這塊場地中種植菊花的面積與場地的長之間的函數(shù)關(guān)系式；求出此函數(shù)與軸的交點坐標，并寫出自為量的取值范圍．（2）當是多少時，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？請在格點圖13中畫出此函數(shù)圖象的草圖（提示：找三點描出圖象即可）．24.（2008海南?。┤鐖D12，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設AP=x,△PBE的面積為y.①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.25.已知：如圖，Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的正半軸和y軸的負半軸上，C為OA上一點且OC＝OB，拋物線y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p為常數(shù)且m+2≥2p>0）經(jīng)過A、C兩點．（1）用m、p分別表示OA、OC的長；（2）當m、p滿足什么關(guān)系時，△AOB的面積最大．26.如圖，已知拋物線經(jīng)過點（1，-5）和（-2，4）（1）求這條拋物線的解析式．（2）設此拋物線與直線相交于點A，B（點B在點A的右側(cè)），平行于軸的直線與拋物線交于點M，與直線交于點N，交軸于點P，求線段MN的長（用含的代數(shù)式表示）．（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面積S最大？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．27.如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發(fā)沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發(fā)沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.（1）求AD的長；（2）設CP=x，問當x為何值時△PDQ的面積達到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由.28.我州有一種可食用的野生菌，上市時，外商李經(jīng)理按市場價格20元/千克收購了這種野生菌1000千克存放入冷庫中，據(jù)預測，該野生菌的市場價格將以每天每千克上漲1元；但冷凍存放這批野生菌時每天需要支出各種費用合計310元，而且這類野生菌在冷庫中最多保存160元，同時，平均每天有3千克的野生菌損壞不能出售．（1）設到后每千克該野生菌的市場價格為元，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若存放天后，將這批野生菌一次性出售，設這批野生菌的銷售總額為元，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）李經(jīng)理將這批野生茵存放多少天后出售可獲得最大利潤元？（利潤＝銷售總額－收購成本－各種費用）29.王亮同學善于改進學習方法，他發(fā)現(xiàn)對解題過程進行回顧反思，效果會更好．某一天他利用30分鐘時間進行自主學習．假設他用于解題的時間（單位：分鐘）與學習收益量的關(guān)系如圖甲所示，用于回顧反思的時間（單位：分鐘）與學習收益量的關(guān)系如圖乙所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．（1）求王亮解題的學習收益量與用于解題的時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）求王亮回顧反思的學習收益量與用于回顧反思的時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學習收益總量最大？（學習收益總量解題的學習收益量回顧反思的學習收益量）30.如圖，在平面直角坐標系中，已知點坐標為（2，4），直線與軸相交于點，連結(jié)，拋物線從點沿方向平移，與直線交于點，頂點到點時停止移動．（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；（2）設拋物線頂點的橫坐標為,①用的代數(shù)式表示點的坐標；②當為何值時，線段最短；（3）當線段最短時，相應的拋物線上是否存在點，使△的面積與△的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．31.如圖（1），已知在中，AB=AC=10，AD為底邊BC上的高，且AD=6。將沿箭頭所示的方向平移，得到。如圖（2），交AB于E，分別交AB、AD于G、F。以為直徑作，設的長為x，的面積為y。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）連結(jié)EF，求EF與相切時x的值；（3）設四邊形的面積為S，試求S關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求x為何值時，S的值最大，最大值是多少？42.一快餐店試銷某種套餐，試銷一段時間后發(fā)現(xiàn)，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費用為600元(不含套餐成本)．若每份售價不超過10元，每天可銷售400份；若每份售價超過10元，每提高1元，每天的銷售量就減少40份．為了便于結(jié)算，每份套餐的售價x(元)取整數(shù)，用y(元)表示該店日凈收入．(日凈收入＝每天的銷售額－套餐成本－每天固定支出)(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每份套餐售價不超過10元，要使該店日凈收入不少于800元，那么每份售價最少不低于多少元？(3)該店既要吸引顧客，使每天銷售量較大，又要有較高的日凈收入．按此要求，每份套餐的售價應定為多少元？此時日凈收入為多少？43.隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖12-①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖12-②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）（1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？44.如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA＝3，OC＝2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．（1）直接寫出點E、F的坐標；（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（3）在x軸、