第4章三角形證明 題型解讀7 運用“ASA、AAS”證三角形全等-2020-2021學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊

《三角形證明》題型解讀7：運用“ASA、AAS”證三角形全等【知識梳理】①兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”；②兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”；③特別注意：“AAA”不能證明兩個三角形全等；④幾何符號語言：在△ABC與△DEF中，∵∠∴△ABC≌△DEF（ASA）在△ABC與△DEF中，∵∠∴△ABC≌△DEF（AAS）【典型例題】例1.如圖，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，求證：△ABC≌△ADE【解析】：利用∠BAE內(nèi)存在數(shù)學(xué)典型模型：“共角模型”求出等角，再依AAS證全等；【解題過程】∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE（共角模型），在△ABC和△ADC中，∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴△ABC≌△ADE（AAS）例2.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE、CD相交于O，AD=AE,∠B=∠C，求證：BD=CE【解析】利用∠A是△ABE、△ADC的共角及全等判定條件：AAS可證△ABE≌△ACD，得AB=AC，再利用等式性質(zhì)可得BD=CE【解題過程】在△AEB與△ADC中，∵∠A=∠A，∠B=∠C，AD=AE，∴△AEB≌△ADC（AAS），∴AB=AC，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE.例3.如圖,已知AC平分∠DAB、∠DCB，求證：∠AEB=∠AED?！窘馕觥浚河C∠AEB=∠AED，需證所在三角形全等：△ADE≌△ABE，理順手上已知條件，已知一邊一角相等：AE=AE、∠DAE=∠BAE，故只需再找一邊AD=AB，利用“SAS”證全等，利用ASA證△ADC≌△ABC即可得AD=AB?！窘忸}過程】∵AC平分∠DAB、∠DCB，∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC（ASA），∴AD=AB，又∵∠DAE=∠BAE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE，∴∠AEB=∠AED.例4.在△ABC中，∠B=∠ACB，點F為AC延長線上的一點，D為邊AB上的一點，且BD=CF，求證：DE=EF.【解析】：欲證DE=EF，需證所在三角形全等，但DE、EF所在的三角形大小不一，肯定不全等，故需要添加輔助線構(gòu)造三角形全等，由于DE所在的△BDE更大，故可以采用“割”的方法，構(gòu)造一個三角形與EF所在的△ECF全等，作輔助線DM//CF，證△DBM是等腰三角形、△DME≌△FCE即可解答?！窘忸}過程】過點D作DM//CF交BC于點M，∵∠DMB=∠ACB，∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴△DBM是等腰三角形，∴DB=DM，∵BD=CF，∴DM=CF，∵DM//CF，∴∠MDE=∠F，在△DME與△FCE中，∵∠MDE=∠F，∠DEM=∠FEC，DM=CF，∴△DME≌△FCE（AAS），∴DE=EF.例5.（1）△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，則下列補(bǔ)充的條件中錯誤的是（）A.AC=DFB.BC=EFC.∠A=∠DD.∠C=∠F（2）如圖，AB//CD，欲證△AOB≌△COD，可補(bǔ)充條件_______.(填寫一個適合的條件即可).【解析】（1）題目已知證明△ABC≌△DEF的條件是一邊與一角，我們可以利用“SAS”、“ASA”、“AAS”證全等，所以補(bǔ)充的條件必須符合以上三個全等判別條件，即選項C、D是符合的，選項B中，AB與BC的夾角是∠B，DE與EF的夾角是∠E，若BC=EF，正好符合“SAS”；而選項A中，AB與AC的夾角是∠A，DE與DF的夾角是∠D，即題目已知條件中的等角：∠B=∠E，不是等邊AB=DE、AC=DF的夾角，“ASS”是不能證明兩三角形全等的，故選A.（2）由題目已知條件可知，在△AOB與△COD中，三組對應(yīng)角都相等：因平行線性質(zhì)可得：∠A=∠C、∠B=∠D，由對頂角性質(zhì)可得：∠AOB=∠COD，故欲證△AOB≌△COD，只需補(bǔ)充一個條件：等邊即可，所以補(bǔ)充的條件：AB=CD或AO=CO或OB=OD，即可利用“SAS”或“ASA”或“AAS”證全等.例6.如圖，CD⊥BD，AB⊥BD，CE⊥AE，且AB=DE，求證：CD=BE